книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

делей в задачах математического программирования.— В сб. «Техника и техно­ логия месторождении полезных ископаемых. Вып. VII, М., «Недра», 1969.

4

Г Л А В А V I I

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МОНТЕ-КАРЛО)

§ 7.1. Статистическое моделирование

Метод статистических испытаний (Монте-Карло) представ­ ляет собой совокупность приемов и методов, позволяющих ими­ тировать (воспроизводить) случайные процессы и приближенно решать любые задачи на экстремум с применением при этом аппарата случайных чисел. Этот же метод позволяет неодно­ кратно производить математический эксперимент, т. е. проиг­ рывать на модели ситуацию несколько раз, причем ряд факто­ ров выбирается случайно, но в соответствии с законами их рас­ пределения. Другие параметры (неслучайные) при этом изме­ няются целенаправленно. В результате можно выбрать такие параметры, которые соответствуют оптимальному значению экономического показателя или оптимальной структуре.

В экономике и в технологии не всегда возможно провести некоторые эксперименты, так как всякий эксперимент связан с определенным риском получить отрицательный результат. Для проведения эксперимента в таких условиях можно использовать экономико-статистические модели. Результаты такого математи­ ческого экспериментирования только тогда заслуживают внима­ ния, когда эксперимент проводится на адекватной модели, и если моделирование осуществляется совершенными методами.

Метод статистических испытаний находит широкое приме­ нение при математическом имитационном моделировании вслед­ ствие того, что при помощи этого метода можно искусственно воспроизвести любой случайный процесс с заданными законами распределения. Строительный процесс [5], ввиду действия боль­ шого количества факторов, полностью учесть которые не пред­ ставляется возможным, также может быть отнесен к сложным динамическим стохастическим процессам. Поэтому на некото­ рых этапах планирования для нахождения параметров опти­ мального функционирования строительной организации целесо­ образно применить метод Монте-Карло.

Примером такого имитационного моделирования может быть решение задачи стохастического программирования, допустим

91

— (5.5.11). При решении задачи задаются разные варианты де­ терминированных параметров, случайные величины моделируют­ ся в соответствии с законами их распределения. Решение такой задачи имитирует процесс производства, при котором достига­ ется максимум (5.5.8).

Но метод Монте-Карло может применяться и как чисто вы­ числительный, например, для вычисления определенного инте­ грала [2 ], для нахождения экстремума некоторых нелинейных функций (случайный поиск), для определения параметров кор­ реляционных формул и т. д. Основой метода является аппарат случайных чисел.

§ 7.2. Равномерная случайная последовательность чисел

Случайные процессы с известными параметрами могут быть реализованы в виде случайной последовательности чисел. Слу­

где п — количество чисел в последовательности, зависящее от числа знаков после запятой. Если после запятой идет один знак, т. е. g = 0; 0,1,..., 0,9; 1, то п = 11 и, следовательно, веро­

11 ’

Р = _1_ и т. д.

101

Дифференциальный и интегральный законы распределения РСП (0,1) приведены на рис. 15.

Естественно, что

i-i

что видно из определения вероятности Р (7.2.1) и графика 156).

92

«Монте-Карло» по имени города, где особенно распространена игра в рулетку), аппарата жеребьевки, волчка с пронумерован­ ными гранями, игральной кости и т. д. До появления ЭВМ. таб­

числительных машин.

2. Случайные числа вы­ рабатываются с помощью генератора случайных чи­ сел, преобразующего ре­ зультаты .случайного фи­ зического процесса в по­ следовательность двойных разрядов ЭВМ. Обычно в

качестве генератора используют собственные шумы электронных приборов или излучение радиоактивных веществ. Электронный прибор используется в- качестве приставки к ЭВМ. При этом говорят, что машина имеет физический генератор случайных чи­ сел, получаемых в неограниченном .'количестве, высокого каче­ ства с большой скоростью. Однако ЭВМ оборудуются датчиками случайных чисел только в том случае, если на ней предусматри­ вается регулярное решение задач с применением метода МонтеКарло.

3. Наиболее распространенным стал метод получения случайных чисел с помощью программы. Для этого создаются специальные программы, преобразующие первоначально задан­ ное число в некоторую последовательность чисел, которая Может рассматриваться как случайная. Например, задаются числом £о» из этого числа путем арифметических и логических операций по­ лучаются следующее число £i и т. д. Таким образом, источником получения -каждого последующего числа является предыдущее.

93

Так как последовательность чисел g получается в результа­ те программы, эти числа не являются «истинно» случайными, их называют псевдослучайными. Однако эти числа могут ус­ пешно применяться для моделирования равномерного случай­ ного процесса, если удовлетворяют требованиям случайности и равномерности.

Существуют специальные методы проверки псевдослучайных чисел на случайность и равномерность [2 , 3].

§ 7.3. Получение случайных величин, заданных законами распределения, с помощью чисел РСП (0,1)

Обычно реальные случайные величины редко задаются рав­ номерной случайной последовательностью РСП (0,1). Реаль­ ные случайные величины чаще всего задаются:

а) равномерной случайной последовательностью с предела­ ми от а до Ь;

б) нормальным законом распределения; в) экспоненциальным законам распределения;

г) пуассоновским законом распределения и другими зако­ нами.

Очень часто реальные распределения случайных величин не подчиняются вообще никаким законам и могут быть заданы гистограммой или таблицей, полученными в результате обра­ ботки статистических данных.

рассмотрен в § 7.4. Для перехода к другим законам распреде­ ления применяют основное соотношение перехода: если случай­ ная величина г] имеет плотность распределения f (х), то случай­

и имеет равномерный закон распределения в интервале (0 ,1 ). Но обычно задача состоит не в нахождении g g РСП (0,1), а в нахождении гр Зная закон распределения f (х) и выработав g, необходимо взять определенный интеграл (7.3.1) и решить по­ лученное выражение относительно т). К сожалению этот метод, имеющий универсальное значение, очень редко дцет практиче­

94

ские результаты, потому, что не все интегралы берутся, а если

даже интеграл возьмется, то соотношение решить трудно из-за предела—со в выражении (7.3.1).

так как число | есть случайное число, принадлежащее РСГ1 (0,1), то (1 — |) можно заменить Окончательная формула для преобразования равномерной случайной последовательно­ сти в экспоненциальную последовательность, заданную зако­ ном (7.3.2), имеет вид:

(7.3.6)

б) Распределение типа

Графики распределений а) и б) приведены на рис. 16.

/ 95

Подобно показанному можно аналитически выразить огра­ ниченное количество распределений случайных величин через случайные числа РСП (0,1). Если такое выражение получено, то для формирования случайной величины rig f (х) необходимо

S)

Рис. 16. Графики распределений случайной величины

§ 7.4 Получение случайных чисел приближенными методами

Если для получения случайных чисел не удается использо­ вать основное соотношение перехода (7.3.1), пользуются при­ ближенным методом.

Рассмотрим применение приближенных методов на примере

Это наиболее часто встречающееся распределение случайных величин. Однако применение основного соотношения' (7.3.1) не­ возможно из-за того, что в выражении

9 6

не удается избавиться от предела —<*>.

Основой получения чисел тр распределенных нормально из чисел £ 6 РСП (0,1), является центральная предельная теорема теории вероятностей, в соответствии с которой, если величина а

1=П

имеет любое распределение, то Pj—2 ai ПРИ достаточно боль- i=i

шом п распределена нормально. Тогда для получения числа 7 , распределенного нормально, с математическим ожиданием 0 и

Если пользоваться этой формулой коррекции, то можно приме­

чения нормальных чисел с параметрами а и а необходимо дестандартизировать эти числа по формуле:

97

Рк

в/ аг а"

Рис. 17. Статистический закон распределения случайной величины

а) гистограмма; б) равновероятная гистограмма; в) интегральный график

Часто распределение случайной величины задано гистограм­ мой (рис. 17) или таблицей.

На рис. 17, а) изображены вероятности Р;, соответствующие каждому отрезку (щ— аг-i) случайной величины тр Для моде­ лирования необходимо преобразовать гистограмму а) таким

ния чисел тр соответствующих статистическому закону, изобра­ женному гистограммой рис. 17, необходимо: 1) выработать чис­

98