книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

Для определения оптимального плана поставок будем после­

и по одному столбцу для каждого возможного значения поста­ вок qn.

Возможные значения начального уровня запасов устанавли­ ваются в пределах формулы (8.5.8) с шагом Ау = 10 тыс. шт.

тогда при у0 — О

qi = 42,47—0+0=42,47 (тыс. шт.).

Затем переходим к определению величины функции потерь для этого варианта. Для моделирования процесса поставок вос­ пользуемся матрицами рис. 24.

120

С помощью датчика случайных чисел вырабатывается слу­ чайная величина РСП (0,1). Допустим, выработалась h = = 0,750, сравниваем ее с начальными вероятностями матрицы. Так как gi > 0,556, но меньше 0,756, то выбирается состояние 2, Пусть следующая случайная величина | 2 = 0,223. Сравни­ ваем с вероятностями второй строки той же матрицы, аналогич­

но выбирается состояние 2 .

У( = ( 9 - 0 + 9 3 , 4 9 + 7 . 0 + 5Л6,98+3.0+16,98—4.0+42,47) =22,08

121

Значение функции затрат h (42,47; 42,47) = 333,12 определя­ ется подстановкой вычисленного значения У1 в формулу (8.5.8).

Это значение функции заносится в первую строку табл. рис. 25 (столбец У) (Уо), так как для первого шага

Аналогично вычисляются остальные значения функции при других начальных уровнях запасов (табл. рис. 25).

Структура табл. рис. 26 несколько отличается от предыдущей. Каждому начальному уровню запасов соответствует не одно, а пять значений поставок, так как уровень запасов' на конец неде­ ли уже не определяется однозначно.

Числа в таблице представляют собой сумму потерь рассмат­ риваемой недели, оптимальных для последующей.

Для каждого начального уровня запасов у\ значение функ­

ции L2 (//i) представляет собой минимальную из всех сумм в клетках рассматриваемой строки. Так, например, если у\ — О,

q2 = 7,6 тыс. шт., то г/г = 0 при S2 = 7,6 тыс. шт. и у (7; 6 ; 0 ).

Вторым слагаемым в этой клетке является значение функции ЬДО), выбранное из табл. рис. 25, так как остаток на конец дан­ ной недели (у2 = 0 ) равен остатку на начало следующей {у2 ~ у /

Поэтому в табл. рис. 26 выбирается значение функции Li(y0), соответствующее уо = 0 . Аналогично заполняются и другие

122

клетки первой строки табл. рис. 26. Минимальные потери при данном уровне начального запаса равны 660,54, а соответствую­ щая им поставка равна 27,6 тыс. шт.

Это значение потерь и соответствующее ему значение поставки приведены в крайних правых столбцах таблицы рис. 26. Затем заполняется вторая строка и т. д.

Заштрихованные клетки в таблице соответствуют запрещен­ ным вариантам, т. е. значения поставок и остатков не отвечают ограничению, заданному формулой (8.5.2)..

Рис. 27. Таблицы потерь за третью неделю

/

Затем строятся таблицы (рис. 27—34).

После построения таблиц можно приступать к выбору опти­ мального плана. Выбор осуществляется по таблицам, начиная с рис. 34. Они содержат только одну строку, соответствующую на­ чальному уровню г/g = г/ср = 35 тыс. шт.

При таком начальном уровне запаса минимальным потерям для десятинедельного планового периода соответствует поставка qm = 0,9 тыс. шт., и остаток на конец недели г/ю = 20 тыс. шт. (формула 8.5.5).

Остаток на начало следующей недели г/о = 2 0 тыс. шт. Ему со­ ответствует третья строка табл. рис. 33. Минимальным потерям

123

Рис. 28.~Таблицы потерь за четвертую неделю

124

Рис. 31. Таблицы потерь за седьмую неделю

Рис. -32. Таблицы потерь за восьмую неделю

Рис. 33. Таблицы потерь за девятую неделю

Рис. 34. Таблицы потерь за десятую неделю

Задача решается в скользящем режиме, т. е. оптимальный план ежемесячно корректируется, что позволяет более оператив­ но планировать поставки, постоянно уточняя их в ходе решения задачи.

§ 8.6. Моделирование и прогнозирование процесса поставок строительных материалов

Процесс поставки строительных материалов является сложным стохастическим процессом. Это вызывается большим количеством поставщиков и потребителей, сложностью производства и достав­ ки материалов, влиянием климатических, организационных и других факторов. Поэтому даже в, условиях централизованного планирования и фондового распределения материалов часто на­ блюдаются отклонения поставок от плановых как по объемам, так и по срокам. Для прогнозирования поставок можно: а) ап­ проксимировать процесс потавок факторными корреляционными

126

моделями; б) считать процесс поставок случайным процессом, определив параметры этого процесса.

Рассмотрим случай аппроксимации процесса поставок фак­ торными моделями. В качестве зависимых переменных необходи­ мо рассматривать некоторые переменные, являющиеся разностью между фактическими и плановыми '(договорными) сроками или объемами поставок строительных материалов.

Анализ фактических данных показывает, что плановая равно­ мерность поставок по большинству строительных материалов не подтверждается практикой.

Устойчивые многолетние данные показывают, что существует зависимость между отклонениями в сроках и объемах поставок, с одной стороны, и рядом перечисленных выше факторов, с дру­ гой. Однако большинство из этих факторов очень трудно учесть, так как многие не имеют количественного выражения. Анализ показывает, что ряд климатических и организационных факторов статистически связан с календарным временем года. Сезонность особенно существенно сказывается на работе транспорта, так как периодически он отвлекается на перевозки сельскохозяйственных продуктов,-

В гл. II приведен пример аппроксимации процесса поставок цемента тригонометрической функцией времени. Формула (2.7.6) является выражением зависимости отклонений поставок цемента от времени года. Как видно из оценки уравнения (2.7,6), где

г| =0,97 и е = 15,8, в этом случае получена достаточно надежная для прогнозирования модель. Часто при учете функции задержки поставок в выражении (8.4.5) можно ограничиваться функцией только одного переменного, времени. Если функция получена ме­ тодом корреляционного анализа, то все неучтенные факторы вы­ ражаются через случайную компоненту этой функции I. Характер этой компоненты и метод получения доверительных интервалов к уравнению рассмотрены в §3.5.

При учете в модели помимо фактора времени также и других факторов следует-ожидать повышения точности модели, умень­ шения дисперсии случайной компоненты / и уменьшения довери­ тельного интервала к-модели. Тогда можно строить более надеж­ ные модели, пригодные для целей планирования и управления реальными процессами в строительстве и его материально-техни­ ческом обеспечении. Так, например, для одного из трес­ тов была построена модель отклонения фактических поставок це­ мента от плановых. В качестве фактора в этой модели рассматривался фактор времени. Корреляционное отношение для этой формулы было равно 0,4. Для повышения тесноты связи в

127

модель ввели еще один фактор — расстояние между поставщиком и потребителем цемента. При этом была получена формула:

Y = (— 9,41 -}- 6,42 sin x t + 4,26 cos x t -(- 4,87 sin 2 x t —

— 1,99 cos 2 x x— 1,45 sin 3^! — 6,69 cos З л , — l,74sin4.v1 +

Xi — календарное время года, в днях от начала года; Хо — средневзвешенное расстояние поставок, км.

Средневзвешенное расстояние поставок определяется из фор­ мулы

1=П

‘fq.

i=1

где Ш] — расстояние между трестом и i-ым заводом-поставщиком,

км (i = 1 , 2 , 3,..., п);

q, — объем поставок с i-ro завода за рассматриваемый пе­ риод.

При аппроксимации поставок двухфакторной моделью точность модели повысилась, корреляционное отношение повысилось с 0,4 до 0,97. Такая модель может реально применяться при планиро­ вании поставок, при этом можно с высокой вероятностью прогно­ зировать поставки материалов по сравнению с фондами или заяв­ ками в разные периоды года, с учетом отдаленности поставщиков, что даст возможность более рационально планировать заказы и строительное производство.

Однако факторные, в том числе и динамические, модели типа (8.6.1) не являются единственными. Процесс поставок некоторых материалов можно отнести к стационарным процессам с задан­ ными законами распределения. Тогда поставки могут характери­ зоваться параметрами распределения вероятностей этих законов. Например, нормальным законом, биноминальным и т. д.

Среди различных классов случайных процессов большой инте­ рес представляют марковские процессы, названные так в честь русского математика А. А. Маркова, впервые исследовавшего их свойства.

Выше (см. §8.5) рассмотрен метод оптимизации поставок строительных материалов с определением среднего запаса или при помощи цепей Маркова. Здесь рассмотрим методику аппрок­ симации поставок Марковским процессом.

128

Будем рассматривать некоторую конечную систему S единст­ венно возможных и несовместимых состояний.

ни. Вероятности этих состояний в начальный момент времени Т0 равны соответственно:

т. е. сумма величин в каждой строке равна единице. Вероятности ро» (8.7.4) называют начальными; для них так­

же 2 р<ь = 1. •

а

Начальные роа и переходные вероятности ряр определяются статистически. Если, например, проведено N испытаний и в них событие Аа наблюдалось m раз, а событие Ар после события Аа — пЕ раз, то за начальную вероятность принимается отно­

Для марковских процессов вся история их развития как бы концентрируется в достигнутом в момент Тк состояния Ак и че­ рез него влияет на последующее развитие. На первый взгляд это свойство кажется довольно сильным ограничением, нопрак-

129