книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

Спрос в данной задаче предполагается детерминированным. Потребность в строительных материалах определяется при пла­ нировании строительно-монтажных работ на каждый из плани­ руемых периодов, при чем количество потребных материалов не остается неизменным от периода к периоду. В этом и заключа­ ется нестационарность спроса. В связи с нестационарностью спроса метод дифференцирования для решения данной задачи неприменим. Для нахождения минимума функции (8.4.1) не­ обходимо использовать методику динамического программиро­ вания.

Пусть L* — минимум L, т. е.

сматривать вопрос о минимизации L,. найдем У& т. е. среднеме­ сячные запасы по данному материалу.

Размеры производственных запасов определяются частотой поставок, объемом партий, а также интенсивностью потребле­ ния. При фиксированном спросе частота поставок обратно про­ порциональна величине партии, а запасы пропорциональны, т. е. чем больше размер партии, тем реже частота поставок, тем больше запасы. В качестве привязки поставок во времени бе­ рем плановый период поставок Т, который определяется как средневзвешенная величина.

Пусть t i ... tn — моменты поставок материала за базовый год в днях, a Q i... Qn соответствующие им объемы поставок. Тогда, если отсчет времени вести от начала года, интервал между дву­ мя очередными поставками Ati равен

ПО

Зная моменты поставок, мы можем найти величину средне­ го остатка за k-й месяц. Здесь необходимо рассмотреть два слу­ чая, а именно, когда п ^ 1 2 и когда п > 1 2 .

При п*£ 12-суточный расход материала (интенсивность по­ требления) в k-ом месяце к определяем как

Sk_ ^к 30'

Рис. 21. Схема формирования среднего запаса (детермини­ рованный подход)

Тогда средний запас за k-й месяц Ук выразится следующим ин­ тегралом

ка на начало месяца и от интенсивности потребления.

Схема изменения уровня запаса за k-й месяц, соответствую­ щая п > 12, приведена на рис. 2 1 . Средний запас равен площа­ ди фигуры.

111

В общем случае, если число поставок за месяц равно т , то средний запас равен сумме интегралов

(8.3.1), проводится методом динамического программирования. Поскольку начальный уровень запаса Уо и конечный у12 == у?а

заданы, то минимизацию можно проводить как в «прямом» вре­ мени, так и в обратном. Мы рассмотрим алгоритм решения за­ дачи в прямом времени. Представим задачу минимизации в ви­

q

л

Lj — дает минимальные издержки за первый месяц, q, соответ­ ствующее этому значению, условно называется оптимальным значением. На втором этапе для каждого у\ и всех допустимых

значений q2 определяем У2; г/2; к (У). Находим

112

Здесь Lk(yic) — минимально возможные издержки за первые к месяцев при условии, что в конце k-го месяца уровень запасов

риально-технического снабжения строек, а оптимальные значе­ ния запасов Ук для планирования загрузки оборотных фондов.

§ 8.4. Оптимальное планирование поставок строительных материалов

в стохастической постановке

Выше был рассмотрен метод решения задач по управлению запасами в детерминированной постановке. На практике усло­ вия, соответствующие такой постановке, встречаются редко, ча­ ще всего при управлении запасами наблюдаются неопределен­ ности, при учете которых задача становится стохастической. Природа этих неопределенностей обычно вызывается:

а) ошибками при определении потребности в строительных материалах;

б) неопределенностью поставок строительных материалов; в) источником неопределенности является и целевая функ­

ция, как правило, корреляционная, например, формула (8.2.16), отражающая только средние значения, связанных формулой ве­ личин и имеющая ошибку аппроксимации, а, следовательно, и возможность ошибки расчета по этой формуле. Для решения задач с учетом этих неопределенностей необходимо применять методы стохастического программирования (см. гл. V).

В качестве метода решения задачи используется метод ди­ намического программирования, причем при подсчете среднего

Минимизируемая функция L за k периодов выражается:

L* = minL{y1[f(y0); f(qi)5 f(SO] ...

Если учесть, что функция Li, будучи корреляционной, имеет в своем составе случайную компоненту е, то затраты зависят не только от уровня запасов, но и сами являются случайными, то есть

f (qk); f (Sk) и e.

Оптимизация должна производиться с применением принци­ па Р. Веллмана и реализацией задачи на каждом шаге метода­ ми стохастического программирования.

В работах [12, 13] приведен анализ поставок строительным трестам Южного Урала цемента, арматурной стали, кирпича. Статистический анализ . фактических поставок строительных материалов показал, что поставки могут быть аппроксимирова­ ны факторными моделями, цепями Маркова и другими случай­ ными законами.

В § 8.5 приведены основные положения и примеры аппрок­ симации поставок факторными моделями и цепями Маркова.

§ 8.5. Планирование поставок с аппроксимацией цепями Маркова

Рассмотрим постановку и метод решения задачи оператив­ ного оптимального календарного планировния поставок строи­ тельных материалов, при этом будем считать, что спрос (по­ требность) в строительных материалах является детерминиро­ ванным и нестационарным (определяется при календарном пла­ нировании строительно-монтажных работ), поставки имеют ве­ роятностный характер, причем, в качестве модели процесса принята простая неоднородная цепь Маркова.

114

Для построения модели, как и в § 8.3, введем следующие обозначения:

qn — поставка материала в течение n-ой недели; Ул — остаток материала на конец n-ой недели.

Требуется определить значения поставок и остатков для каждой недели планового периода, удовлетворяющие ограниче­ ниям

вести в соответствие оптимальный оперативный и оптимальный годовой планы.

В качестве критерия оптимальности принимается минимум функции потерь (см. § 8 .2 ).

Оптимизация плана осуществляется методом динамического программирования. Вычислительный процесс строится от конеч­ ного состояния к исходному, где под состоянием понимается ве­ личина остатка на начало недели. Тогда общее рекуррентное соотношение можно записать в следующем виде

планового периода при условии, что остаток материала на нача­ ло п-ой недели равен уп-и

В процессе решения задачи для вычисления значений функ­

ции потерь требуется определить величину среднего недельного

ется площади заштрихованной фигуры, деленной на число дней

Рис. 22. Схема формирования среднего запаса (стохастический подход)

в неделе. Тогда средний запас в n-ю неделю может быть опре­ делен по формуле:

того дня недели;

m — число дней в неделе. .

Для определения объемов поставок используется простая не­

116

На рис. 23 представлены матрицы вероятностей для поста­ вок силикатного кирпича. Таблица содержит распределение на­ чальных вероятностей (левый столбец матрицу I) для первого дня недели и четыре матрицы переходных вероятностей для ос­ тальных четырех дней недели.

Для статистического моделирования процесса поставок ме­ тодом Монте-Карло (см. гл. VII), распределение начальных и переходных вероятностей необходимо представить в виде зако­ нов случайных величин, выраженных накопленными вероятно­ стями (рис. 24).

Результатом моделирования является набор состояний, опи­ сывающий процесс поставок в течение недели, определенный на множестве реализаций.

Зная моменты и объемы поставок и подставляя их в форму­ лу (8.5.7), можно определить величину среднего запаса, эта ве­ личина, в свою очередь, подставляется в формулу (8.5.4), кон­ кретная запись которой определяется видом материала.

Вычисление минимума функции и соответствующих ему зна­ чений переменных осуществляется в соответствии с рекуррент­ ными соотношениями (8.5.6).

Рассмотрим пример расчета оптимального графика поставок строительному тресту силикатного кирпича. Пусть для рассмат­ риваемого примера плановый период начинается с апреля, на

117

Рис. 23. Матрицы вероятностей

Рис. 24. Матрицы накопленных вероятностей