книги из ГПНТБ / Термодинамические основы интенсификации сушки строительных материалов и изделий [сборник]

ным математическим трудностям [7]. Следствием пос­ ледних является то, что среди известных методов опре­ деления am = f(U) существует фактически лишь один (метод стационарного режима Мартлея — Миниовича — Максимова |[8 ] ), в котором для расчета используется тео­ ретически строгое выражение. Это — основной закон влагопереноса [5], который для одномерного изотерми­ ческого и изобарического переноса, а также без учета или при отсутствии конвективной составляющей потока, имеет вид

В соответствии с данным методом, для определения am = f(U) требуется (по установлении стационарного ре­ жима массопереноса в образце материала) найти пол­ ный поток влаги Im == jmS = const и закон распределе­ ния влагосодержания U = f (х). С этой целью в настоя­ щее время привлекают различные способы косвенных измерений j[9—14 и др.].

Ниже излагается метод стационарного режима, ко­ торый не требует информации об истинном распределе­

(2 ), становится особенно ясным, если в качестве пере­ менной выбрать влагосодержание:

60

В этом случае величина удельного потока jm являет­ ся функцией пределов интеграла (3), т. е. влагосодержаний на поверхностях образца U(R) и Щ О). Если от опыта к опыту изменять величину одного из этих влагосодержаний, а другую оставлять постоянной, то можно

(3) по Un (в соответствии с правилом Лейбница), по­

Поскольку вид зависимости am = f(U) должен быть единым для всех локальных зон образца, то опре­ деления любой из локальных зависимостей ат (х) = = f,[U (х) ], в том числе для X = 0 или X = R, является достаточным. Тогда коэффициент диффуции может быть найден из выражения

Ввиду того, что данный метод не требует анализа кривой распределения влагосодержаний в образце, сам образец может быть выполнен в виде пластинки сравни­ тельно небольшой толщины (ограничения диктуются лишь необходимостью обеспечения макрооднородности образца и достаточно малой относительной ошибки в определении его толщины). Для получения информации о величинах влагосодержаний на поверхностях образца можно использовать косвенные методы измерения.

Используя метод, необходимо учитывать «предысто­ рию» каждого конкретного стационарного режима. На­ пример, если образец обладал избыточной влагой и к моменту установления стационарного режима его вес уменьшился, то полученное дискретное значение функ­ ции Im = f(Un) следует применять только для опреде­ ления десорбционной ветви зависимости am = f(U).

Возвращаясь к вопросу о причинах несовпадения значений коэффициентов диффузии, найденных в раз­ личных условиях, можно предположить, что 2 ш„ср за­

висит от степени отклонения процесса массопереноса от равновесного состояния, т. е. его интенсивности. Имеют­ ся сведения о существовании подобных зависимостей

61

для коэффициентов диффузии в жидкостях [2, 15], а также влаги в капиллярно-пористых телах [16]. Зависи­ мость коэффициентов диффузии от интенсивности про­ цесса (обычно, от градиента концентрации) лишает физического смысла феноменологические законы массопереноса, которые в этом случае вырождаются в неоп­ ределенные соотношения типа jm = f(qradC). Однако с точки зрения математики это же обстоятельство при­ водит лишь к усилению нелинейности дифференциаль­ ных уравнений баланса массы и дополнительным труд­ ностям в нахождении их решений [7].

Изложенный выше прием может быть использован с целью получения расчетной формулы для коэффициента диффузии, зависящего от влагосодержания и интенсив­ ности процесса. Так, если интенсивность процесса ха­ рактеризовать не величинами градиентов влагосодержаний, с большим трудом поддающихся измерению, а величиной потока, который, напротив, может быть легко измерен, по крайней мере, при стационарном режиме переноса, то одним из возможных решений может быть следующее.

(предусматривается использование образцов различной толщины).

Если одно из влагосодержаний на поверхности со­ хранять постоянным (например Uo = const), то в каче­ стве независимых переменных можно рассматривать

u(0)

ипродифференцируем no U(R) и R:

u (R)

( 6 )

u (0)

62

Очевидно, что для производных, содержащихся под знаками интегралов, должны существовать следующие соотношения:

ременной интегрирования и могут быть вынесены из-под знаков интегралов.

Сократив (6 ) и (7) на величины этих составляющих, получим

u (R)

Избавляясь от интегралов, вычтем (9) из (8 ). В ре­ зультате имеем

О б о з н а ч е н и я

0 — потенциал массопереноса; Ят — влагопроводность; "(о — объемный вес сухого материала; jm — удельный поток влаги; S — площадь сечения образца материала.

63

Е. Л. ВЫСОЧАНСКИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ ВЛАГИ В КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ

ВБЛИЗИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

Изучая характер процессов массопереноса, протека­ ющих вблизи равновесных состояний, которые отлича­ ются различными значениями температуры и влагосодержания, можно найти зависимость переносных свойств от этих параметров, а точнее, от их усредненных значений, близких к равновесным [1].

Наиболее простыми методами, позволяющими на­ дежно контролировать процесс изотермического неста­ ционарного массопереноса без нарушения целостности образца, являются весовые. Они основаны на анализе экспериментальных данных об изменении во времени веса образца с помощью известных решений линейного дифференциального уравнения массопереноса для неог­ раниченной пластины [2] или полуограниченного те­ ла :[3].

Однако в упомянутых методах постулируется посто­ янство коэффициента диффузии в течение всего процес­ са переноса, что редко соответствует действительности. Применение в этих случаях решений линейного диффе­ ренциального уравнения массопереноса, в особенности, для описания интенсивного начального периода процес­ са, приводит к большим погрешностям |[4]. Определе­ ние же конечного периода процесса, для которого могут быть справедливы линейные соотношения неравновес­ ной термодинамики, а, следовательно, и соответствую­ щие решения линейного уравнения, равнозначно нахож­ дению на графиках кинетики веса образца зоны сходи­ мости расчетных и экспериментальных данных. Послед­ нее существенно упрощается, если существует критерий близости к равновесному состоянию |[1]. Для определе­ ния такого критерия рассмотрим случай нестационар­ ного массопереноса, стремящегося завершиться равно­ весным состоянием, например, процесс сорбционного

65

насыщения образца, изготовленного в виде пластинки толщиной 2R с изолированными боковыми гранями. Представим, что, начиная с момента времени то, доста­ точно удаленного от начала сорбции и близкого к еезазавершению, процесс может быть описан линейным дифференциальным уравнением. Тогда его началь­ ный период, описываемый нелинейным уравнением, можно не рассматривать. Распределение же влагосодержания, фактически создавшееся в образце к момен­ ту то, обозначим некоторой функцией f (х). Она будет определять начальные условия следующего изучаемого периода.

Учитывая близость процесса сорбции к завершению,

для неограниченной пластины при симметричных крае­ вых условиях:

U ( X , T 0) = f ( X ) = f ( - X ) ,

U (— R, т) = U (+ R, т) = Up = const,

Возьмем интеграл, содержащийся в правой части уравнения (3), предварительно преобразовав его в со­ ответствии с «обобщенной теоремой о среднем» (учиты­

66

вая, что функция cospn— не меняет знака в интерва-

R

ле i[0, R] для каждого конкретного «п»-го члена): R

Поскольку содержащийся в (5) ряд быстро сходится уже при Fo = 0,l, то для достаточно больших значений времени можно ограничиться одним первым членом.

Обозначим вес образца, достигшего термодинамическо­ го равновесия с окружающей средой, через Wp. Очевид­ но, что

67

Переписав (8) три раза для трех различных момен-

которое может быть полезным для случаев, когда полу­ чение экспериментальных значений Wp и Up связано с большими затратами времени.

Наконец, исключая Wp из (10), имеем:

При дальнейшем рассмотрении уравнения (8) стано­ вится очвидным, что для ряда, составленного из значе­ ний веса Wi, \\г2 , ..., Wn, соответствующих моментам вре­ мени п, гг, т3, ..., тп, выбранных так, что

То Т[ = Т о = • . . T n Hi —1 — -^^“1 ( Ю )

■будет справедливо соотношение:

для ат - К аналогичному результату приводит и рассмот­ рение процесса изотермической сушки (десорбции).

Выполнение равенства (14) будет являться необхо­ димым и достаточным условием применимости данного решения линейного дифференциального уравнения массопереноса. Можно рассматривать выражение (14) и как формальный критерий близости процесса массопереноса к равновесному состоянию.

68