- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Основные понятия
Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Например, утверждения, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону или что дисперсии двух нормально распределенных совокупностей равны между собой, будут статистическими гипотезами.
Нулевой называется выдвинутая гипотеза (H0), конкурирующей – гипотеза (H1), противоречащая нулевой.
При принятии гипотез могут быть допущены ошибки.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Ошибка второго рода заключается в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза.
Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается буквой и называется уровнем значимости. Обычно принимают
= 0,05 или = 0,01.
Критерием называется случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы Н0.
Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу Н0 отвергают.
Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.
По результатам опытов вычисляют наблюдаемое (опытное) значение критерия. Если оно принадлежит критической области, то гипотезу Н0 отвергают. Если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу Н0 принимают.
Критическими называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
Пусть и – объемы двух выборок, которые извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей , и имеют исправленные выборочные дисперсии соответственно и , причем для определенности .
Выберем уровень значимости . Тогда для проверки нулевой гипотезы : о равенстве генеральных дисперсий совокупностей и при конкурирующей гипотезе поступаем следующим образом:
1) вычисляем наблюдаемое значение критерия Фишера
;
2) с помощью таблиц приложения 5 находим критическую точку распределения Фишера по заданному уровню значимости и числам степеней свободы , исправленных выборочных дисперсий соответственно и .
Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу , если же , нулевую гипотезу отвергаем.
Пример 11.1. Рассмотрим в качестве выборок элементы первого и второго столбцов таблицы 10.0. Тогда ; Следовательно, и
В приложении 5 находим . Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу : о равенстве генеральных дисперсий.
Проверка гипотезы о равенстве средних
двух нормально распределенных генеральных совокупностей,
Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
П усть и – объемы двух выборок с выборочными средними и с исправленными выборочными дисперсиями и . Генеральные дисперсии неизвестны, но проверка по критерию Фишера не отвергает гипотезу .
Выберем уровень значимости и составим наблюдаемое значение критерия :
.
Если объемы выборок совпадают, то есть , то вычисление наблюдаемого значения значительно упрощается. В этом случае
.
Рассмотрим нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу . По заданному уровню значимости в таблице приложения 4 для распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим значение , где – число степеней свободы.
Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу .
Если , то нулевую гипотезу отвергают, то есть считают, что .
Пример 11.2. Используем данные примера 11.1 для проверки гипотезы о равенстве средних. Как и выше, выбираются элементы первого и второго столбцов таблицы 10.0. Напомним, что .
Вычисляем
Выберем и, поскольку , по таблице приложения 4 находим .
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве средних не отвергается.