Основные понятия
Нормально распределенные случайные величины наиболее распространены на практике. Объяснение этому факту дал русский математик А.М. Ляпунов, доказав центральную предельную теорему.
Теорема. Если случайная величина Х равна сумме очень большого числа попарно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Приведем несколько примеров случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения: 1) масса животного в определенном возрасте; 2) длина початка кукурузы; 3) жирность молока; 4) масса клубня картофеля.
Определение.
Говорят, что непрерывная случайная
величина Х
имеет
нормальное
распределение (распределение Гаусса)
с параметрами
и
(
,
если плотность вероятностей этой
случайной величины имеет вид
.
Влияние параметров a и на вид кривой распределения, которую называют нормальной кривой, иллюстрируют рис. 7.1 – 7.3:
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Можно
показать, что если
,
то
Случайную величину X ~ N(0; 1) называют нормированной нормально распределенной или стандартной. Для нее законом распределения будет изученная ранее функция Гаусса (x) (см. схему Бернулли)
.
Отметим следующие важные факты: если , то справедливы формулы
(7.1)
и
.
(7.2)
Если
в последней формуле заменить
,
то получим
.
Этот
факт известен как правило
трех сигм.
Он означает, что практически все значения
нормальной случайной величины находятся
в интервале
(рис.
7.4), который называют диапазоном
изменения значений нормальной случайной
величины. При этом
называют гарантированным
минимумом,
а
возможным
максимумом
значений случайной величины
.
Рис. 7.4
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 7
Задача
7.1. Пусть
,
.
Найти параметры распределения а и .
Определить диапазон изменения значений случайной величины Х.
Вычислить а)
,
б)
.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,6 |
2,7 |
|
13,1 |
13,2 |
13,3 |
13,4 |
13,5 |
13,6 |
13,7 |
13,8 |
13,9 |
14,0 |
|
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,10 |
0,11 |
|
0,18 |
0,19 |
0,20 |
0,21 |
0,22 |
0,23 |
0,24 |
0,25 |
0,26 |
0,27 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
2,8 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
3,7 |
|
14,1 |
14,2 |
14,3 |
14,4 |
14,5 |
14,6 |
14,7 |
14,8 |
14,9 |
15,0 |
|
0,12 |
0,13 |
0,14 |
0,15 |
0,16 |
0,17 |
0,18 |
0,19 |
0,20 |
0,21 |
|
0,28 |
0,29 |
0,30 |
0,31 |
0,32 |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,36 |
0,37 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
3,8 |
3,9 |
4,0 |
4,1 |
4,2 |
4,3 |
4,4 |
4,5 |
4,6 |
4,7 |
|
15,1 |
15,2 |
15,3 |
15,4 |
15,5 |
15,6 |
15,7 |
15,8 |
15,9 |
16,0 |
|
0,22 |
0,23 |
0,24 |
0,25 |
0,26 |
0,27 |
0,28 |
0,29 |
0,30 |
0,31 |
|
0,38 |
0,39 |
0,40 |
0,41 |
0,42 |
0,43 |
0,44 |
0,45 |
0,46 |
0,47 |