- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Интегральная формула Лапласа
Если в схеме Бернулли ставится вопрос об отыскании , то при небольших n используют равенство
,
где каждое слагаемое находят по формуле Бернулли.
Пример 4.5. Найти вероятность того, что при 5 бросках монеты герб выпадет не более двух раз.
Решение. Имеем схему Бернулли с n =5, и . Искомая вероятность , вычисляемая по формуле
,
будет равна
.
Если в схеме Бернулли n велико и р не близко к нулю или к единице, то используют приближенную формулу, называемую интегральной формулой Лапласа:
где
Функция называется функцией Лапласа. Она нечетна и Значения затабулированы для (приложение 2), а при х >5 считают = 0,5. График имеет вид, представленный на рис.4.2.
Рис. 4.2. График функции Лапласа
Геометрически величина равна площади фигуры, заштрихованной на рис. 4.3, поскольку функция Лапласа по определению является интегралом по промежутку [0; x] от функции Гаусса.
Рис. 4.3. Геометрический смысл функции Лапласа
Пример 4.6. Всхожесть семян пшеницы равна 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.
Решение. Имеем схему Бернулли с
.
Требуется найти .
Из приведенной выше интегральной формулы Лапласа находим и :
Тогда
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 4
Задача 4.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью p. Вычислить .
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
p |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,8 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
0,8 |
0,4 |
0,7 |
n |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
4 |
k |
< 3 |
> 2 |
< 3 |
> 1 |
< 3 |
> 3 |
< 3 |
> 2 |
< 3 |
> 1 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
p |
0,3 |
0,7 |
0,7 |
0,3 |
0,2 |
0,8 |
0,6 |
0,8 |
0,3 |
0,7 |
n |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
k |
< 3 |
> 3 |
< 3 |
> 2 |
< 3 |
> 1 |
< 3 |
> 3 |
< 3 |
> 2 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
p |
0,6 |
0,2 |
0,8 |
0,2 |
0,6 |
0,4 |
0,8 |
0,4 |
0,7 |
0,4 |
n |
6 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
k |
< 3 |
> 1 |
< 3 |
> 3 |
< 3 |
> 2 |
< 3 |
> 1 |
< 3 |
> 3 |
Задача 4.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью p. Вычислить и .
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
p |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
n |
210 |
215 |
220 |
225 |
230 |
235 |
240 |
245 |
250 |
255 |
k |
48 |
55 |
102 |
124 |
176 |
179 |
221 |
57 |
64 |
116 |
|
38 |
56 |
76 |
127 |
158 |
175 |
204 |
42 |
66 |
96 |
|
51 |
72 |
94 |
142 |
180 |
198 |
226 |
54 |
79 |
111 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
p |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
n |
260 |
265 |
270 |
275 |
280 |
285 |
290 |
295 |
300 |
305 |
k |
142 |
196 |
206 |
259 |
67 |
75 |
132 |
78 |
194 |
229 |
|
140 |
179 |
206 |
237 |
51 |
78 |
102 |
77 |
201 |
136 |
|
165 |
198 |
222 |
258 |
64 |
97 |
125 |
101 |
225 |
258 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
p |
0,9 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,2 |
0,3 |
n |
310 |
315 |
320 |
325 |
330 |
335 |
340 |
345 |
350 |
355 |
k |
262 |
79 |
123 |
112 |
208 |
219 |
255 |
297 |
88 |
84 |
|
264 |
59 |
88 |
121 |
188 |
224 |
265 |
302 |
62 |
91 |
|
289 |
71 |
105 |
143 |
207 |
247 |
287 |
319 |
81 |
123 |
Задача 4.3. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью p. Найти вероятность того, что среди n соединений неправильными будут ровно k соединений.
Значения параметров p, n, k найдите по следующей схеме.
Пусть V номер Вашего варианта.
Вычислите .
Вычислите S = остаток (V/7) + 1.
Найдите k = остаток (V/5) + 1.
Например, номер Вашего варианта 31, т.е. V = 31. Тогда:
1. = 31100 + 200 = 3300.
S = остаток (V/7) + 1= остаток (31/7) + 1 = 3 + 1 = 4.
k = остаток (V/5) + 1 = остаток (31/5) + 1 = 1+1= 2.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 4
1.Что такое независимые испытания?
2.Запишите формулу Бернулли. В каких случаях ее использование затруднительно?
3.Когда используется локальная формула Лапласа? Как она выглядит? Что такое функция Гаусса и какими свойствами она обладает?
4.Когда используется интегральная формула Лапласа? Как она выглядит? Что такое функция Лапласа и какими свойствами она обладает?
5.Когда используется формула Пуассона? Как она выглядит?
6.Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?
7.В некотором водоеме карпы составляют 80% всех рыб. Найти вероятность того, что из шести выловленных в этом водоеме рыб окажется: 1) четыре карпа; 2) более трех карпов.
8.Всхожесть семян равна 90%. Для опыта отобрано 6 семян. Определить вероятность того, что будет не более четырех всходов.
9.Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? б) не менее 2 партий из 6 или не менее 3 партий из 6? (Ничьи в расчет не принимаются).
10.Вероятность того, что наудачу выбранная деталь стандартна, равна 0,85. На контроль поступило 200 деталей. Какова вероятность, что 158 из них будут стандартными.
11.Вероятность появления некоторого события в каждом из 18 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события в указанной серии опытов по крайней мере три раза.
12.В банк поступило 5000 пачек денежных знаков. Вероятность того, что пачка неправильно укомплектована, то есть содержит недостаточное или избыточное количество дензнаков, равна 0,0004. Найти вероятность того, что среди поступивших пачек не более одной укомплектовано неправильно.
13.Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг; б) по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.
Тема 5. |
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ |