3832

Таким образом, для каждой пары значений = ± e отличающихся только по знаку, имеем:

F( j e ) U( e ) jV( e )

F( j e ) U( e ) jV( e )

откуда следует, что при изменении знака комплекс F(j ) изменяется на со-

пряженный, расположенный на комплексной плоскости симметрично, отно-

сительно вещественной оси.

Поэтому при построении годографа функции F(j ) можно ограничить-

ся построением лишь одной его ветви, соответствующей положительным значениям (от 0 до + ). При этом изменение аргумента F(j ) уменьшится в 2 раза по сравнению с изменением аргумента F(j ) при изменении от –

до + . Учитывая, что при a0>0 все коэффициенты характеристического уравнения положительны и F(0)= an>0, т.е. годограф начинается на вещест-

венной положительной полуоси.

Изложенные соображения приводят к формулировке критерия устой-

чивости, предложенной А. В. Михайловым.

Система автоматического регулирования будет устойчива, если годо-

граф характеристической функции F(j ) при изменении от 0 до + , начи-

наясь на вещественной положительной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического уравнения дан-

ной системы.

Признаки неустойчивости

Необходимый и достаточный признак: число последовательно прой-

денных квадрантов координатной плоскости не равно n.

Достаточные, но не необходимые признаки:

1)при = 0 годограф начался не на положительной полуоси;

2)на некотором участке вектор годографа вращался по часовой стрелке;

251

3)нарушилась последовательность прохождения квадрантов (для полных уравнений, у которых все коэффициенты ai отличаются от нуля, этот признак необходим и достаточен);

4)если годограф прошел при некотором значении k через начало координат,

система или неустойчива, или находится на границе устойчивости, и уравне-

ние (3.158) имеет чисто мнимые корни ±j ; если при этом бесконечно малой деформацией годографа Михайлова в окрестности начала координат можно удовлетворить условиям устойчивости, то получаем границу устойчивости;

если нет, то система неустойчива и, кроме того, имеются чисто мнимые кор-

ни;

5) если годограф Михайлова начинается в начале координат, т. е. F(0)=0, то an=0, и у системы, по крайней мере, один нулевой корень.

На рис. 3.29 показаны годографы Михайлова неустойчивых систем. На рис. 3.29, а приведены возможные годографы неустойчивых систем при n=4,

на рис. 3.29, б представлен случай, когда на участке MN вектор F(j ) повора-

чивается по часовой стрелке, а на рис. 3.29, в - система находится на границе устойчивости, так как годограф Михайлова прошел через начало координат,

но его малая деформация (прерывистая линия) делает систему устойчивой.

Рис. 3.29. Годографы Михайлова неустойчивых систем

252

3.7.3. Критерий Найквиста. Запасы устойчивости

Образуем частотную характеристику замкнутой системы

где A( j ) Ap ( j ) Bp( j ) 0 - характеристическое уравнение замкнутой

системы.

Будем полагать, что степень многочлена Bр(j ) меньше степени много-

члена Aр(j ). Для доказательства критерия устойчивости Найквиста введем вспомогательную функцию

Ap ( j )

Числитель этой дроби представляет собой характеристический поли-

ном замкнутой системы, а знаменатель – характеристический полином ра-

зомкнутой системы /5/. Так как в степень Bp(j ) не выше степени Ap(j ), то степени числителя и знаменателя (3.182) равны между собой и равны n.

Примем, что характеристическое уравнение замкнутой системы имеет l

правых и n-l левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы – m правых и n-m левых корней.

Приращение аргумента вектора Ap(j ) равно

Для устойчивости замкнутой системы в силу критерия Михайлова не-

обходимо

2

253

Следовательно, приращение аргумента вспомогательной функции

(3.182) составляет

В осях амплитудно-фазовой характеристики начало координат вектора

точке (-1, j0), а конец на ам-

плитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы W(j ), повернулся бы в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол m , где m – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой сис-

темы, т. е. чтобы характеристика W(j ) охватила точку (-1, j0) в положитель-

ном направлении m раз.

2

На рис. 3.30, а сплошной линией показан годограф Найквиста при m= 1

и , изменяющейся от 0 до . Как видно, годограф W(j ), охватывая точку (- 1, j0), совершает пол-оборота в положительном направлении, что указывает на устойчивость замкнутой системы автоматического регулирования. Здесь же штриховой линией построено зеркальное отображение годографа относи-

тельно оси абсцисс, соответствующее изменению частот от - до 0.

254

Если разомкнутая система устойчива, то m=0 и суммарный угол пово-

рота вектора вокруг точки (-1, j0) должен равняться нулю, т. е. для этого слу-

чая получаем следующую формулировку: если разомкнутая система устой-

чива, то точка (-1, j0) не должна охватываться (должна находиться вне кон-

тура) амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы W(j ) (рис.

Как видно из рис. 3.31, а при К1 система устойчива, а при К2 неустой-

чива. У систем второго класса при увеличении или уменьшении коэффици-

ента усиления К может происходить потеря устойчивости (рис. 3.31, б и в).

Как при коэффициенте усиления системы К1, так и при К2 годограф охваты-

вает точку (-1, j0). Следовательно, в обоих случаях системы являются неус-

тойчивыми.

Введем понятие запаса устойчивости в системах автоматического регу-

лирования. Будем считать, что система, обладает требуемым запасом устой-

чивости, если она удовлетворяет условию устойчивости при значениях моду-

ля вектора |W(j )|, отличающихся от единицы не менее чем на заданную ве-

личину ±Hm, называемую запасом устойчивости по модулю, и имеет фазо255

вый угол, отличающийся от не менее чем на величину ± , называемую за-

пасом устойчивости по фазе.

Соответствующие запасы устойчивости по

частотные характеристики, соответствующие кривым рис. 3.32, а, построены на рис. 3.32, б. Здесь же показаны зоны запрета в виде зон А, В, С и действи-

тельные значения запасов H и с. В логарифмическом масштабе запас по мо-

дулю: L= –20lg W(j ) , где – частота, на которой фазовый сдвиг, вноси-

мый контуром, равен - радиан. Запас устойчивости по фазе определяется так: = +argW(j ср), где ср – частота среза, на которой W(j ) =1. Величи-

на запаса устойчивости по фазе обычно лежит в пределах 30° ...60°.

Вместе с тем, необходимо отметить, что существуют и иные определе-

ния запаса устойчивости по модулю. Так, в /7/ запас устойчивости по модулю

W( j )

систем запас по модулю больше единицы. Если система находится на гра-

нице устойчивости, то W(j ) = –1; =1. Величина обычно лежит в преде-

лах 2...10 (6...20 дБ).

256

Аналогичное определение изложено в

/2/, где действительный (присущий анализи-

руемой системе) запас устойчивости по ампли-

туде определяется расстоянием а от начала координат до точки пересечения годографом Найквиста действительной оси при частоте ,

Запасы по модулю и фазе количественно характеризуют роль контура в перемещении корней характеристического по-

линома, как правило, доминирующих, т. е. ближайших к мнимой оси ком-

плексных корней, в основном определяющих характер процессов (см.

п.3.8.3.).

Рассмотрим далее применение критерия устойчивости Найквиста к анализу устойчивости астатических систем автоматического регулирования.

В этом случае передаточную функцию разомкнутой системы можно предста-

вить в виде

где - порядок астатизма.

На плоскости s возьмем полуокружность + около начала координат с радиусом 0 (контур Найквиста, см. рис. 3.34, а). Тогда можно написать

s ej (3.187)

Подставив полученное выражение в формулу (3.186) при = 1, найдем

Из полученного выражения видно, что при движении точки по полуок-

ружности + против часовой стрелки конец вектора W(s) описывает полуок-

257

ружность бесконечного радиуса R , двигаясь по часовой стрелке (см. рис. 3.34, б). Годограф W1(s) строится обычным способом.

На рис. 3.35, а, б и в построены годографы устойчивых систем автоматического регулиро-

вания с астатизмами соответственно 1, 2 и 3-го порядков ( = 1; = 2; = 3).

Сформулируем критерий устойчивости систем автоматического регулирования, более удобный для практического применения. Для этого введем правило знаков: переход годографа

W(s) через отрезок (- , -1) из верхней полуплос-

кости в нижнюю будем считать положительным,

а из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость – отрицательным.

Пользуясь этим правилом знаков, можно сформулировать следующий крите-

рий устойчивости.

Рис. 3.35. Годографы Найквиста для устойчивых в замкнутом состоянии астатических систем:

а – при = 1; б – при = 2; в – при = 3

Система автоматического регулирования будет устойчивой в замкну-

том состоянии, если разность между положительными и отрицательными пе-

реходами годографа разомкнутой системы через отрезок действительной оси

(- , -1) равна m .

2

258

При m = 0 система устойчива, когда разность положительных и отри-

цательных переходов годографом через отрезок (- , -1) равна нулю.

На рис. 3.36 показано применение этого критерия к анализу устойчиво-

сти двух систем автоматического регулирования. В точках перехода выде-

ленного отрезка (- , -1) годографом поставлены стрелки, направленные в сторону возрастания . В окруж-

ностях поставлены знаки перехо-

дов.

равно 2 и со знаком минус также равно 2. Следовательно, по приведенному

выше критерию 2 2 0 , т. е. рассматриваемая система устойчива в замк-

2

нутом состоянии. В системе, годограф которой построен на рис. 3.36, б, име-

ем m = 3, тогда 2 1 3 и система автоматического регулирования также

2 2

является устойчивой в замкнутом состоянии.

3.7.4. Устойчивость систем с трансцендентными звеньями

Раньше указывалось, что в системы автоматического регулирования могут входить трансцендентные звенья, передаточные функции которых по-

лучаются из уравнений элементов в частных производных. Одним из наибо-

лее часто встречающихся трансцендентных звеньев является звено «чистого» запаздывания с передаточной функцией W(s) e s . Полагая, что запазды-

вание сосредоточено в одном звене системы, представим ее передаточную функцию в виде

259

где W1(s) – передаточная функция минимально-фазовой части системы.

Для анализа устойчивости систем с запаздыванием используется рас-

смотренный ранее критерий Найквиста. Фазовая характеристика разомкну-

той системы с запаздыванием по сравнению с системой без запаздывающего звена имеет отрицательное приращение, пропорциональное частоте , где коэффициентом пропорциональности является время запаздывания . Поэто-

му вследствие отрицательного приращения фазы с возрастанием частоты возможно нарушение устой-

(рис. 3.37).

Формулировка критерия Найквиста для систем с запаздыванием не ме-

няется. Однако по сравнению с системами без запаздывания в рассматривае-

мых системах явления устойчивости и неустойчивости чередуются при не-

прерывном изменении времени запаздывания .

Для характеристики условий устойчивости вводят понятия о критиче-

ских временах запаздывания и соответствующих им частотах. Критическим временем запаздывания и критической частотой называют такие значения кр

и с, при которых амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку (-1, j0).

Критическое время запаздывания и частота определяются равенствами

/8/:

260