3832
.pdf
Будем считать, что колебательная составляющая xi(t) с наибольшей ам-
плитудой 2А1 (или С1) и наименьшим затуханием 1 за время tp становится меньше 1=0,05 (5% от установившегося значения). Тогда формулу (3.211)
для вычисления tp можно записать в виде
tp |
1 |
ln 40A1 |
|
3 ln2A1 |
(3.212) |
||
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
||
при доминирующем действительном корне
tp |
3 |
lnC1 |
. |
(3.213) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
При этом остальные полюсы и нули будем считать скомпенсирован-
ными, т.к. расстояние между ними i i 0,1 i 0,1 i 
.
В случае доминирующих действительных корней время регулирования определяется апериодической огибающей кривой колебательного переходно-
го процесса, представленной на рис. 3.51 для случая подавления возмущения. Тогда при С1=1
время регулирования
|
tp |
3 |
ln1 |
|
3 |
|
3T1 |
(3.214) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 3.51. Переходный |
где T1 – наибольшая постоянная времени систе- |
||||||||
процесс при доминирующих |
мы. |
|
|
|
|
|
|||
действительных корнях |
|
|
|
|
|
||||
характеристического |
Следует отметить, что выражение (3.214) |
||||||||
уравнения |
|||||||||
|
справедливо и |
для |
|
других видов |
переходных |
||||
процессов (монотонных и апериодических), если допустимая статическая ошибка составляет 5% от заданного значения.
Для определения максимума перерегулирования воспользуемся выра-
жением (3.210), дифференцируя которое и приравнивая результат к нулю,
получим |
|
|
|
|
|
tg( 1tm |
1 |
) |
1 |
(3.215) |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
||
|
281 |
|
|
||
где tm – время достижения первого максимума.
Из (3.215) следует:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
tm |
|
|
arctg( |
|
) 1 i |
, |
(3.216) |
||
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
где i=0, 1, ….
Для определения времени наступления первого максимума следует по-
ложить i=0.
Угол i, представляющий собой аргумент комплексной амплитуды A1:
mn
1 j i arg 1
j 1 |
i 2 |
где i – углы векторов, проведенных из нулей j в полюс 1 (рис. 3.52); i –
углы всех векторов, проведенных из всех полюсов в полюс 1.
Из анализа рис. 3.52 следует, что arg |
arctg( |
1 |
) |
1 |
. |
|
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда (3.216) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tm |
|
|
arctg( |
1 |
|
) i |
j arctg( |
|
1 |
) . |
(3.217) |
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
i 2 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как arctg( |
1 |
) arctg( |
|
1 |
) |
|
и arg( 1 |
2 |
) |
|
, то |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tm |
|
|
i j . |
|
|
|
|
|
|
|
(3.218) |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 3 |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Упрощенная картина переходного процесса в системе определяется |
||||||||||||||||||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(t ) |
B(0 ) |
2A e 1t cos( |
t |
|
), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A(0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда
282
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2A |
1 |
e |
|
i |
|
3 |
i |
j |
1 |
j |
, |
(3.219) |
||||
|
|
|
|
max |
2 |
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
m |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|||||
|
|
1 |
|
1 |
|
где A |
|
B( 1 ) |
|
|
j 1 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
^ |
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( ) |
|
( 1 i ) |
||||||||||
-Re |
4 |
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что приближение любого по- |
|||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
люса i |
к доминирующему 1 |
и приближение |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Рис. 3.52. Геометрические |
нуля i к началу координат приводят к возрас- |
||||||||||||||||||||
танию времени протекания переходного про- |
|||||||||||||||||||||
характеристики расположения |
|||||||||||||||||||||
|
|
нулей и полюсов |
|
цесса и максимума перерегулирования max. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
При исследовании вынужденных движений в правой части дифферен- |
||||||||||||||||||||
циального уравнения помимо собственно воздействия могут появляться и его |
|||||||||||||||||||||
производные, приводящие к появлению нулей передаточной функции. Как |
|||||||||||||||||||||
следует из (3.219), это может приводить к существенному изменению макси- |
|||||||||||||||||||||
мума перерегулирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Как отмечается в /2/ влияние нулей на реакцию передаточной функции |
||||||||||||||||||||
несколько более хитрое, чем полюсов. Одна из причин заключается в том, |
|||||||||||||||||||||
что, в то время как полюсы связаны с отдельными независимыми состояния- |
|||||||||||||||||||||
ми, нули являются результатом добавочных взаимодействий этих состояний, |
|||||||||||||||||||||
связанных с различными полюсами. Кроме того, нули передаточной функции |
|||||||||||||||||||||
зависят от того, где приложено входное воздействие и каким образом форми- |
|||||||||||||||||||||
руется выходной сигнал как функция состояний. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
В то время как расположение полюсов определяет характер видов дви- |
||||||||||||||||||||
жений системы, расположение нулей определяет пропорцию, в которой эти |
|||||||||||||||||||||
составляющие объединены. Эти комбинации собственных движений могут |
|||||||||||||||||||||
быть совершенно разными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Аналогично определениям для системы полюсов определим быстрые и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
283 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
медленные нули. Быстрые нули – это те, которые расположены намного дальше от границы устойчивости, чем доминирующие полюсы. С другой стороны, медленные нули – те, которые находятся намного ближе к границе устойчивости, чем доминирующие полюсы системы.
Для иллюстрации влияния нулей на характер переходных процессов,
рассмотрим следующий пример /2/.
Пусть передаточная функция системы имеет вид:
s
W ( s )
( s 1)(Ts 1)
Вэтой системе имеются две составляющие собственного движения e t
|
1 |
t |
1 |
и 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
и e T , определяемые двумя полюсами 1 |
соответственно. |
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
T |
|||
Первое из них практически перестает действовать, когда приближается к -1.
То же повторяется для второй составляющей, когда приближается к 1 .
T
На рис. 3.53 показаны составляющие собственного движения системы при ступенчатом воздействии, T=0,5
и различных значениях , указанных около каждой из реакций.
Очевидно, что быстрый нуль,
например, 1, не имеет никакого
Рис. 3.53. Влияние расположения нуля на существенного воздействия на пере-
переходную характеристику
ходный процесс. Когда нуль медлен-
ный и устойчивый, возникает существенное перерегулирование, в то время как при медленном и неустойчивом нуле - существенное недорегулирование,
которое может, в зависимости от его местоположения, достигать значений до
500% при 400% перерегулирования при том же значении . В системе с не-
минимально-фазовыми (расположенными в правой полуплоскости) нулями
недорегулирование может быть определено по формуле, полученной анало284
гично (3.219) для апериодических составляющих собственных движений:
|
|
|
1 |
|
1 |
(3.220) |
|
n |
e tp 1 |
tp |
|||||
|
|
|
|
Формулу (3.220) можно использовать и в случае, если вещественный минимально-фазовый (расположенный в левой полуплоскости) нуль меньше,
чем доминирующий полюс.
3.8.4. Интегральные оценки качества переходных процессов
Интегральной оценкой называется определенный интеграл по времени некоторой функции координат системы автоматического управления:
|
|
I F[ y1(t ), ,yn(t )]dt. |
(3.221) |
0 |
|
В качестве yi(t) (i=1,…, n) могут служить, например, выходной сигнал и его производные в различных точках системы. Функция F подбирается так,
чтобы несобственный интеграл сходился, а значения показателя I количест-
венно характеризовали качество процессов y(t).
Интегральные показатели качества оценивают процессы в наиболее сжатой форме – кривой y(t) ставится в соответствие число. Обычно, чем меньше значение I, тем процесс сходится быстрее.
Интегральной линейной оценкой (ИЛО) называется определенный ин-
теграл линейной формы координат системы:
|
n |
|
Ië |
ñk (t )yk (t )dt. |
(3.222) |
0k 1
Вкачестве заданных функций ck(t) могут использоваться /45/:
|
|
ck (t ) ck |
const; |
(3.223) |
|
ck (t ) cktm , |
m 1,2, ; |
(3.224) |
|||
c |
k |
(t ) c tme t , |
m 1,2, |
(3.225) |
|
|
k |
|
|
|
|
Интегральной квадратичной оценкой (ИКО) называется определенный
285
интеграл от квадратичной формы координат системы:
n
Iл vTQvdt D (t )y (t )y (t )dt, |
(3.226) |
|
0 |
0 , 1 |
|
где Q –положительно определенная матрица весовых коэффициентов; ν –
вектор переменных состояний; D — заданные коэффициенты квадратичной формы.
Простейший линейный интегральный показатель при ck (t ) ck const
имеет вид:
I сk y(t )dt min |
(3.227) |
0 |
|
и представляет собой масштабированную величиной сk площадь под кривой переходного процесса. Чаще всего сk=1 и это значение принято при дальней-
шем рассмотрении.
При ck (t ) ck tm , m 1,2, в качестве интегральной оценки исполь-
зуются моменты /7/
|
|
I tm y(t )dt, |
m 1,2, |
0 |
|
при вычислении которых производится вычисление с весом - больше «стоят» ординаты процесса при больших t.
Моменты достаточно легко вычисляются по изображению переменной на основании теоремы о дифференцировании изображения /33/. Воспользо-
вавшись координатной функцией сk (3.223) в предположении существования интегралов (3.220), получим следующую общую формулу для вычисления
/45/ величины Iл:
n |
m |
dm |
|
|
||
Iл ck |
( 1) |
|
|
Yk ( s ) |
min, |
(3.228) |
ds |
m |
|||||
k 1 |
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Yk ( s ) — изображение по Лапласу k-й координаты системы; при =0
справедливую для вычисления моментов. 286
ля оказываются более колебательными.
Для учета колебательности процесса интегральный квадратичный по-
казатель дополняют взвешенным интегралом от квадрата производной y(t), т.
е. переходят к выражению
|
|
J1 [ y2 ( t ) 12 ( y )2 ( t )]dt. |
(3.230) |
0 |
|
Данный показатель называется улучшенной ИКО. Если процесс колеба-
тельный, то относительно большие значения имеют ординаты y (t ), что и учитывается интегралом с весовым коэффициентом 12 .
Улучшенная интегральная квадратичная оценка тем меньше, чем ближе процесс y(t) к некоторой экстремали y*(t). Найдем эту кривую, играющую роль, аналогичную экстремуму функции, т. е. найдем кривую, доставляющую минимум функционалу. Для этого преобразуем J1 к виду
J1 [ y(t ) 1( y )(t )]2 dt 2 1 y(t )y (t )dt.
0 0
Второе слагаемое запишем так:
|
0 |
|
y |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
2 1 |
|
ydy 2 1 |
|
|
|
1 y2(0) 1 . |
||
2 |
||||||||
|
y(0 ) |
|
|
|
y(0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь учтено, что х( )=0, а х(0)=1. Функционал J1 достигает миниму-
ма, если первая составляющая J1 равна нулю, что означает
1 y (t ) y(t ) 0 .
Следовательно, J1 достигает минимума, если y(t) является решением дифференциального уравнения первого порядка при начальном условии y(0),
t 1
т.е. когда y(t ) y* (t ) y(0 )e 1 . При типовом начальном условии y(0)=1
минимальное значение функционала J1 y* (t ) 1.
Чем лучше система управления в смысле показателя J1, тем ближе про-
цесс к экспоненте y*(t) с постоянной времени 1. Увеличение коэффициента
288
веса 1 при формировании показателя означает предпочтение системам с бо-
лее медленно затухающими процессами. По существу, показатель J1 означает принятие стереотипа качества в виде эталонной системы первого порядка.
В случае анализа системы высокого порядка процесс y(t) отличается от экспоненты y*(t).
Судить, насколько прямые показатели процесса y(t) отличаются от со-
ответствующих показателей экспоненты y(t) удобнее всего, имея оценку
max y(t ) y* (t ) — максимум модуля разности кривых. Целесообразно по
t
абсолютной разности J1 J1 y(t ) J1 |
y* (t ) J1 1 0найти мажо- |
ранту y*(t)+u и миноранту y*(t)-u для y(t). |
Оказывается /49/, что для улуч- |
шенной ИКО оценки справедливо соотношение u |
J1 |
. |
|
||
|
1 |
|
На рис. 3.54 изображены мажоранта и миноранта. Чем больше величи-
на 1, тем уже полоса, в которую заключена оце-
ниваемая кривая y(t), но больше и значение функ-
ционала J1. Учитывая, что минимальное значение
|
(J1 1 ) |
|
|
J1 |
|
|
J1 равно 1, запишем: u |
|
|
1. |
|||
|
1 |
|||||
|
1 |
|
|
|||
Рис. 3.54. Мажоранта и |
Наилучшая оценка кривой y(t) по ИКО дос- |
миноранта процессов |
тигается при минимальном значении u, которое |
|
|
|
зависит от значения коэффициента веса 1. |
Рассмотрим теперь модель собственно системы управления, представ-
ленную в нормальной форме пространства состояний dv Av; v(0 ), при ти- dt
повых начальных условиях v(0)=(1 0 … 0)T, и первый интеграл (3.226), для которого:
289
|
|
|
|
|
q11 |
q12 |
|
q1n |
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q22 |
|
|
|
|
|
T |
Qv (v1 |
v2 |
v3 |
) |
q21 |
q2n v2 |
|
|||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
qn2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
qn1 |
qnn vn |
|
|
||||
v12q11 v1v2q21 v1vnqn1 v1v2q12 v22q22 v2vnqn2
v1vnq1n v2vnq2n vn2qnn
Подставляя полученное выражение в (3.226) при v1=y и диагональной мат-
рице Q получим обобщенную ИКО в виде:
J1 [ y2 (t ) 1( y )2 (t ) n2n( y( n )(t ))2 ]dt,
0
используемом для оценки процессов сопоставлением с эталонным поведени-
ем, описываемым дифференциальным уравнением n - го порядка для систем,
состояние которых характеризуется одной координатой и ее производными
/11/.
3.9. Установившаяся ошибка и инвариантность линейных систем управления
3.9.1. Установившаяся ошибка линейной системы управления
В установившемся режиме, т.е. после прекращения переходного про-
цесса, между входной (управляющей) и выходной переменными системы может сохраняться различие, обусловленное как внешними и внутренними шумами, так и структурным несоответствием системы внешним воздействи-
ям. Для реализации цели управления – обеспечения соответствия между управляющей и выходной переменными (ковариантности) системы, необхо-
димо рассмотреть причины возникновения систематических ошибок стацио-
нарных линейных систем и выявить способы их структурной и алгоритмиче-
ской компенсации.
Рассмотрим ошибки, возникающие вследствие неопределенности внешних воздействий.
290