3832

Основным в теории инвариантности является случай, когда о воздейст-

виях нет никакой информации (в том числе статистического характера). Это значит, что для абсолютной инвариантности должно выполняться условие равенства нулю передаточной функции для всех значений комплексного ар-

а абсолютная ковариантность управляемой переменной с задающим воз-

действием достигается при условии

Условие абсолютной инвариантности (3.262) - тождественное равенст-

во нулю передаточной функции системы по каналу передачи возмущающего воздействия - реализуется редко. Обычно добиваются условий инвариантно-

т. е. ограничивают степень и высоту полинома числителя передаточной функции (операторного полинома при воздействии).

Форма инвариантности, когда ограничивается установившаяся реакция системы на некоторые определенные типы воздействий, называется селек-

тивной инвариантностью. Условие селективной абсолютной инвариантно-

сти записывается как условие равенства нулю передаточной функции систе-

мы на полюсах sk изображения возмущения: sk : f ( sk ) 0 .

Селективная инвариантность до - ограниченность установившейся реакции системы на воздействие определенного типа - достигается при усло-

вии

sk : f ( sk ) .

301

Очевидно, следует стремиться минимизировать значения модуля пере-

даточной функции системы по возмущению в той области комплексной плоскости, где размещаются полюсы изображения воздействия. Малость зна-

чений передаточной функции на полюсах возмущения означает малость ус-

тановившихся составляющих реакции.

Существенным условием инвариантности является отсутствие обоб-

щенного резонанса в системе. Обобщенный резонанс означает совпадение полюсов изображения воздействия с полюсами передаточной функции сис-

темы (комплексных частот воздействия с собственными комплексными час-

тотами): sk = si.

Для лучшего подавления воздействия необходимо отдалять полюсы передаточной функции от полюсов воздействия /7, 8/.

Ограничение модуля передаточной функции на частотах воздействия приводит к ослаблению вынужденных установившихся реакций. Однако при этом переходная составляющая вынужденных движений, обусловленная по-

сленачальными условиями, может и не ослабляться. Как следует из выраже-

ния (2.144), эта составляющая реакции системы будет тем меньше, чем дальше расположены полюсы передаточной функции si= i, от полюсов sk= k

изображения воздействия (это увеличивает Ax( i )) и чем ближе нули переда-

точной функции к ее полюсам (это уменьшает B( i)).

Для обеспечения ковариантности с заданием реакция системы y(t) на задающее воздействие должна быть как можно ближе к g(t). Система хорошо воспроизводит задающее воздействие, если передаточная функция

( s ) B( s ) имеет близкие значения на полюсах воздействия, т.е.

A( s )

Это значит, что АЧХ системы по каналу воспроизведения должна быть постоянной на спектре задающего сигнала.

302

На рис. 3.57, а /7/ изображены графики АЧХ абсолютно инвариантной

(кривая 2) систем приведены на рис. 3.57, б, где р — резонансная частота;

М— показатель колебательности.

Все изложенное об инвариантности предполагает, что система асим-

птотически устойчива. Свободная составляющая движений и вынужденная

переходная составляющая со временем затухают до нуля.

Рассмотрим далее метод определения условий абсолютной инвариант-

ности, при котором используется теория линейных дифференциальных урав-

нений и теория матриц. При этом первоначально будем иметь в виду про-

стейшую систему автоматического регулирования, состоящую из объекта ре-

гулирования с одной регулируемой переменной y1(t) и регулятора с двумя

обобщенными координатами – y2(t) и y3(t).

Таким образом, мы рассмотрим динамическую систему, обладающую тремя степенями свободы и описываемую следующими операторными урав-

нениями /52/ с постоянными коэффициентами:

где все полиномы aij(s) (i,j=1,2,3) имеют вид

где mij, lij,cij - некоторые постоянные величины; Y1(s), Y2(s), Y3(s) - изображе-

303

ния по Лапласу для координат y1(t), y2(t), y3(t); r1(s), r2(s), r3(s) - члены, соот-

ветственно отображающие начальные условия для y1(t), y2(t), y3(t).

Согласно теореме о дифференцировании оригиналов, величины r1(s), r2(s), r3(s) для рассматриваемого случая, когда aij(s) имеют форму уравнения

(3.266), записываются в следующем виде:

m13 [ y3 (0 )s y3 (0 )] l13 y3 (0 ),

где y1(0), y2(0), y3(0) - начальные значения соответствующих координат; y1(0), y2 (0), y0 (0) - начальные значения скоростей их изменения.

Уравнение (3.267), также, как и в /52/ записано для координаты y1(t).

Для других координат y2(t) и y3(t) уравнения будут аналогичными.

Разрешив систему уравнений (3.265) относительно изображения Y1(s) и

опуская для краткости символ s, будем иметь

Раскрывая определители третьего порядка, получим

Вид уравнения (3.269) позволяет определить условие, при котором ре-

гулируемый параметр y1(t) не будет зависеть от внешнего возмущения f(t).

Действительно, если потребовать, чтобы

то координата y1(t) будет абсолютно инвариантна относительно внешнего воздействия f(t). Условие (3.270) впервые было найдено Г. В. Щипановым и носит его имя. Если раскрыть определитель (3.270), учитывая выражение

304

(3.266), то получим следующую группу условий, только при соблюдении ко-

торых и будет гарантирована инвариантность x1 относительно f(t).

С учетом условия Щипанова (3.270), уравнение (3.269) может быть приведено к виду:

где введены следующие обозначения для миноров:

Тогда (3.272) окончательно можно записать в виде:

Выражение (3.273) подтверждает сделанное ранее утверждение, что при удовлетворении условия абсолютной инвариантности (3.270) исключает-

ся только вынужденная компонента решения, обусловленная действием воз-

мущения f(t), а собственная (переходная) составляющая, определяемая на-

чальными значениями координат и скоростей, входящими в r2(s) и r3(s), оста-

ется такой же, как от управляющего воздействия g(t). Таким образом, из вы-

ражения (3.273) следует, что достижение инвариантности не гарантирует ну-

левого значения переходной составляющей.

305

Рассмотрим теперь общий случай многомерной системы со многими регулируемыми параметрами (MIMO-система). Так как. для каждой из регу-

лируемых переменных необходимы свои измерительные и усилительные устройства, а также исполнительные двигатели, то вся система при нулевых начальных условиях в целом будет описываться совместной системой диф-

ференциальных уравнений с n переменными вида:

a11( s )Y1( s ) a12 ( s )Y2 ( s ) a1n( s )Yn( s ) F1( s ); a21( s )Y1( s ) a22 ( s )Y2 ( s ) a2n ( s )Yn( s ) F2 ( s );

an1( s )Y1( s ) an2 ( s )Y2 ( s ) ann ( s )Yn ( s ) Fn ( s )

где полиномы aij(s) (i,j=1,2,…,n) могут быть представлены в виде (3.266).

Определим критерий инвариантности какой-либо j-й координаты отно-

сительно i-го-возмущения. Для нахождения условия независимости yj(t) от fi(t) разрешим систему алгебраических уравнений (3.274) относительно пере-

менной Yj(s).

где A1j, A2j, …, Aij,…, Anj - алгебраические дополнения главного определителя

системы

соответствующие его элементам a1j, a2j, …, aij,…, anj.

306

Из уравнения (3.275) видно, что для достижения абсолютной инвари-

антности yj(t) относительно fi(t) необходимо и достаточно, чтобы

Выражение (3.277) называют критерием абсолютной инвариантности Щипанова-Лузина. Это выражение впервые было получено в работах /53, 54/.

Следует отметить, что по мере роста числа регулируемых переменных и усложнения постановки задачи, выражения для критерия инвариантности становятся громоздкими и плохо обозримыми. Поэтому естественно желание иметь некоторое простое правило, пользуясь которым, можно было бы легко получать соответствующие выражения для условий инвариантности. Такого рода простое правило может быть получено при использовании обычных представлений теории автоматического регулирования. Так, если из уравне-

ния (3.275) найти выражение для Yj(s), то при этом будем иметь следующее равенство:

Полагая теперь в (3.278) все возмущения, кроме fi(t), равными нулю,

можем записать выражение для передаточной функции Wf(s) между точкой приложения внешнего воздействия fi(t) и точкой измерения координаты yj(t)в

виде

При выполнении условия абсолютной инвариантности (3.277) из выра-

307

жения (3.279) следует, что Wf(s) 0 при (s) 0. Поэтому можно сказать, что для достижения абсолютной инвариантности некоторой координаты yj(t) от-

носительно внешнего воздействия fi(t) необходимо и достаточно, чтобы пе-

редаточная функция Wf(s) между точкой приложения внешнего воздействия fi(t) и точкой измерения yj(t) была бы тождественно равна нулю, когда все ос-

тальные воздействия отсутствуют и имеются нулевые начальные условия.

Таким образом, выполнение условий инвариантности сводится к простому подбору нулевого значения передаточной функции между соответствующи-

ми точками структурной схемы, рассматриваемой системы автоматического управления или регулирования.

Как уже говорилось выше, требование абсолютной инвариантности ко-

ординаты yj(t) относительно возмущения fi(t) вида (3.277) Aij(s) 0 эквивалент-

но приравниванию нулю передаточной функции (3.279). Это требование удовлетворяется, если передаточную функцию Wf(s) можно представить в виде разности двух передаточных функций:

Wf(s) = Wf1(s) - Wf2(s).

Поэтому в работах /55, 56/ условия реализуемости абсолютно инвари-

антных систем были сформулированы как принцип двухканальности: необ-

ходимым, но недостаточным, признаком реализуемости абсолютно инвари-

антной системы является наличие в ней, по меньшей мере, двух каналов пе-

редачи возмущающего воздействия fi(t) между точкой его приложения и точ-

кой измерения координат, для которой достигается инвариантность. При этом отметим, что принцип двухканальности не заменяет собой необходи-

мых и достаточных условий физической осуществимости абсолютно инвари-

антных систем /52/, но он является основным положением, которым следует руководствоваться при выборе рациональной структуры абсолютно инвари-

антных систем.

Если не удается обеспечить абсолютную инвариантность системы, на-

пример, из-за того, что требуется применение физически не реализуемого

308

звена (порядок числителя передаточной функции выше порядка ее знамена-

теля), то условия (3.270) и (3.277) не могут быть выполнены и система пере-

водится в класс инвариантных до . При этом каждое из условий (3.271) вы-

полняется с некоторой погрешностью, определяющей «грубость» системы.

3.9.4. Повышение точности систем автоматического управления

Практическое выполнение условий инвариантности может основывать-

ся на использовании как комбинированных систем, так и обратных связей, т.

е. на основе построения многоконтурной системы.

Уменьшение влияния возмущающего воздействия на выходную коор-

динату системы возможно ее построением как по принципу отклонения, так и по комбинированному принципу. Рассмотрим достигаемый при этом ре-

зультат на примерах систем управления, представленных на рис. 3.58.

Рис. 3.58. Структурная схема системы регулирования по отклонению (а) и комбинированного типа (б)

На рис. 3.58, а представлена структурная схема регулирования по отклоне-

нию с внутренней положительной обратной связью /52/. Уравнения системы можно записать в виде:

U(s ) Wu(s )[E(s) Wk (s )U(s )].

Исключая из полученной системы уравнений промежуточные пере-

309

менные, получим

W0 ( s )Wu ( s )Z1 ( s ) 1 Wu ( s )Wk ( s )

Из (3.280) видно, что условие абсолютной инвариантности будет вы-

полняться, если 1 Wu ( s )Wk (s ) 0, и его можно записать в виде:

Вполне понятно, что получение абсолютной инвариантности при инер-

ционном регуляторе с передаточной функцией Wu(s) невозможно и звено с передаточной функцией Wk(s) физически нереализуемо, так как контур внут-

ренней положительной обратной связи должен иметь бесконечно большой коэффициент усиления и бесконечно большое быстродействие. Поэтому в рассматриваемом простейшем случае системы регулирования (по отклонени-

ям) нельзя создать абсолютно инвариантную систему.

Вместе с тем, в отдельных случаях за счет применения положительной внутренней обратной связи, передаточная функция которой приближенно удовлетворяет (3.281), можно добиться значительного уменьшения устано-

вившейся ошибки и обеспечить селективную абсолютную инвариантность или селективную инвариантность до . В качестве примера на рис. 3.59 при-

ведены кривые переходных процессов для схемы, приведенной на рис. 3.58, а

310