Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3832

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

25.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 6930 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Заменим в (2.136) детерминированный сигнал x(t) его математическим ожиданием Mx при нулевых начальных условиях. Тогда, полагая в (2.136)

нижний предел интегрирования равным - , получим

My (t ) (t )Mx ( )d ( )Mx (t )d .							(3.231)
		0
Разложим функцию Mx (t- ) в ряд Тейлора с центром в точке t /4/:
				( r )	(t )
Mx (t ) ( 1)r			Mx		(t )	r .	(3.232)
Mx (t ) ( 1)r						r .	(3.232)
r 0				r!
Подставляя это выражение в (3.231), получим
	( r )	(t )
My (t ) ( 1)r	Mx	(t )		r ( )d .			(3.233)
My (t ) ( 1)r	r!			r ( )d .			(3.233)
r 0	r!			0
Величины

r r ( )d							(3.234)
0

обычно называются моментами весовой функции /4/ стационарной линейной системы.

Моменты весовой функции выражаются через значения передаточной функции системы и ее производных в начале координат. Воспользуемся формулой (2.31), на основании которой


( )e s d W( s).	(3.235)
0

Полагая здесь s = 0, находим момент нулевого порядка весовой функ-

ции стационарной линейной системы:

0 ( )d W(0).

(3.236)

Дифференцируя формулу (3.232) r раз по s, получим

( 1)r r ( )e s d W ( r )(s)

291

Полагая здесь s = 0, находим момент r-го порядка весовой функции

стационарной линейной системы:


r	r ( )d ( 1)rW( r )(0 ),	r 1,2, .	(3.237)
	0

Подставляя найденные выражения моментов весовой функции в фор-

мулу (3.233), получим

	r	(0 )
Mx (t )	W		Mx( r )(t ).	(3.238)

r 0	r!

Обозначим теперь через Wт (s) передаточную функцию идеальной ста-

ционарной линейной системы, точно осуществляющей требуемое преобразо-

вание L входного полезного сигнала. Применяя к этой системе формулу

(3.238), получим следующее выражение требуемого выходного сигнала:

		W( r )(0 )
	LMy (t )		T		Mx( r )(t ).		(3.239)
	LMy (t )			r!	Mx( r )(t ).		(3.239)
		r 0		r!
Систематическая ошибка системы определяется формулой
			1
(t ) My (t ) LMx (t )			1	[W ( r )(0 ) WT( r )(0 )]Mx( r )(t ).			(3.240)
(t ) My (t ) LMx (t )				[W ( r )(0 ) WT( r )(0 )]Mx( r )(t ).			(3.240)
		r 0	r!
Величины
Сr	1	[W ( r ) (0 ) WT( r )(0 )],				r 0,1, 2,	(3.241)
Сr	r!	[W ( r ) (0 ) WT( r )(0 )],				r 0,1, 2,	(3.241)

обычно называются коэффициентами ошибок.

Выражение (3.241) определяет мгновенное значение ошибки при слу-

чайных воздействиях. На практике при случайных входных воздействиях в качестве меры ошибки используют не ее мгновенное, а усредненное значе-

ние, представляющим собой среднее значение квадрата ошибки:

сp	1 T	2 (t )dt .

	2T T

Из (3.240) и (3.241) очевидно, что ошибка в системе определяется, в

первую очередь структурой оператора W(0), т.е. зависит от свойств системы

292

в установившемся режиме. Перейдем теперь к установлению связи между значениями коэффициентов ошибок Cr и параметрами передаточных функ-

ций системы.

На рис. 3.22 представлены типовые структурные схемы систем автома-

тического управления, различающиеся, в первую очередь видом обратной связи и местом приложения возмущающего воздействия. Вместе с тем, дина-

мические и статические свойства канала передачи возмущающего воздейст-

вия могут в общем случае отличаться от аналогичных свойств канала переда-

чи управляющего воздействия (прямого канала управления). Поэтому там,

где это необходимо, будем представлять объект управления в виде динами-

ческого звена, имеющего по каналу возмущения передаточную функцию

Wf(s) и передаточную функцию Wu(s) – по каналу управления (рис. 3.55). Не-

трудно показать (см. 3.2), что подобная структура объ-

екта отвечает схемам рис. 3.22 при Wf(s)+Wu(s)=W2(s)

(рис. 3.22, а, в) и Wf(s)=1, Wu(s)=W2(s) (рис. 3.22, б, г).

В соответствии с изложенным, ошибка воспроиз-

ведения задающего воздействия в замкнутой системе

Рис. 3.55. Структурное представление объекта характеризуется наличием двух структурных состав-

управления

ляющих /5/:

собственной ошибкой воспроизведения

g(s )	1	G(s ) G( s);	(3.242)

	1 W1(s)W2(s )

ошибкой воспроизведения от нагрузки (возмущающего воздействия)

		Wf	(s)
н	(s)			F(s) (s)Wf (s)F(s).	(3.243)

		1 W1(s)W2(s)

Компенсация ошибок воспроизведения от нагрузки будет рассмотрена далее, поэтому остановимся на анализе собственных ошибок воспроизведе-

ния, имея в виду, что передаточная функция (s) оказывает определяющее

влияние и на ошибку воспроизведения от нагрузки. 293

На основании (2.137) выходной сигнал по ошибке при нулевых началь-

ных условиях может быть представлен в виде

t
( t ) ( )g(t )d	(3.244)
0

Пусть также сигнал g(t) имеет r первых производных в интервале

0<t<T0 /5/. Тогда

g(t ) g

(t ) g

(t )

( )m 1

g( m 1 )(t ) R ,(3.245)

(m 1)!

где R

( )m

( m )(t );0 1;0 T .

Подставляя (3.245) в (3.244), получим

С2

Сm 1

( m 1 )

(t ) С0

f0 (t ) С1

(m 1)!

(t )

f0 (t )

m T0

(3.246)

( 1)

m R( m )(t

)R( )d g(t ) ( )d .

Если функция f( ) меняется медленно по сравнению с изменениями импульсной переходной функции, то, пренебрегая последними двумя члена-

ми в (3.246), получаем

(t ) С

(t )

С2

Сm 1

( m 1 )

(t ).

(3.247)

(t )

(m 1)!

0 0

Если интервал T0 достаточно велик (установившийся режим), то

С0 ( )d ( )d ( s )s 0 ,

0	0
	T0
C1 ( 1) ( )d ( 1)
				( )d
				( )d		s
	0		0			s
....................................................................
		i	( s )
Ci ( 1)i i ( )d			( s )		.
Ci ( 1)i i ( )d			s		.
			s		s 0

	,	(3.248)
	,	(3.248)
s 0

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

W(s) kW1(s). Рассматриваемая система является статической, W1(s) - дробно-

294

			m
			1 i si	, а k	b
рациональной функцией вида	W1	(s)	i 1		m	.
рациональной функцией вида			i 1			.
			n		an
			1 j sj		an

j 1

Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке будет иметь вид:

														(s)									1
														(s)							1 kW1(s )
																					1 kW1(s )
Вычисляя значения Ci в соответствии с (3.248), имеем /8/
коэффициент статизма статическойсистемы :
			1					1

C0											;

	1 kW01 (s )								1 k
						s 0
ошибку по скорости:
												(s ))0 1 k				W01 (s )
							(1 kW									W01 (s )
							(1 kW
								01											s								( 1 1 )k
C1			( ( s))																s								( 1 1 )k								;

	s								(1 kW01 ( s))								2																2
	s								(1 kW01 ( s))																			(1 k )

																								s 0
ошибку по ускорению:
ошибку по ускорению:
	2							2k										1	(		1		1		)		1	(			1		1	)k
C2					( ( s))							2			2			1			1		1				1				1		1			;
C2	s		2		( ( s))					2		2			2				1 k										1 k							;
	s							(1 k )											1 k										1 k
ошибку по первой производной ускорения :
ошибку по первой производной ускорения :
													2		2					2	k (k 1)(								2			1			2
													1 2					1		2									2			1	1		2
		3						6k														1 k
								6k														1 k
C3				( ( s))										( 1 1		)( 1 k 1									2												;
C3	s		3	( ( s))				(1 k )		2															2												;	(3.249)
	s							(1 k )																	)													(3.249)
																										3				3
																						2				3				3
															(1 k )
...............................................................................................................

Если система обладает астатизмом первого порядка, т.е. передаточная

функция разомкнутой системы W ( s ) k W1( s ) , то соответствующая переда-

s
точная функция замкнутой системы будет иметь вид: ( s )	s	,
точная функция замкнутой системы будет иметь вид: ( s )	s kW1( s )	,
	s kW1( s )

откуда очевидно, что статическая ошибка C0 =0, а остальные ошибки опреде-

ляются равенствами /8/:

295

		1			2							1
C1				;C2				1			1					;
C1			k	;C2		k		1			1			k		;
			k			k								k																		(3.250)
		6																1			2(						)					(3.250)
C		6								(							)	1			2(		1			1	)		; ...
																							1			1
			k															k2						k
	3		k	2			2		1		1				1			k2						k
В случае астатизма второго порядка W ( s ) k																						W1( s )			,			(s)			s2		и
																							s2							s2	kW (s)
																																1
		C0		0;C1 0;C2									2	;C3					6	( 1 1 );												(3.251)
		C0		0;C1 0;C2										;C3						( 1 1 );												(3.251)
													k						k

3.9.2. Определение коэффициентов ошибок

по логарифмическим амплитудно-частотным характеристикам

Представим (3.247) виде

(t )

(3.252)

g (t )

(t )

1 k

где D

- коэффициент добротности по скорости;

- коэффици-

ент добротности по ускорению; D

- коэффициент добротности по пер-

вой производной ускорения. Для астатических систем соответствующие ко-

эффициенты равны нулю и, например, для системы с астатизмом второго по-

рядка (3.252) примет вид:

	1		1
(t )
(t )		g (t )	D	g (t ).
	D	0	D	0

Установим связь коэффициентов добротности и статической ошибки с логарифмическими амплитудно-частотными характеристиками разомкнутых систем, используемыми при коррекции динамических свойств систем управ-

ления (см. 5.1.2).

Для этого рассмотрим типовую логарифмическую амплитудную харак-

теристику разомкнутой системы с астатизмом первого порядка /8/, представ-

296

L1k k D 11020 .

При 1 = 1 имеем L1=L и k 1020 k .

На основании (3.250) и определений коэффициентов добротности (см. (3.252))

ленную на рис. 3.56.

Для

определения

коэф-

L,дБ

фициентов добротности найдем

частоту k, соответствующую

точке пересечения

продолже-

ния низкочастотной

логариф-

-16

мической

амплитудной

харак-

Рис. 3.56. ЛАЧХ астатической системы

теристики с осью частот, тогда

1 10

(3.253)

(3.254)

Для определения значения D воспользуемся записью передаточной функции разомкнутой системы в виде произведения передаточных функций типовых инерционных и форсирующих звеньев, т.е. в виде:

	m		T1T2 Tmsm (T1 Tm 1 T1Tm Tm 2
W ( s ) k	(Ti s 1)	k		T2 Tm 1Tm )s			m 1		(T1 T2 Tm	)s 1	, (3.255)
	i 1			T2 Tm 1Tm )s					(T1 T2 Tm	)s 1
	n
	n			n
	(T0 j 1)	T01T02 T0ns			(T01 Tn 1				T01T0n Tn 2
	j 1			T02 Tn 1Tn )s		n 1		(T01 T02 T0n )s 1
				T02 Tn 1Tn )s				(T01 T02 T0n )s 1

где Ti , T0j – постоянные времени дифференцирующих и апериодических звеньев первого порядка. Пусть, кроме того, имеются звенья с одинаковыми постоянными времени, т.е. имеется кратных нулей и кратных полюсов.

Учитывая значения коэффициентов перед первой производной в (3.255)

на основании (3.250) имеем:

	2				1	2 n 1
C2			1	1			jT0 j
		k			k	k
							j 1

m 1		1		n 1	j
	i i		2
	T	k	2		j
i 1		k		j 1	j

m 1		2
	i		. (3.256)
			. (3.256)
i 1	i	k

297

Тогда

(3.257)

n 1

m 1

j 1

i 1

Для исключения из (3.256) частоты i= 2 (рис. 3.56), определяемой ну-

лями передаточной функции, запишем

						с				10						L2		;						2		10				L1 L2
																20								2							20n

						2																		1
						2																		1
Перемножив их, получим
											с									L1 ( n 1 )L2
															10													.
																							20n
											1												20n
											1
Откуда
							1	n											L1 ( n 1 )L2
							1							10									20 .											(3.258)
					c									10									20 .											(3.258)
					c
	2				L2

Учитывая, что			10 20					и (3.254), из (3.258) имеем
Учитывая, что	c		10 20					и (3.254), из (3.258) имеем
	c
				n									L1 ( n 1 )L2														L1					2	( n 1)
				n																													( n 1)
				1	10												20					10 20												.
		c			10												20					10 20									c			.
		c																													c
Из последнего равенства с учетом (3.254), найдем
														( n 1 )												n 1
												2								D						1			,
									c											D									,
									c																	cn
или

										2							1	n 1			D				.									(3.259)
																		n 1							.									(3.259)
																							c
																							c

Рассмотрим несколько примеров, приведенных в /8/. Пусть последова-

тельность изменения наклонов типовой ЛАЧХ: -20 дБ/дек; -40 дБ/дек; -20

дБ/дек; -40 дБ/дек, что соответствует передаточной функции разомкнутой

298

системы W(s ) k									T2s 1											. В этом случае = =1, m=1, n=2.
системы W(s ) k					s(T1s 1)(T3s 1)															. В этом случае = =1, m=1, n=2.
					s(T1s 1)(T3s 1)
В соответствии с (3.256)
					2 n 1 j									m 1						i					2			2 1							1					1		2
C		2																		i																									.
C																										2																		2	.
				k							j												k			2		k				1				3							k	2
				k				j 1			j				i 1			i					k					k				1				3			2				k
Из (3.259) следует
																											1
													2 1 n 1									D					1				D
													2 1 n 1												c				с		D
																									c				с
и, следовательно, в данном случае
			2			1				1				1						2					2 1													c		1			1
C																																	1					c								.
C			k																					D									1		D							D				.
	2		k				1					3							k2					D						1					D						3	D
							1					3			2															1											3
Тогда
												D												D													.
												D				1							c				1						1				.
																		1					c
																		1																D
																	1				D									3				D
																	1													3
При больших D									D					D .
													1
Дадим без доказательства еще одно важное соотношение между пара-
метрами ЛАЧХ и коэффициентом D . Эта связь выражается приблизитель-
ной зависимостью
																	D			2 ,																									(3.260)
																						l
																						l

где l – частота, соответствующая точке пересечения второй асимптоты с осью частот (рис. 3.56).

Пусть теперь изменение наклонов ЛАЧХ (-20 дБ/дек; -40 дБ/дек; -

20дБ/дек; -40дБ/дек) соответствует передаточной функции

	(T s 1)2
W(s) k	2		.
	s(T s 1)2
		(T s 1)
	1	3

299

Тогда = =2, m=2, n=3, а								2	1			D		1			D .	Следовательно,

													c			ñ
													c			ñ
		2 2		1		2			2		2			2						1		1
		2 2		1		2			2		2			2					c	1		1
C																1			c				.
C		k								k2	D					1		D				D	.
	2	k	1		3		2			k2	D				1			D			3	D
			1		3		2								1						3

D			D			.

			c
	2			1	1
		1
	1		D		D
				3

При больших D D		1	D .

	2

3.9.3. Основы теории инвариантности линейных систем

Под инвариантностью систем управления понимается независимость некоторых ее переменных от воздействий /7, 50, 51/. Теория инвариантности дает подход к синтезу структуры и параметров систем управления на основе выполнения условий инвариантности, обеспечивающих независимость регу-

лируемой величины от внешних возмущающих воздействий и изменения па-

раметров системы.

Условия инвариантности — это условия, - накладываемые на коэффи-

циенты дифференциального уравнения системы и на основные возмущаю-

щие воздействия с целью сведения ошибки, вызываемой возмущениями, до нуля.

Управляемая переменная системы y(t) в общем случае зависит как от задающего g(t), так и возмущающего f(t) воздействий. При этом переменная выхода y(t) должна быть инвариантной к возмущению и ковариантной с за-

данием.

Рассмотрим структурную схему системы, представленную на рис. 3.22,

б, для которой изображение переменной выхода системы при нулевых на300

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 6930 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202223.22 Mб13826.pdf
#
15.11.202223.31 Mб13827.pdf
#
15.11.202223.37 Mб13828.pdf
#
15.11.202224.68 Mб33829.pdf
#
15.11.202224.85 Mб03830.pdf
#
15.11.202225.44 Mб13832.pdf
#
15.11.202225.72 Mб03833.pdf
#
15.11.202225.75 Mб43834.pdf
#
15.11.202226.62 Mб13836.pdf
#
15.11.202227.05 Mб03837.pdf
#
15.11.202228.1 Mб23839.pdf