3832

но зависит не только от уровня входного сигнала, но и от скорости его изме-

нения, т.е., в конечном счете, от частоты.

В нелинейных системах возможны автоколебания, которые являются периодическим движением, возникающим вследствие внутренних свойств системы, а не под влиянием внешних периодических воздействий.

По характеру переходных процессов и условиям устойчивости нели-

нейные системы в ряде случаев сильно отличаются от линейных. Устойчивая линейная система остается устойчивой при любых начальных отклонениях от установившегося состояния. Нелинейные системы могут быть устойчивыми при малых отклонениях и потерять устойчивость при больших отклонениях.

Все это существенно затрудняет исследование нелинейных систем, и к тому же современная теория нелинейных систем не дает общих аналитиче-

ских методов исследования, с помощью которых можно было бы получить ответы, интересующие специалиста с такой же полнотой, с какой их дает ли-

нейная теория.

Применяемые в настоящее время аналитические и графоаналитические методы исследования нелинейных систем являются приближенными, и неко-

торые из них применимы лишь для простейших систем невысокого порядка.

Прежде чем излагать конкретные методы, дадим классификацию наи-

более распространенных из них /59/: сначала по общим признакам, характе-

ризующим постановку задачи и точность ее решения, а затем по признакам,

определяющим пути решения. По признаку, характеризующему постановку задачи поиска решения, все методы интегрирования дифференциальных уравнений можно представить двумя группами:

методы прямого решения, в которых результатом решения счи-

тается функция y(τ), называемая интегральной кривой, или об-

ратная ей функция τ(y);

методы косвенного решения, в которых результатом решения

считается некоторое изображение интегральной кривой, напри-

331

мер функция y(x), где y dxd , называемая фазовой траекторией

или фазовым изображением.

Метод, в котором результатом решения считается функция y(x), назы-

вают «методом фазовой плоскости».

По признаку, характеризующему точность решения, можно различать следующие методы:

точные, найденные по которым решения после их подстановки в исходное дифференциальное уравнение обращают последнее в тождество;

приближенные; решения, найденные этими методами, после под-

становки их в исходное дифференциальное уравнение, обращают последнее в приближенное тождество; разность между точным и приближенным тожде-

ствами называется невязкой;

качественные, позволяющие выяснять вопросы существования и единственности, вопросы устойчивости, вопросы поведения решения в от-

дельных точках и на определенных интервалах, некоторые вопросы асимпто-

тического представления решений и др. Как правило, ответы на эти вопросы находятся не приближенным интегрированием, а изучением исходного или преобразованного дифференциального уравнения.

По признакам, характеризующим пути отыскания решений, все методы разбиваются на группы, «внутри» которых возможна их дальнейшая класси-

фикация.

К этим группам относятся /59/:

1. Методы непосредственного интегрирования /48, 60/, иногда назы-

ваемый «методом интегрируемой аппроксимации», так как возможность по-

лучения решения зависит от выбора аппроксимирующей функции.

2.Методы аппроксимации решения /61, 62/, например, метод решения

ввиде степенного ряда или степенного полинома, метод вариации парамет-

ров решения (метод Лагранжа, распространенный на нелинейные уравнения),

332

методы минимизации невязки (методы Галеркина и Ритца), метод фазовых интегралов (метод Брюллюэна, Вентцеля и Крамерса – БВК) и т.д.

3. Методы аппроксимации и преобразования дифференциального опе-

ратора /63, 64/ (методы упрощения дифференциального оператора и линеари-

зации дифференциальных уравнений по участкам, усреднения коэффициен-

тов, «замораживания переменных», изоклин (метод замораживания первой производной) и близкие к ним.

4.Методы перехода к более простым дифференциальным уравнениям на основе преобразования искомой переменной /33, 65/, ее производной или функций от искомой переменной.

5.Методы перехода к более простым дифференциальным уравнениям на основе преобразования независимой переменной или обеих переменных

/66/.

6. Методы перехода к интегральным уравнениям /67/ на основе исполь-

зования функции Грина. Данный метод можно назвать универсальным; одна-

ко успех определяется возможностью решения интегрального уравнения, а

это зависит от вида дифференциального уравнения.

Следует отметить, что перед решением дифференциальное уравнение следует привести к безразмерному виду, а в случае невозможности получить решение в виде функции y(τ) следует искать решение в виде обратной функ-

ции τ(y), где τ – относительное время.

Из всего перечисленного многообразия методов, используемых для анализа нелинейных (и нестационарных) систем в теории автоматического управления получили методы приближенных решений, позволяющие вы-

явить качественную картину процессов управления в нелинейных системах.

Среди перечисленных группе методов аппроксимации и преобразова-

ния дифференциального оператора, позволяющих перейти от исходного не-

линейного уравнения к некоторому аппроксимирующему уравнению (или совокупности уравнений), решение которого приближенно воспроизводит

333

решение заданного, выделим некоторые, а именно: метод линеаризации дифференциальных уравнений по участкам, методы замораживания пере-

менных и методы перехода к интегральным уравнениям, использование ко-

торых характерно для теории автоматического управления.

Рассматривая методы линеаризации дифференциальных уравнений и замораживания переменных следует отметить, аппроксимация может касать-

ся как самого дифференциального оператора, так и коэффициентов при про-

изводных. Возможна также временная замена переменных постоянными - так называемое «замораживание» переменных, т.е. на «время замены» исходное уравнение аппроксимируется некоторым другим уравнением.

Сущность методов «замораживания переменных» состоит в том, что в заданном дифференциальном уравнении выделяется одна переменная (или комбинация переменных) и ее значение фиксируется; при фиксированном значении ищется решение уравнения, затем фиксируется новое значение и опять ищется решение и т. д. Совокупность найденных решений с учетом на-

чальных условий позволяет построить искомое решение. В качестве фикси-

руемых («замораживаемых») могут выступать зависимая переменная и ее производные, независимая переменная, коэффициенты уравнения, а также различные комбинации переменных.

Методы этой группы являются численными, а численные методы про-

ще всего адресовать к уравнениям первого порядка. Поэтому, если речь идет об уравнениях второго порядка, методы замораживания переменных приме-

няются как косвенные; другими словами, при решении уравнений второго порядка ищут фазовое изображение y(x) (которое является решением уравне-

ния первого порядка), а от фазового изображения далее переходят к искомой функции x(t). При этом не всегда удается «заморозить» переменные непо-

средственно в заданном уравнении; в таких случаях предварительно преобра-

зуют входящие в уравнения функциональные зависимости.

334

К наиболее часто применяемому в теории автоматического управления методу замораживания переменных относится метод изоклин (метод замора-

живания первой производной.

Этот широко известный метод основан на замораживании первой про-

изводной зависимой переменной. По отношению к дифференциальным урав-

ваемой изоклиной f ( , y ) k и представляющей собой геометрическое место точек, через которые интегральная кривая проходит под углом, которого численно равен k. Построив несколько изоклин с разными значениями k и

нанеся на них «засечки» (поле направлений) под соответствующим углом,

нетрудно (при учете начального условия) получить график .интегральной кривой.

По отношению к дифференциальным уравнениям второго порядка ав-

тономных стационарных систем вида

т. е. когда аргумент τ в явном виде не входит в дифференциальное уравнение,

рецептура применения метода изоклин состоит в следующем.

Применяя подстановку

откуда

335

Полагая dx k и решая последнее уравнение относительно x, получаем

dy

выражение изоклины:

x a0 (y)y k a1 (y)

Удобно ввести «главные изоклины», через которые интегральная кри-

вая x(y) проходит под углами /59/:

изоклина xA — φ=00, k=0;

изоклина xв — φ=90°, k = ;

изоклина xC — φ =45°, k =1;

изоклина xD — φ= -45°, k =-1.

Соответствующие уравнения главных изоклин имеют вид:

В тех точках, где dx представляет собой неопределенность вида 0/0,

dy

интегральная кривая может проходить под любым углом; эти точки называ-

ются «особыми» и рассматриваются отдельно.

вать кривую x(y) кусочно-ломаной (рис. 4.6). Для каждого отрезка прямой

336

Так как угловой коэффициент k x2 x1 , время, в течение которого

y2 y1

изображающая точка проходит данный отрезок, определяется так:

Несмотря на простоту расчета по формуле (4.10) его можно еще упро-

стить. Перепишем (4.10) в виде

xn 1

где z xn .

xn 1

Множитель F(z) ln z можно представить в виде графика или таблицы.

z 1

На рис. 4.7 приведен график функции F(z) для трех масштабов.

Аналогично можно со-

вершить переход от фазового

изображения (x), где x , к

x

оригиналу x(t). В данном случае кусочно-ломаной ап-

проксимируется функция

(x), т. е.

Рис. 4.7. Номограмма для построения кривой

Этот интеграл является табличным и дальнейший расчет проводится аналогично предыдущему.

Для косвенного решения дифференциальных уравнений второго по-

рядка используется дельта-метод (метод замораживания нелинейной части).

337

и т.д. При вычислении значения δ, соответствующего некоторому интервалу,

для большей точности следует обращаться к средним значениям ycp, ycp на данном интервале.

Соединяя плавной кривой отрезки отдельных дуг, получают прибли-

женную интегральную кривую.

Важно отметить, что метод применим не только для (y,y), но и для

( ,y,y), т. е. для уравнений, в которые время τ входит в явном виде.

Если дифференциальное уравнение имеет вид

то для его решения используется метод Льенара (метод замораживания за-

висимой и независимой переменных) /59, 68/. С помощью подстановки x dyd (4.16) приводятся к форме:

«замороженной» точке; через эту точку интегральная кривая x(y) проходит

под углом, тангенс которого равен dx .

dy

Кривая x(y) по методу Льенара легко находится при помощи графиче-

ских построений. Нанесем систему коорди-

нат (x, y) (рис. 4.9) и на ней построим график

φ(x), причем φ(x) откладывается вдоль оси y в

том же масштабе y. Отметим точку А, соот-

ветствующую начальным условиям (x0, y0).

Легко убедиться в том, что отношение

катетов АВ к ВС соответствует (с учетом зна-

Рис. 4.9. Построение интегральной кривой по методу Льенара ка) правой части дифференциального урав-

339

нения (4.17) и, следовательно, перпендикуляр к линии АС будет представлять

собой часть интегральной кривой, так как dx AB (на рис. 4.9 dx<0).

dy BC

Повторив такое же построение относительно точки D, получим сле-

дующий от резок интегральной кривой и т. д.

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений вида

используется метод Каэна /69/ (метод предварительного преобразования функциональных зависимостей и замораживания обеих переменных.

К каждому из уравнений (4.18) применяется свое преобразование вхо-

дящих в них функциональных зависимостей и в полученных новых уравне-

ниях совершается операция замораживания обеих переменных.

По отношению к первому уравнению вводится функциональное преоб-

разование

позволяет упростить исходное уравнение. Дифференцируя (4.20) по τ и учи-

тывая (4.19), получаем

Подстановка последнего равенства в первое уравнение (4.18) позволяет освободиться от среднего члена, и новое уравнение будет иметь вид

dx (y) 0 d

340