3832

и ряд (2.184) приобретает вид

Совокупности коэффициентов ak, bk (k=1,2,…) разложения периодиче-

ской функции f(t) в ряд Фурье называются частотными спектрами этой функции.

Ряд Фурье может быть представлен в комплексной форме, если поло-

жить

где Ck = 2ck – комплексная амплитуда k-ой гармоники, F(jk, ) – относи-

тельная комплексная амплитуда k-той гармоники, ejk t – комплексная гар-

моника, =2 /Т – частота первой гармоники разложения функции в ряд Фурье или, что одно и то же, приращение частоты при переходе от гармони-

ки с номером k к гармонике с номером k+1.

Совокупность комплексных чисел Ck = 2ck, определяемая для периоди-

ческой функции f(t) называются комплексным амплитудным частотным спектром; совокупности (2.189) величин Ak=Ak(k, ) и k = k(k, )

141

(k=1,2,…) называются амплитудным и фазовым спектрами периодической функции f(t).

На основании (2.192)

При рассмотрении одиночного импульса (рис. 1.14) возможность его разложения в ряд Фурье рассматривалась при продолжении интервала (- , + ). Реальные возмущения чаще всего не носят периодического характера,

имеют начало и конец, изменяют форму при модуляции или воздействии по-

мех и т.д.

Пусть дана непериодическая функция, разложение которой в ряд Фурье возможно на ограниченном интервале. В точках интервала, где функция f(t)

непрерывна, она может быть представлена в виде ряда (2.191) и (2.193).

При Т частота первой гармоники разложения функции f(t) в ряд Фурье =2 /Т 0. Однако величина является приращением частоты при переходе от гармоники с номером k к гармонике с номером k+1 и, следова-

тельно, при Т бесконечно малое приращение ее величины можно отожде-

ствить с дифференциалом d . Тогда /34/

Следовательно, для непериодической функции справедливо равенство

Интеграл в правой части равенства (2.194) называется интегралом Фу-

рье.

142

Если ряд Фурье представлен в комплексной форме, то

В (2.195) роль коэффициентной комплексной функции ck выполняет внутренний интеграл

Формулы (2.196) и (2.197) определяют прямое и обратное преобразо-

вание Фурье, и известны под названием одностороннего преобразования Фу-

рье. Сопоставление (2.196), (2.27) и (2.197), (2.32) позволяет установить фор-

мальную связь преобразований Фурье и Лапласа. Если известна передаточная функция системы, то для определения коэффициентной комплексной функ-

ции ck – комплексного коэффициента передачи системы, достаточно в ее пе-

редаточной функции заменить s на j , выделив затем действительную и мнимую части. Подобный подход будет достаточно широко использоваться впоследствии.

Таким образом, по реакции линейной системы на гармонические коле-

бания всех возможных частот на основании принципа суперпозиции мы мо-

жем определить реакцию системы на произвольное возмущение.

143

2.4.2. Реакция системы на показательное возмущение и частотные

характеристики непрерывных систем

Наиболее общим случаем возмущения линейной системы является по-

дача на ее вход показательной функции

где s – произвольный комплексный параметр. В частности, при s=j на сис-

тему воздействует постоянное по амплитуде, при s=-а+j – затухающее, при s=а+j расходящееся гармоническое колебание, а при s=0 – единичное воз-

действие.

Для характеристики преобразования амплитуды и сдвига фазы выход-

ного сигнала по отношению к входному, введем функцию /4/

где At – оператор системы, действующий в момент времени t, а числитель представляет собой реакцию линейной системы на входное воздействие

(2.198) (знаменатель (2.199)).

При s=j функция

определим реакцию системы на входное гармоническое воздействие произ-

вольной амплитуды и фазы x(t ) aej( t ) . Исходя из принципа суперпози-

ции, можно записать

y(t ) At aej( t ) aej Atej t

или, с учетом (2.200)

144

Таким образом, при постоянной произвольной амплитуде входного воздействия реакция элемента или системы определяется их свойствами в частотной области в соответствии с выражением (2.202), определяющем ам-

плитудно-фазо-частотную характеристику преобразования «вход-выход».

Функция z(t, j ) называется амплитудно-частотной характеристикой

(АЧХ), а argz(t, j ) - фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) систе-

мы.

Приведенные определения справедливы для нестационарных и стацио-

нарных систем управления. В случае стационарной системы (параметры сис-

темы не зависят от времени) выражение (2.202) не является функцией време-

ни. Реакция системы также не является явной функцией времени и зависит только от частоты . Тогда на основании (2.201), можно записать

y( j ) aej z( j )ej t az( j )e j( t ) z( j )x( j )

Или

y( j ) aej z( j )ej t az( j )e j( t ) z( j )x( j )

Сравнивая последнее выражение с (2.140) несложно придти к выводу,

что при s=j W(j )=z(j ). Тогда для частотной амплитудно-фазовой харак-

теристики стационарной линейной системы можно записать (при bm=1) /5/

145

Величины U( ) и V( ) называются соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками системы.

Модуль – амплитудная частотная характеристика (АЧХ), равен

Характеристики строятся в прямоугольной системе координат, причем при построении амплитудно-фазо-частотной характеристики (АФЧХ) (2.203)

обычно по оси абсцисс откладывается значение U( ), а по оси ординат V( )

при фиксированном значении . Получаемая на плоскости (U*, jV*) некото-

рая кривая называется годографом комплексного коэффициента передачи системы или ее частотной амплитудно-фазовой характеристикой.

Трудности возникают при расчете значений фазо-частотной характери-

стики по формуле (2.205).

Значения ( ) получаются на интервале (- , ), поэтому в случае сис-

тем высокого порядка для определения истинных значений фазовых сдвигов принимается предположение, о том, что в пределах выбранного шага частот

( ) не изменяется на ± , т. е. корни полиномов В(s) и А(s) располагаются достаточно далеко от мнимой оси.

Вообще говоря, соотношение (2.205) не определяет аргумент ( )

комплексного числа W(j ), так как ему вместе с удовлетворяет и + .

Однако из-за непрерывности фазовой характеристики ( ) /35/, принимаю-

146

щей отличные от нуля значения, она однозначно характеризуется текущим tg ( )=V( )/U( ), и начальным ( 0) значениями при min< < max. На этом свойстве непрерывности фазовой характеристики можно получить алгоритм построения частотных характеристик, если истинное значение ( 0) лежит в пределах (- , ).

При практическом использовании частотных характеристик часто ока-

зывается удобнее пользоваться так называемыми логарифмическими частот-

ными характеристиками. Записывая частотную амплитудно-фазовую харак-

теристику в виде

W( j ) H( )ej ( )

и логарифмируя правую и левую части, получим

lgW(j )=lgH( )+j ( )lg e.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой называ-

ется функция /36/

в качестве аргумента которой принимается lg , называется логарифмической фазовой частотной характеристикой.

Величина 20lgH( ) выражает усиление системы в принятых в акустике единицах – децибелах (дБ) (1 дБ = 0,1 Бел). Усиление, при котором мощность сигнала возрастает в 10q раз, считается равным q Бел. Мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды сигнала. Пусть, например, L( 1)= 20lgH( 1)= 40 дБ. При этом lgH( 1)= 2, H( 1)= 102 = 100. Мощность сигнала возросла в 1002 = 104 раз, что и соответствует коэффициенту усиления, рав-

ному 4 Белам. При построении графика функции L( ) по оси абсцисс откла147

дываются значения lg , а по оси ординат - значения функций L( ) в децибе-

лах.

При построении графика функции ( ) по оси абсцисс откладываются значения lg , а по оси ординат – значения ( ) в радианах.

За единицу длины по оси абсцисс применяются логарифмические еди-

ницы – октава и декада. Октавой называется отрезок оси lg , заключенный между значениями 1 и 2 1. Длина этого отрезка, как легко видеть, не зави-

сит от значения 1:

lok=lg2 1- lg 1=lg2 + lg 1 - lg 1= lg2.

Декадой называется отрезок оси lg , заключенный между значениями

1 и 10 1. Длина декады также не зависит от значения 1: ldk=lg10 1- lg 1=lg10 + lg 1 - lg 1= 1.

2.4.3. Связь частотной и весовой характеристик непрерывных

стационарных систем

Эти характеристики являются исчерпывающими. Для установления связи между ними воспользуемся выражением (2.136), при h(0)=0, разделив правую и левую части на входное воздействие est /4/.

Поскольку в этом случае

Для выражения весовой функции через частотную характеристику раз-

148

ложим -функцию на элементарные гармонические колебания

(t ) 1 ej ( t )d . (2.211)

2

Сравнивая эту формулу с общей формулой (2.197) обратного преобра-

зования Фурье, приходим к заключению, что преобразование Фурье -

функции определяется формулой

Подставляя это выражение в формулу (2.197), выразим реакцию систе-

мы на -функцию, т. е. ее весовую функцию, через частотную характеристи-

ку:

Таким образом, зная весовую функцию системы, можно определить ее реакцию на показательное возмущение и частотную характеристику, и, на-

оборот, зная частотную характеристику системы, можно определить ее весо-

вую функцию. Заметим, что установившийся режим колебаний под действи-

ем гармонических входных сигналов существует только для устойчивых ли-

нейных систем.

Совершенно так же определяются характеристики реакции многомер-

ной линейной системы на показательные возмущения, действующие на раз-

личных входах, и ее частотные характеристики. При этом реакции системы на показательные возмущения и частотные характеристики связаны с соот-

ветствующими весовыми функциями теми же формулами (2.210) и (2.212).

2.4.4. Частотные характеристики импульсных систем

Частотные свойства импульсных систем во многом определяются рабо-

той идеального импульсного элемента (ИИЭ), выходной сигнал которого мо-

дулирован входным непрерывным сигналом. Несущая периодическая после149

довательность -импульсов может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье /7/:

k

где =2 /T – частота квантования по времени, а сk – коэффициенты Фурье

(2.192):

Таким образом, получаем уравнение, описывающее во временной об-

ласти преобразование ИИЭ непрерывного сигнала x(t) на входе:

Преобразование Лапласа этого уравнения дает

Уравнение (2.214) устанавливает связь между изображениями Лапласа непрерывной функции x(t) и решетчатой функции х(пТ), т. е. между обыч-

ным и дискретным преобразованиями Лапласа, и справедливо при выполне-

нии условия x(t) = 0 при t < 0. Если же х(0) 0, то следует пользоваться дру-

гим уравнением:

Операцию нахождения Х*(s) по X(s), определяемую соотношениями

(2.214), (2.215), называют D-преобразованием и обозначают как

X* (s) D{ X(s)}. (2.216)

С помощью D-преобразования легко определить спектральные или частотные характеристики ИИЭ. Приняв в (2.214) s=j , находим связь между спектрами входного и выходного сигналов ИИЭ (предполагается, что все по-

люсы Х*(s) - левые) :

150