3832

Рис. 3.59. Переходные процессы в системе регулирования по отклонению при ступенчатом (а,б). линейно нарастающем (в,г) и гармоническом (д,е) возмущении

Сопоставление приведенных кривых свидетельствует о достижении се-

лективной инвариантности. По отношению к ступенчатому и линейно нарас-

тающему воздействиям инвариантность является абсолютной, а по отноше-

ты колебаний возмущаю-

щего воздействия в 4 раза. Если без положительной обратной связи (рис. 3.60, а) произошло практически трехкратной увеличение амплитуды колеба-

ний регулируемой величины, то при наличии этой связи (рис. 3.60, б) уро-

вень колебаний остался на прежнем уровне, и составляет величину порядка

0,07.

311

Более эффективна для уменьшения установившейся ошибки регули-

руемой величины система комбинированного типа (рис. 3.58, б), когда одно-

временно используются принципы регулирования по отклонению и возму-

щению. Система в этом случае полностью отвечает принципу двухканально-

сти, ее уравнения имеют вид:

U(s ) Wu(s )[E(s) Wk (s )F(s )].

Исключая из уравнений (3.282) промежуточные переменные E(s) и Y(s),

вновь получим выражение, связывающее выходную переменную Y(s) с

управляющим и возмущающим воздействиями:

Из выражения (3.283) следует, что условием абсолютной инвариантно-

сти в рассматриваемом случае комбинированной системы регулирования служит соотношение

которое также можно записать в виде:

Wf ( s)

Wk ( s ) . (3.285)

W0 ( s)Wu (s )

Из анализа соотношения (3.284) или (3.285) видно, что даже при инер-

ционных звеньях с передаточными функциями Wf(s) и W0(s) могут быть удовлетворены условия абсолютной инвариантности.

На рис. 3.61 приведены результаты моделирования динамических про-

входных воздействий f(t).

312

Однако не следует думать, что во всех без исключения случаях возможно достижение абсолютной инвариантности при использовании комбинированного принципа регулирования. Так, например,

если объект и регулятор являются инерци-

онными звеньями с передаточными функ-

циями Wu(s) и W0(s), а Wf(s)=1, то удовле-

творить условие абсолютной инвариантности не удается /52/.

ражения (3.285), будет физически нереализуемым. Кроме того, на объект управления могут действовать многообразные неконтролируемые или слу-

чайные возмущения, приводящие к возникновению ошибки. Поэтому схемы комбинированного типа имеют ограниченную область применения и исполь-

зуются для компенсации основных возмущающих воздействий, носящих ре-

гулярный характер и оказывающих существенное воздействие на качество управления. В этой связи рассмотрим возможности повышения точности управления в системах типовой (одноконтурной) структуры при типовых не-

контролируемых воздействиях.

Из (3.280) при Wk(s)=0 следует

, что при |Wf(s)|< обеспечивается за счет бесконечного усиления контура на всех частотах |Wu(s)W0(s)| . Однако при этом возникает проблема устой-

чивости замкнутой системы. Условие абсолютной инвариантности только за

313

При отсутствии интегратора при постоянном входном воздействии можно достичь только селективной инвариантности до , поскольку в систе-

ме будет иметь место статическая ошибка.

Если воздействие степенное, т.е. его изображение имеет многократный нулевой полюс, то для селективной абсолютной инвариантности управляю-

щее устройство должно иметь нулевые полюсы той же кратности. В том слу-

чае, когда кратность полюса передаточной функции управляющего устройст-

ва на единицу меньше кратности полюса возмущения, имеет место селектив-

ная инвариантность до - ненулевая установившаяся ошибка.

Пусть к объекту приложено гармоническое возмущение известной час-

тоты f. Амплитуда установившихся колебаний на выходе замкнутой систе-

мы будет равной нулю, если передаточная функция управляющего устройст-

ва имеет мнимые полюсы ± f , т. е. управляющее устройство должно содер-

жать консервативное звено, а его передаточная функция должна иметь полю-

сы, равные полюсам возмущения, иными словами, быть "похожей" на изо-

бражение возмущения. Полученный результат обобщен в виде принципа внутренней модели: в хорошей системе должна присутствовать модель среды

/57/.

На рис. 3.62 представлены структурная схема системы с внутренней моделью при гармоническом возмущающем воздействии и результаты моде-

лирования при f=1 рад/с (рис. 3.62, б) и f=3 рад/с (рис. 3.62, в,г). На рис. 3.62,г представлен результат моделирования при троекратном, по сравнению с рис. 3.62, в, увеличении амплитуды воздействия. Для каждой частоты сину-

соидального воздействия параметры консервативного звена определялись в

параметры модели аналогичны указанным ранее.

315

Рис. 3.62. Структурная схема (а) и результаты моделирования динамических режимов автономной системы при гармоническом воздействии (б,в,г)

Как следует из рис. 3.62, в и г, в селективно абсолютно инвариантной систе-

ме нулевая установившаяся ошибка сохраняется независимо от уровня (ам-

плитуды) воздействия, а также от ряда параметров системы. Свойство селек-

тивной абсолютной инвариантности, как говорят, робастно. Такое свойство достигается благодаря бесконечному усилению контура на комплексных час-

тотах возмущения.

Если усиление контура на частотах возмущения конечно, то имеет ме-

сто селективная инвариантность до — конечная установившаяся реакция при ограниченных воздействиях с данным спектром. Ясно, что эта реакция тем меньше, чем больше усиление контура на частотах воздействия.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Перечислите типовые динамические звенья и укажите их переда-

316

точные функции.

2.Укажите АФЧХ, АЧХ и ФЧХ апериодических и усилительного

звеньев.

3.Укажите АФЧХ, АЧХ и ФЧХ инерционного звена первого по-

рядка, интегрирующего и колебательного звеньев.

4.Укажите АФЧХ, АЧХ и ФЧХ апериодического звена второго по-

рядка, консервативного и идеального дифференцирующего звеньев.

5.Укажите АФЧХ, АЧХ и ФЧХ дифференцирующих звеньев пер-

вого и второго порядков и звена чистого запаздывания.

6.Что такое передаточные функции соединений звеньев, каковы способы их определения?

7.Запишите передаточные функции последовательного и парал-

лельного соединения звеньев представленных передаточными функциями

и/или уравнениями состояния и выхода.

8.Что такое «критерии устойчивости»? Какие критерии относятся к разряду алгебраических?

9.В чем отличие критерия Найквиста от критерия Михайлова? Как они формулируются? Запасы устойчивости.

10.Как оценивается устойчивость дискретных линейных систем?

11.Перечислите показатели качества свободных и вынужденных движений систем автоматического управления.

12.Какова связь между расположением корней и нулей передаточ-

ной функции непрерывной системы и прямыми показателями качества про-

цесса регулирования?

13.Что такое установившаяся ошибка линейной системы управления

икак определяются коэффициенты ошибок?

14.Укажите виды инвариантности линейных систем и способы их обеспечения.

317

4.НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Цель раздела – формирование навыков анализа статических и динами-

ческих свойств нелинейных систем автоматического управления, определе-

ние качественных показателей процессов управления.

После изучения раздела необходимо знать:

Свойства и характеристики нелинейных звеньев систем автома-

тического управления.

Математические модели и способы линеаризации статических характеристик нелинейных элементов систем автоматического управления.

Методы анализа нелинейных систем на фазовой плоскости и во временной области.

Особенности фазовых портретов систем с переменной структу-

рой.

Метод гармонической и статистической линеаризации характе-

ристик нелинейных элементов.

Основы теории бифуркаций и применение функций Ляпунова к исследованию устойчивости нелинейных систем

После изучения дисциплины необходимо уметь:

Составлять расчетные схемы нелинейных систем автоматического управления.

Определять эквивалентные передаточные функции нелинейных эле-

ментов систем управления.

Оценивать устойчивость и качество процессов управления по виду фа-

зовых траекторий.

Оценивать устойчивость и качество процессов управления по виду

АФЧХ нелинейной системы.

318

4.1.Общие положения

Впредыдущих разделах рассмотрены вопросы линейной теории авто-

матического управления и регулирования, с помощью которой можно иссле-

довать и проектировать системы, состоящие исключительно из линейных элементов при непрерывном регулировании. С помощью линейной теории можно решить значительное количество задач, которые возникают при авто-

матизации производственных процессов. Вместе с тем, имея дело с матери-

альными системами, специалист по автоматизации производственных про-

цессов и производств неизбежно сталкивается с нелинейностями, под кото-

рыми понимаются любые отклонения от линейных характеристик или урав-

нений динамики систем, любые нарушения принципа суперпозиции.

Описывая математически реальные физико-химические процессы, тех-

нические устройства и аппараты, отличные от идеализированных, или экспе-

риментально определяя их характеристики мы практически всегда приходим к нелинейностям.

Многие свойства реальных систем не могут быть объяснены с помо-

щью линейной теории. В области техники и технологий, в том числе и тех-

нике автоматического управления, нелинейные свойства отдельных элемен-

тов и устройств практически не проявляются, другие же выражаются ярко и их необходимо учитывать при проектировании систем автоматического управления и регулирования. Так, если линейная теория предполагает, что все воздействия в системе автоматического регулирования могут неограни-

ченно возрастать в случае необходимости, то в реальной практике автомати-

зации технологических процессов приходится сталкиваться с ограничениями,

существенно затрудняющими неограниченный рост управляющих воздейст-

вий.

Усложнение задач автоматического управления в связи с повышением требований к точности, быстродействию и многим другим показателям каче-

319

ства процессов управления в настоящее время привело к необходимости уче-

та влияния имеющихся нелинейностей.

Кроме того, динамические свойства отдельных элементов таковы, что их реакция зависит не только от величины и характера входного воздействия,

но и от скорости его изменения, а статическая характеристика может быть неоднозначна.

Строго говоря, все реальные системы являются в большей или меньшей степени нелинейными. Однако во всех случаях, когда с инженерной точки зрения допустимо рассматривать линеаризованную систему, обращаются к линейной теории как более простой и более разработанной (см. раздел 2). И

только тогда, когда нелинейность играет существенную роль в поведении системы, прибегают к теории нелинейных систем. Последняя становится все более важной для практики по мере повышения требований к качеству про-

цессов и к точности расчета систем автоматического управления и регулиро-

вания.

Нелинейности в системах управления и регулирования могут быть ес-

тественно присущими реальной системе (трение, люфт, гистерезис, зона не-

чувствительности, насыщение) и зачастую вредными; влияние их в этом слу-

чае надо стремиться уменьшить. Но могут быть и специально вводимые не-

линейности для придания системе желаемых свойств. Таковы, например, ре-

лейные элементы и различные нелинейные и псевдолинейные корректирую-

щие устройства. Большой интерес представляют также логические нелиней-

ные управляющие блоки и системы с переменной структурой.

Введение специальных нелинейностей приводит к различным нелиней-

ным законам управления, которые не могут быть созданы на основе линей-

ных законов и обладают более богатыми возможностями по сравнению с ни-

ми. В частности, оптимизация систем управления и регулирования, исполь-

зование средств вычислительной техники и компьютерных технологий, при-

водит, как правило, к нелинейным законам управления. 320