Практическая кристаллография

атомных рядов ±[010], располагающихся параллельно координатной оси ОУ. Для совмещения этих идентичных атомных рядов достаточно отражения в го­ ризонтальной плоскости (001), проходящей посередине между горизонтальны­ ми рядами ±[010], и скольжения вдоль оси ОУ на половину соответствующей трансляции ±Ь/2. Такую плоскость скользящего отражения тоже называют по имени трансляции b — плоскостью (скользящего отражения) типа Ь

Вприложении 1 приводятся данные обо всех плоскостях скользящего отра­ жения с соответствующими компонентами скольжения, которые могут встре­ чаться в различных кристаллических структурах.

Вотличие от плоскостей скользящего отражения типов а, b и с, где присут­ ствует по одной компоненте скольжения, в плоскостях скользящего отражения типов п и d одновременно присутствует по две или даже по три компоненты скольжения. В качестве примера плоскостей скользящего отражения последне­ го типа приведем кристаллическую структуру типа алмаза, в которой присут­ ствуют плоскости типа d (рис. 12.6, б). В частности, вертикальная плоскость сколь­ зящего отражения типа d проходит посередине между атомными рядами 1—3—5

и2—4. Атом ДО; 0; 0), отражаясь в указанной плоскости, займет промежуточное положение на нижнем ребре элементарной кубической ячейки в точке (0; 1/4; 0)

ипосле скольжения с компонентами (с + а)/4 займет положение атома 2(1/4; 1/4; 1/4). В свою очередь атом 2, отразившись в той же плоскости скользящего отражения, перейдет из внутренней части элементарной ячейки на ее левую грань — в точку (1/4; 0; 1/4) и после скольжения на (с + а)/4 займет положе­ ние атома Д 1/2; 0; 1/2). Аналогичным образом, после таких же симметрических преобразований, атом 3 займет положение атома 4, атом 4 займет положение атома 5 и т.д.

Приведенные рассуждения можно считать условными, поскольку ни один из перечисленных атомов, конечно, не покинет своего места в кристаллической структуре алмаза.

Втой же структуре алмаза можно указать другую вертикальную плоскость скользящего отражения того же типа d, которая расположена посередине между атомными рядами 1—6—8 и 2—7 и характеризуется компонентами скольжения (±b ±с)/4. С помощью этой плоскости скользящего отражения атом 1 можно

связать с атомом 2, атом 2 — с атомом 6, атом 6 — с атомом 7, атом 7— с атомом 8 и т.д.

Отметим также, что количество подобных примеров в той же структуре ал­ маза можно умножить, во-первых, за счет других параллельных вертикальных плоскостей скользящего отражения, которые соединяют друг с другом другие атомные ряды, и, во-вторых, за счет аналогичных горизонтальных плоскостей скользящего отражения с компонентами скольжения (±а ±Ь)/4 , которые распо­ ложены на уровнях с/8, Зс/8, 5с/8, 7с/8 и т.д.

В качестве примера плоскости скользящего отражения типа п рассмотрим кристаллическую структуру куприта Си20 (рис. 12.6, в). Здесь плоскость сколь­ зящего отражения пу с компонентами скольжения (с + а)/2 соединяет друг с Другом атомы кислорода 7(0; 0; 0) и 2(1/2; 1/2; 1/2), 2 и 3' (1; 0; 1), а также атомы меди 6(1/4; 1/4; 1/4) и 7(3/4; 1/4; 3/4). Аналогичная плоскость скользя­ щего отражения п2 с компонентами скольжения (Ь + с)/2 соединяет друг с

другом атомы кислорода 7(0; 0; 0) и 2(1/2; 1/2; 1/2), 2 и 4'(0; 1; 1), а также атомы меди 6(1/4; 1/4; 1/4) и £(1/4; 3/4; 3/4). Здесь номерами 3' и 4' обозначены атомы на верхнем основании кубической элементарной ячейки куприта, распо­ ложенные над атомами нижнего основания 3 и 4 соответственно.

Как и в предыдущей структуре алмаза, здесь можно сослаться и на другие плоскости скользящего отражения типа гг вертикальные плоскости, проходя­ щие через атомы меди 8—9 и 7—9, а также горизонтальные плоскости, проходя­ щие через атомы меди 6—9 и 7—8.

Таким образом, рассмотренная новая группа специфических элементов сим­ метрии, характерных только для кристаллических структур, позволяет отразить сходство атомного рисунка и размерных параметров атомных плоскостей, из которых построено конкретное кристаллическое вещество. Несмотря'на беско­ нечное разнообразие кристаллических структур, оказывается, что многие из них построены из геометрически подобных атомных сеток и имеют множество по­ хожих структурных характеристик. При этом можно сослаться на упоминавши­ еся выше атомные сетки из правильных треугольников, которые отмечались в различных сочетаниях в рассмотренных кристаллических структурах.

12.4. Винтовые оси симметрии

Рассмотренные плоскости скользящего отражения можно связать с взаимо­ действием между простыми зеркальными плоскостями симметрии и новой груп­ пой элементов симметрии кристаллических структур — трансляциями. Анало­ гичным образом, следующую группу элементов симметрии, характерных только для кристаллических структур — винтовые оси симметрии — можно рассмат­ ривать как результат взаимодействия простых поворотных осей симметрии с теми же трансляциями.

Специфические элементы симметрии кристаллических структур — винто­ вые оси симметрии — описывают сложное симметрическое преобразование, со­ стоящее из поворота всей кристаллической структуры в целом и каждого ее атома в отдельности вокруг прямой линии — винтовой оси симметрии — на соответствующий элементарный угол и скольжения параллельно этой оси на определенную долю трансляции.

Вернемся к примеру с атомной сеткой в кристаллической структуре типа NaCl (рис. 12.6, а). Чтобы доказать идентичность двух соседних атомных рядов, использованы плоскости скользящего отражения. Однако доказать идентич­ ность соседних атомных рядов в этой структуре можно и совершенно иным способом: с помощью винтовой оси симметрии. Действительно, расположим такую ось посередине между соседними атомными рядами (параллельно этим атомным рядам). После поворота атомного ряда вокруг этой оси на 180° и сколь­ жения на половину трансляции вдоль оси произойдет совмещение идентичных атомных рядов. Такая винтовая ось называется винтовой осью симметрии вто­ рого порядка (в соответствии с указанной величиной элементарного угла 180°) и обозначается символом 2,, первая цифра которого соответствует (второму) порядку винтовой оси симметрии (2), а индекс (1) обозначает величину компо-

ненты скольжения (1/2) вдоль винтовой оси симметрии, выраженную в долях соответствующей трансляции.

Таким образом, можно заменить действие одного элемента симметрии (плос­ кости скользящего отражения) действием другого элемента симметрии (вин­ товой оси симметрии), что служит серьезным указанием на определенное взаи­ модействие указанных элементов симметрии друг с другом.

Втабл. 12.1 приводятся данные всех винтовых осей симметрии с соответ­ ствующими компонентами скольжения, выраженными в долях трансляций Т, которые могут встречаться в различных кристаллических структурах. Соответ­ ствующие графические обозначения винтовых осей симметрии, имеющие мно­ го общего с обозначениями простых поворотных осей симметрии, приведены в приложении 1. Видно, что некоторые винтовые оси симметрии разных поряд­ ков имеют одинаковые компоненты скольжения, например, оси симметрии 2,, 4ги 6}, характеризущиеся компонентами скольжения, равными половине транс­ ляции.

Вкачестве примера винтовой оси симметрии четвертого порядка 4, рассмот­ рим тетрагональную кристаллическую структуру высокотемпературной модифи­ кации металлического олова (p-Sn) (рис. 12.7, а, б). Если атом 7(0; 0; 0) принять за начало координат, то при движении против часовой стрелки от атома 1 к атому 2(1/2; 0; 1/4) и далее к атому 2(1/2; 1/2; 1/2) и к атому 4(0; 1/2; 3/4), то высота каждого последующего атома будет возрастать на четверть вертикальной транс­ ляции с/4, что соответствует определению винтовой оси симметрии четвертого порядка 4,. Действительно, описанное последовательное перемещение от одного атома к другому соответствует повороту на 90° вокруг центра квадрата, образо­ ванного проекциями четырех указанных атомов, что в сочетании со скольжени­ ем (при каждом повороте) на с/4 соответствует определению вертикальной вин­ товой оси симметрии четвертого порядка 4,. Аналогичные винтовые оси симмет­ рии четвертого порядка можно увидеть также и в центрах других подобных квад­ ратов на плане этой структуры.

Закончим рассмотрение примером винтовой оси симметрии шестого поряд­ ка 63 в гексагональной кристаллической структуре магния (рис. 12.7, в). Для наглядности действия указанной винтовой оси симметрии представлены сразу несколько элементарных ячеек этой кристаллической структуры. Тройка ато­ мов магния 2—3—4, располагающихся по вершинам структурного равносто­ роннего треугольника на нижнем основании элементарной ячейки (z = 0), пос-

Рис. 12.7. Винтовые оси симметрии в кристаллической структуре p-Sn (а, б) и магния (в)

ле поворота на элементарный угол 60° вокруг вертикали, проходящей через центр этого структурного треугольника, и подъема вверх на половину трансля­ ции с/2 займет положение другой тройки атомов 7—6—5. Таким образом, вин­ товая ось симметрии шестого порядка 63 действительно связывает перечислен­ ные атомы друг с другом. Такие же винтовые оси симметрии можно заметить и в соседних элементарных ячейках.

Свое наименование винтовые оси симметрии получили от сочетания вра­ щения со скольжением, т.е. если атом одновременно реализует и вращение вок­ руг оси, и поступательное движение вдоль этой оси, то он как бы движется в пространстве по винтовой линии.

12.5. 14 пространственных решеток Браве и выбор базовых трансляций

Выбор базовых трансляций представляет собой один из важнейших этапов описания и анализа любой кристаллической структуры. Выбор этих трансляций (из бесчисленного множества возможных трансляций) напрямую связан с опре­ делением элементарной ячейки кристаллической структуры, поскольку именно базовые, основные трансляции являются ребрами элементарной ячейки.

Рассуждая о выборе элементарной ячейки, мы уже дважды упоминали о трех ранжированных критериях Браве: при определении внутреннего решеточного строения кристаллов — в гл. 2 и при определении характеристик атомного строе­ ния кристаллического строения вещества — в гл. 11. Учитывая ключевую роль этих критериев при определении кристаллических структур, необходимо со­ блюдать: 1) соответствие симметрии элементарной ячейки и симметрии крис-

талла; 2) максимальное число прямых углов между ребрами элементарной ячей­ ки; 3) минимальный объем элементарной ячейки. Добавим, что исходным усло­ вием обязательного выполнения этих критериев является заполнение элемен­ тарными ячейками (без малейших щелей и зазоров) всего объема кристалла.

Выбирая элементарную ячейку для описания кристаллической структуры, одновременно решаем и вторую задачу — определение соответствующей про­ странственной решетки — математической модели, отражающей закономерное, периодическое пространственное расположение атомов в кристаллической структуре.

Между кристаллической структурой — конкретным расположением конк­ ретных атомов и ее идеализированной моделью — пространственной решеткой существует строгое геометрическое и размерное соответствие. Внешним очер­ таниям элементарной ячейки кристаллической структуры (в виде параллеле­ пипеда) точно соответствуют геометрическая форма и размеры элементарного объема пространственной решетки — ее параллелепипеда повторяемости из математических точек или узлов пространственной решетки.

Узлы пространственной решетки как бы повторяют пространственное рас­ положение атомов в кристаллической структуре. Каждой кристаллической струк­ туре соответствует ее узловая копия — ее пространственная решетка. Ребра элементарной ячейки кристаллической структуры равны ребрам параллелепи­ педа повторяемости пространственной решетки, узловые ряды пространствен­ ной решетки повторяют атомные ряды кристаллической структуры, атомные плоскости кристаллической структуры копируются узловыми плоскостями про­ странственной решетки.

Браве предложил классифицировать пространственные решетки по двум при­ знакам: по геометрическому признаку и по составу узловых точек (табл. 12.2). По своей геометрии пространственные решетки подразделяются на семь сингоний, каждой из которых соответствует своя координатная система с шестью параметрами: тремя координатными углами а, (3, у и тремя осевыми (масштаб­ ными) единицами а0, Ь0, с0.

Три из этих семи сингоний (ромбическая, тетрагональная и кубическая) имеют ортогональные координатные системы (а = (3 = у = 90°) и отличаются друг от друга лишь соотношениями между осевыми единицами (а0 * Ь0 * с0 — для ромбической, а0 = Ь0* с0 — для тетрагональной и а0 = Ь0 = с0 — для кубичес­ кой сингонии). Соответственную геометрию имеют и их элементарные ячейки: разносторонний прямоугольный параллелепипед, тетрагональная призма, куб (гексаэдр).

Пространственная решетка гексагональной сингонии строится из фрагмен­ тов гексагональной призмы, разделенной на три равные части, с основанием в виде ромба (а = (3 = 90°; у » 120°; а0 = Ь0* е0). Как показала практика, этой же пространственной решеткой удобно пользоваться при описании кристаллов тригональной сингонии, хотя для тригональных кристаллов существует своя законная ромбоэдрическая координатная система с тремя наклонными коор­ динатными осями (а = р = у * 90°; aQ= bQ= с0).

Координатные системы триклинной и моноклинной сингоний характеризу­ ются одинаковыми соотношениями между осевыми единицами (а0 * Ь0 * с0),

однако различаются координатными углами (а * р * у * 90° — для триклинной и а = у = 90°^р — для моноклинной сингонии).

Пространственные решетки Браве по составу узловых точек делятся на че­ тыре типа: примитивные Р, базоцентрированные С, объемноцентрированные I и гранецентрированные F.

Примитивные пространственные решетки Р имеют узловые точки лишь в вершинах параллелепипедов повторяемости. Каждый такой параллелепипед по­ вторяемости является моделью элементарной ячейки кристаллической струк­

туры, вершины которой заняты атомами одного сорта, соединенными тройкой базовых трансляций ±а, ±Ь и ±с.

В отличие от примитивных пространственных решеток Р базоцентрирован­ ные пространственные решетки С имеют кроме вершинных узловых точек до­ полнительные узлы в центрах верхнего и нижнего оснований параллелепипеда повторяемости. Каждый такой параллелепипед повторяемости является моде­ лью элементарной ячейки структуры, где атомы одного сорта располагаются не только по вершинам, но и по центрам верхнего и нижнего оснований элемен­ тарной ячейки, и, следовательно, связаны трансляциями ±а, +Ь, ±с и (±а ±Ь)/2.

Объемноцентрированные пространственные решетки /, как видно из назва­ ния, помимо вершинных узлов имеют еще дополнительную узловую точку в центре параллелепипеда повторяемости — на пересечении четырех его объем­ ных диагоналей. Такой параллелепипед является моделью соответствующей объемноцентрированной кристаллической структуры, атомы которой связаны трансляциями ±а, ±Ь, ±с и (±а ±Ь ±с)/2.

Гранецентрированные пространственные решетки / ’помимо вершинных узлов имеют еще дополнительные узловые точки в центрах каждой из шести граней параллелепипеда повторяемости. Такому параллелепипеду соответствует эле­ ментарная ячейка кристаллической структуры с одинаковыми атомами по вер­ шинам ячейки и в центрах ее граней с трансляциями ±а, ±Ь, ±с, (±а ±Ь)/2,

(±Ь ±с)/2, (±с ±а)/2.

Приведенный перечень пространственных решеток соответствует трем вы­ шеупомянутым критериям Браве и позволяет однозначно классифицировать любые кристаллические структуры. Для удобства будем подразделять указан­ ные трансляции на базовые (±а, ±Ь, ±с) и дополнительные.

Обращает на себя внимание отсутствие в табл. 12.2 многих сочетаний гео­ метрических и узловых (трансляционных) признаков, что связано либо с прин­ ципиальной невозможностью соответствующих сочетаний, либо с простой за­ меной одних сочетаний этих признаков другими. Так, отсутствие в кубической сингонии базоцентрированной пространственной решетки С связано с симметрийным запретом: благодаря наличию в кубических кристаллах (а следова­ тельно, и в их моделях — пространственных решетках) наклонных осей сим­ метрии третьего порядка центрирование одной из граней куба вызывает обяза­ тельное центрирование всех его других граней.

Аналогичное отсутствие базоцентрированной пространственной решетки С в тетрагональной сингонии объясняется тем, что базоцентрированная решетка сводится к примитивной решетке путем уменьшения вдвое площади основа­ ния параллелепипеда повторяемости (рис. 12.8, а). В этой же сингонии отсут­ ствует гранецентрированная решетка, поскольку она сводится к объемноцент­ рированной решетке вдвое меньшего объема (рис. 12.8, б). Указанные замены одних пространственных решеток другими находятся в полном соответствии с третьим критерием Браве. Эти преобразования приводят лишь к уменьшению объема параллелепипеда повторяемости, а следовательно, элементарной ячейки кристаллической структуры, сохраняя его симметрию и количество прямых уг­ лов между его ребрами.

Подчеркнем особую важность определения типа пространственной решет-

Рис. 12.8. Замена базоцентрированной тетрагональной пространственной решетки Спримитивной пространственной решеткой Р меньшего объема (а) и замена гранецентрированной тетрагональ­ ной пространственной решетки F объемноцентрированной пространственной решеткой I (б)

ки для правильной характеристики кристаллической структуры, поскольку от этого зависит и правильный выбор координатных направлений, и правильное определение соотношений между масштабными (осевыми) единицами а0, Ь0, с0, и правильное определение кристаллографических символов атомных рядов и атомных плоскостей кристалла, что имеет первостепенное значение для описа­ ния любой кристаллической структуры.

Завершая анализ пространственных решеток, применяемых для описания кристаллических структур, коснемся вопроса формирования терминов, упот­ ребляемых при описании кристаллических структур. К сожалению, широкое распространение (даже в учебной литературе) получил весьма сомнительный термин «кристаллическая решетка». Здесь смешиваются два различных поня­ тия, имеющих прямое отношение к атомному строению кристаллов: с одной стороны, понятие кристаллической структуры как закономерного, периодичес­ кого пространственного расположения конкретных атомов в конкретном кри­ сталле и, с другой стороны, понятие пространственной решетки как математи­ ческой модели (из математических точек — узлов пространственной решетки), описывающей периодическое расположение атомов в кристалле. По-видимому, рассматриваемое неудачное словосочетание «кристаллическая решетка» явля­ ется результатом словесного «сжатия» другого, вполне осмысленного выраже­ ния типа «кристаллическая структура имеет решеточное строение», что и при­ вело к указанному смешению двух существенно различающихся по своему смыс­ лу научных понятий (и появлению указанного псевдонаучного термина, похо­ жего более на маловразумительную скороговорку).

Рассмотрим несколько примеров определения типа пространственных ре­ шеток Браве в кристаллических структурах. При определении типа простран­ ственной решетки Браве в кристаллических структурах будем ориентироваться главным образом на наличие дополнительных трансляций.

В кубической кристаллической структуре алмаза (рис. 12.6, б) кроме базовых трансляций, соединяющих атомы 1—5 и 1—8, а также 1—Г(0; 0; 1), можно ука­ зать дополнительные трансляции типа (±а ±Ь)/2, (±Ь ±с)/2, (±с ±а)/2, характер­ ные для гранецентрированной пространственной решетки и соединяющие вер­ шинные атомы с атомами в центрах граней: 1—9, 1—3, 1—6. Помимо того, такие же дополнительные трансляции соединяют следующие пары атомов: 2—10, 2—4, 2—7. Следовательно, кристаллической структуре алмаза соответствует гранецен­ трированная пространственная решетка F.

Втетрагональной кристаллической структуре f$-Sn (рис. 12.7, б) кроме базо­ вых трансляций можно указать дополнительную трансляцию (а + b + с )/2, соединяющую вершинный атом 1 с атомом 3 в центре элементарной ячейки. Такая же трансляция соединяет атомы 2—5. Аналогичная трансляция (а + b —с)/2 соединяет атомы 4—6. Следовательно, кристаллической структуре p-Sn соответ­ ствует объемноцентрированная пространственная решетка I.

Гексагональной кристаллической структуре магния (рис. 12.7, в) соответ­ ствует один-единственный вариант определения типа пространственной ре­ шетки Браве: примитивная пространственная решетка Р.

Вкубической кристаллической структуре куприта (рис. 12.6, в) для атомов кислорода присутствуют трансляции типа (а + b + с)/2, характерные для объемноцентрированной пространственной решетки / и соединяющие вершинные атомы с атомом в центре объема типа 1—2. Однако, судя по взаимному располо­ жению атомов меди, можно предположить наличие трансляций другого типа: (±а ±Ь)/2, (+Ь ±с)/2, (±с ±а)/2, характерных для гранецентрированной про­ странственной решетки Ри соединяющих атомы 6—7, 6—8 и 6—9 друг с другом. Следовательно, оба рассмотренных варианта исключают друг друга, и кристал­ лическая структура куприта никаких других трансляций кроме базовых (±а, ±Ь, ±с) не содержит и на этом основании может быть отнесена к прими­ тивным пространственным решеткам Р.

Выводы. Симметрия кристаллических структур — специфических простран­ ственных (бесконечных) образов — гораздо богаче, чем симметрия кристалли­ ческих многогранников, и поэтому для описания симметрии кристаллических структур недостаточно тех элементов симметрии, которыми характеризовались кристаллические многогранники и которые отражали симметрию конечных геометрических фигур.

Если свести всю бесконечную кристаллическую структуру, характеризующу­ юся закономерным, периодическим строением, к одной единственной элемен­ тарной ячейке, то затем можно вновь воспроизвести эту кристаллическую струк­ туру, состоящую из одинаковых элементарных ячеек, с помощью трансляций параллельных переносов элементарной ячейки во всех направлениях.

Выбор элементарной ячейки кристаллической структуры должен строго под­ чиняться определенным правилам (трем ранжированным критериям Браве) и соответствовать одной из 14 пространственных решеток. Обязательное соблю­ дение этих правил (в качестве стандарта для описания любых кристаллических структур) гарантирует от возможных ошибок при определении координатных направлений в кристаллической структуре, при определении соотношений между осевыми (масштабными) единицами, а также при определении кристаллогра­ фических символов атомных рядов и атомных плоскостей кристаллической структуры.

Каждое из трех ребер элементарной ячейки определяет не только направле­

ние осей координат и соответствующую масштабную единицу, но и специфи­ ческий элемент симметрии кристаллической структуры: вектор трансляции, опи­ сывающий параллельный перенос элементарной ячейки и/или всей кристал­ лической ячейки в целом (который делает конечное положение кристалличес­ кой структуры совершенно неотличимым от ее исходного положения).

Помимо векторов трансляций (или просто трансляций) для описания кри­

сталлических структур используют еще два новых типа специфических эле­ ментов симметрии, описывающих сложные симметрические преобразования: плоскости скользящего отражения и винтовые оси симметрии. Плоскости сколь­ зящего отражения представляют собой сочетание обычного отражения атомов кристаллической структуры в плоскости (как в зеркальной плоскости симмет­ рии) со скольжением (переносом) параллельно этой плоскости на определен­ ную долю трансляции (или доли трансляций). Винтовые оси симметрии пред­ ставляют собой сочетание поворота атомов кристаллической структуры вокруг прямой на определенный угол (как вокруг обычной оси симметрии п-го поряд­ ка) со скольжением (переносом) вдоль этой оси симметрии на определенную долю трансляции.

Новые элементы симметрии отражают сложную пространственную органи­ зацию кристаллической структуры, связывая друг с другом и отдельные атомы, и целые группы атомов. Введение новых элементов симметрии (или их присут­ ствие в кристаллических структурах) объективно продиктовано закономерным, периодическим атомным строением кристаллических структур, законами сим­ метрии кристаллических структур.

ГЛАВА 13. АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ

Анализируя симметрию кристаллических многогранников, можно отметить разнообразные примеры взаимодействия между элементами симметрии. Во всех случаях взаимодействие каких-либо двух элементов симметрии приводило к возникновению третьего элемента симметрии, а в некоторых случаях возника­ ло даже несколько новых элементов симметрии. Так, в результате взаимодей­ ствия пересекающихся зеркальных плоскостей симметрии возникала ось сим­ метрии (на линии их пересечения). При пересечении двух осей симметрии воз­ никала третья ось симметрии. При взаимодействии плоскости симметрии с ле­ жащей в ней осью симметрии образовывались новые плоскости симметрии. При пересечении оси симметрии Ln с перпендикулярной осью симметрии L2 возникали новые оси симметрии Lr В точке пересечения плоскости симметрии с перпендикулярной осью симметрии четного порядка образовывался новый элемент симметрии — центр симметрии.

Таким образом, можно прийти к важному выводу: при взаимодействии двух элементов симметрии возникает еще, по крайней мере, третий элемент симмет­ рии. Будет интересно проверить справедливость этого вывода по отношению к специфическим элементам симметрии кристаллических структур — трансля­ циям, плоскостям скользящего отражения и винтовым осям симметрии.