Практическая кристаллография
..pdf(R* • AB) = к- b — h ’ a = 0, |
|
|
|
z |
|
|
|
(R* • AC) = l ' c - h - a = 0. |
(15.12) |
|
|
|
|
||
Действительно, каждое из произведений (А • а, к • Ь, |
|
|
|
|
|||
/• с) состоит из прямой и обратной величин, что со |
о |
|
|
|
|||
ответствует классическому определению индексов: |
|
Г |
|||||
|
|
(15.13) |
|
х |
|
|
|
|
|
Рис. 15.3. К выводу условия |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
перпендикулярности |
TIA I I |
) |
|
|
|
|
|
вектораь м и и |
|
||
m |
- |
г- |
^ |
ж \... плоскостиI (hkl. |
|||
Таким образом, доказано, что вектор обратной про- |
|
1 |
|
|
|||
странственной решетки R* = Л* а* + |
Ь* + |
/ *с*, |
|
|
|
|
|
координаты которого А, к, I численно равны индексам семейства атомных плос костей (hkl), перпендикулярен плоскостям (hkl).
Указанные свойства этого вектора обратной пространственной решетки бу дут нами использованы для определения пространственного расположения диф ракционных центров, возникающих в результате прохождения пучка рентгенов ских лучей через различные кристаллические структуры.
15.4. Расчет дифракции рентгеновских лучей, прошедших через гранецентрированный кубический кристалл (ГЦК)
Пусть на кристалл с гранецентрированной пространственной решеткой па дает пучок параллельных рентгеновских лучей. Пользуясь рассмотренным выше алгоритмом, рассчитаем пространственное расположение соответствующих рент геновских рефлексов, каждый из которых обязан своим возниковением опреде ленному семейству атомных плоскостей (hkl) кристалла.
Начнем с определения межплоскостных расстояний для важнейших семейств параллельных атомных плоскостей {100}, {110}, {111} типичной гранецентриро ванной кубической структуры меди, с тем чтобы определить величины соответ ствующих модулей векторов обратной пространственной решетки г100, г110, гш.
Величина межплоскостного расстояния dm (рис. 15.4 а), которая в кубичес ком кристалле меди вследствие симметрии совпадает с величинами других меж плоскостных расстояний dm и dm , составляет половину ребра кубической эле ментарной ячейки:
(15.14)
4оО 4)10 4)01
отсюда находим искомые величины модулей векторов обратной пространствен ной решетки, которые определяются как обратные величины соответствующих межплоскостных расстояний:
I **ioo I |
I **ою I |
I **оо! I |
2/д. |
(15.15) |
Величина межплоскостного расстояния dnQ (рис. 15.4,6), которая в кубическом кристалле меди вследствие симметрии совпадает с величинами других межплоскостных расстояний dm и don, со ставляет четверть диагонали грани кубической эле ментарной ячейки:
4 ,. = лт- 4,,, - |
05.16) |
отсюда находим искомые величины модулей век торов обратной пространственной решетки, кото рые определяются как обратные величины соот ветствующих межплоскостных расстояний:
Iг. , 0 I IГ10. | | Г011 I 2чЦ |
(15.17) |
Рис. 15.4. К определению межплоскостных расстояний (100) (а); (ПО) (б); (111) (в) в гране центрированной кубической кри сталлической структуре
И наконец, определяем величину межплоскостного расстояния djn, которая в структуре меди составляет одну третью часть объемной диагона
ли кубической элементарной ячейки: dnl
(рис. 15.4, в). Здесь объемная диагональ куба ABC D делится на три равные части параллельными атом ными плоскостями типа (111):АВ= ВС = CD. Сле довательно, величину соответствующего модуля вектора обратной пространственной решетки оп ределим как обратную величину этого межплос~ костного расстояния:
7з
(15.18)
Теперь в произвольную точку О', которую примем за начало координат об* ратной пространственной решетки, путем параллельного переноса перемести нормали к атомным плоскостям {100}, {110}, {111} структуры меди и отложим 01 точки О' на каждой из нормалей отрезки, соответствующие найденным знаЧе" ниям модулей векторов обратной пространственной решетки (рис. 15.5).
Рассмотрим в деталях результаты построения, которое состоит из совокуП* ности узлов обратной пространственной решетки, каждый из которых соответ*
ствует дифракционному центру или рентге новскому рефлексу и обозначен на рис. 15.5 символом ((Ш)) (в двойных круглых скобKcix)
Узлы ((100)), ((010)), ((001)), ((110)), ((101)), ((011)) вместе с узлом 0 \ который для общ ности назовем ((000)), располагаются по семи вершинам некоторого куба — кубической элементарной ячейки обратной простран ственной решетки. Действительно, размеры диагоналей граней этого куба со стороной
2 |
2^2 |
—, равные |
-----, соответствуют величине |
аа
модулей векторов обратной пространствен ной решетки (15.17).
Чтобы достроить новый куб, определим величину его объемной диагонали, которая
2V3
равна -----, что вдвое превышает величину
а
Рис. 15.5. К построению пространсгаодного расположения дифракционных центров (рентгеновских рефлексов) кристаллической гранецентрнрованной кубической структуры
модуля вектора обратной пространственной решетки (15.18). Значит, узел об ратной пространственной решетки ((111)) должен находиться не в вершине куба, а в его центре. Что касается последней (восьмой) вершины куба, то ее занимает узел обратной пространственной решетки ((111))’, соответствующий дифракционному центру второго порядка от семейства параллельных атомных плоскостей (111).
Таким образом, в результате дифракции пучка параллельных рентгеновских лучей, прошедших через кубический кристалл с гранецентрированной структу рой, возникло пространственное распределение рентгеновских рефлексов, рас положенных по вершинам и в центре куба элементарной ячейки кубической обратной пространственной решетки. Иными словами, прямая гранецентриро ванная (ГЦК) пространственная решетка сопряжена с обратной объемноцентрированной (ОЦК) пространственной решеткой.
Проведенное построение можно было бы продолжить за счет других се мейств атомных плоскостей (помимо рассмотренных {100}, {110}, {111}). однако новые узлы обратной пространственной решетки ничего не изменили бы в вышеизложенных выводах: они — эти новые узлы (за пределами построенной элементарной кубической ячейки) — позволили бы пристроить новые и новые такие же ячейки к первоначальной. Новые узлы окажутся за пределами первой элементарной ячейки, поскольку соответствующим им атомным плоскостям прямой пространственной решетки отвечают меньшие значения межплоскост ных расстояний , а значит, большие значения модулей векторов обратной про странственной решетки.
Существенно отметить общее соответствие симметрии сопряженных про странственных решеток: и прямая ГЦК, и обратная ОЦК решетки относятся к одной и той же (кубической) сингонии.
15.5. Расчет дифракции рентгеновских лучей, прошедших через объемноцентрированный кубический кристалл (ОЦК)
Не нарушая порядка построения узлов обратной пространственной решетки, использованный при решении предыдущей задачи, определим межплоскостные расстояния для важнейших семейств параллельных атомных плоскостей {100}, {110}, {111} типичной объемноцентрированной кубической структуры а-железа (рис. 14.4, а), с тем чтобы определить величины соответствующих модулей векто ров обратной пространственной решетки г100, г110, гП1.
Величина межплоскостного расстояния dm в кубической структуре а-желе за (как и в кристалле меди) совпадает с величинами других межплоскостных расстояний dm и dm и составляет половину ребра кубической элементарной
ячейки (рис. 15.6, а):
^юо ^ою ^ooi а/ 2> |
(15.19) |
отсюда находим искомые величины модулей век торов обратной пространственной решетки:
I Г100 И I гою 1= I Г00. 1= У а■ |
(15.20) |
Величина межплоскостного расстояния duo со впадает с величинами других межплоскостных рас стояний £?101 и dm и составляет половину диагона ли грани кубической элементарной ячейки (рис. 15.6, б):
<4,,- |
05.21) |
отсюда находим искомые величины модулей век торов обратной пространственной решетки:
|
VI |
(15.22) |
|
|
‘но 1= Г,101 i = I Г 0 .1 I = |
|
|
|
Определяем величину межплоскостного рассто |
||
|
яния dm>которая в структуре меди составляла одну |
||
|
третью часть объемной диагонали кубической эле- |
||
Рис. 15.6. План объемноцентриро- |
u |
a\[b |
). Здесь, в структуре |
ванной кубической кристалли- |
ментарной ячейки (а,,, = |
|
|
ческой структуры (а, б, в — то же, |
|
^ |
|
что на рис. 15.4) |
a -железа (рис. 15.6, в), эта величина вдвое меньше: |
||
a-Jb
*111 ~6~
было такого атома). Объемная диагональ ABCDE разбивается атомными плос костями типа (111) на шесть равных частей (с межплоскостными расстояния ми ВС = CD). Следовательно, величину соответствующего модуля вектора об ратной пространственной решетки определим как обратную величину этого межплоскостного расстояния:
2л/3
(15.23)
а
Теперь в произвольную точку 0 \ которую примем за начало координат об ратной пространственной решетки, путем параллельного переноса переместим нормали атомных плоскостей {100}, {110}, {111} структуры a -железа и отложим от точки О' на каждой из нормалей отрезки, соответствующие найденным зна чениям модулей векторов обратной пространственной решетки (рис. 15.7).
Рассмотрим в деталях результаты построения, которое состоит из совокупно сти узлов обратной пространственной решетки, каждый из которых соответ ствует дифракционному центру, или рентгеновскому рефлексу, и обозначен на рис. 15.7 символом ((hkl)) (в двойных круглых скобках).
Узлы ((100)), ((010)), ((001)) вместе с узлом О', который для общности будем называть ((000)), располагаются по четырем вершинам куба — кубической эле ментарной ячейки обратной пространственной решетки. Однако, в отличие от аналогичного построения для структуры меди — для структуры a -железа узлы ((110)), ((101)), ((011)) попадают не в вершины куба, а в центры его граней.
2 Действительно, размеры диагоналей граней этого куба со стороной —, равные
2 V2
-----, в два раза превосходят величины мо-
а
дулей векторов обратной пространственной решетки (15.22). Следовательно, в вершины кубической элементарной ячейки обратной пространственной решетки, сопряженной с прямой объемноцентрированной простран ственной решеткой, вместо узлов ((110)), ((101)), ((011)) попадут узлы ((110))', ((101))', ((011))', которые соответствуют дифракци онным центрам второго порядка от одно именных атомных плоскостей структуры а- железа, аузлы ((110)), ((101)), ((011)) займут свои места в центрах граней куба.
Чтобы достроить новый куб, определим величину его объемной диагонали, которая
((010))
Рис. 15.7. К построению пространственного расположения дифракционных центров (рентгеновских рефлексов) объемноцен трированной кубической кристаллической структуры
равна-----, что полностью соответствует величине модуля вектора обратной про-»
а
странственной решетки (15.23). Значит, узел обратной пространственной решетки ((111)) должен находиться в вершине куба.
Таким образом, в результате дифракции пучка параллельных рентгеновских лучей, прошедших через кубический кристалл с объемноцентрированной струк турой, возникло пространственное распределение рентгеновских рефлексов, расположенных по вершинам и в центрах граней куба элементарной ячейки кубической обратной пространственной решетки. Иными словами, прямая объемноцентрированная (ОЦК) пространственная решетка сопряжена с обратной гранецентрированной (ГЦК) пространственной решеткой.
Здесь (как и в предыдущей задаче) можно отметить общее соответствие симметрии сопряженных пространственных решеток: и прямая ОЦК, и обрат ная ГЦК решетки относятся к одной и той же (кубической) сингонии.
15.6. Анализ сопряжения прямой и обратной пространственных решеток
Проанализируем горизонтальную плоскую узловую сетку обратной простран ственной решетки (рис. 15.8), которая соответствует примитивной кубической кристаллической структуре (рис. 11.1, а). В приведенном горизонтальном сече нии обратной пространственной решетки находятся узлы, принадлежащие го ризонтальным векторам обратной пространственной решетки типа гш и соот ветствующие различным семействам параллельных вертикальных атомных плос костей.
На каждом из воображаемых лучей, проведенных из начала координат О' через узлы обратной пространственной решетки, последовательно располагД-
Рис. 15.8. Горизонтальная сетка узлов обратной пространственной решетки
ются узлы, соответствующие дифракционным центрам разных порядков одного и того же семейства параллельных вертикальных атомных плоскостей. При этом символ узла обратной пространственной решетки получают из символа соот ветствующей атомной плоскости, умножая индексы последнего на номер по рядка дифракции. Так, для дифракционных центров семейства параллельных атомных плоскостей (110) последовательно записываются символы «110)), ((220)), ((330)), ((440)) и т.д.
Величины отрезков от начала координат обратной пространственной ре шетки до ее узла соответствуют модулю соответствующего вектора обратной пространственной решетки. Здесь (как и в предыдущих задачах) можно отме тить соответствие симметрии сопряженных пространственных решеток: и пря мая, и обратная решетки относятся к одной и той же (кубической) сингонии, причем обе решетки являются примитивными.
При построении обратной пространственной решетки следует четко при держиваться следующего алгоритма:
1)выделить данное семейство параллельных атомных плоскостей (Ш);
2)определить соответствующую величину межплоскостного расстояния dhkl;
3)определить величину модуля вектора обратной пространственной решет
ки Кш = h • а* + к • Ь* + / • с*;
4)выбрать в произвольной точке начало координат обратной простран ственной решетки 0 \
5)из точки О'провести луч, параллельный нормали плоскости (hkf), и отло жить на этом луче отрезок, соответствующий модулю радиус-вектора обратной пространственной решетки RhkI\
6)обозначить символ построенного таким образом узла обратной простран ственной решетки ((hkl)).
15.7. Расчет дифракции рентгеновских лучей, прошедших через гексагональный кристалл
Рассмотрим базисную атомную плоскость гексагонального кристалла +(0001), которая составлена из правильных структурных треугольников (рис. 15.9, а). Как и в предыдущих случаях (с ГЦК и ОЦК структурами), построение обратной пространственной решетки, описывающей расположение дифракционных цен тров (рентгеновских рефлексов), начнем с определения межплоскостных рас стояний и выделим с этой целью два типа вертикальных атомных плоскостей: атомные плоскости типа {1010}, которые параллельны боковым граням гекса гональной призмы, и атомные плоскости типа {1120}, которые располагаются перпендикулярно укказанным боковым граням гексагональной призмы.
Если обозначить сторону равностороннего структурного треугольника а, то
3
величина межплоскостного расстояния dloTo —— . Такими же межплоскост
ными расстояниями характеризуются и два других семейства аналогичных па раллельных вертикальных атомных плоскостей ±(01 ТО) и ±(1100). По обрат ным величинам указанных межплоскостных расстояний определим значения
и
Рис. 15.9. Соотношение между прямой и обратной гексагональными пространственными решетк^" ми: а— базисная атомная плоскость (0001); б — узлы обратной пространственной решетки, сопр*1' женной с прямой гексагональной пространственной решеткой
модулей векторов обратной пространственной решетки (которые ориентирован^ по нормалям к соответствующим вертикальным граням гексагональной призмы)'
1ГЮ!о1 1Г01!о1 1Г1юо1 1ГЮН)1 1ГОПо1 ^ 1ГПОо1 ау[з (15.2*)
Для межплоскостных расстояний второго типа {1120} характерны величин^’ равные половине стороны равностороннего треугольника: duj0 = ~ По обра^'
ным величинам указанных межплоскостных расстояний определим значения мО'
дулей векторов обратной пространственной решетки (которые ориентированы па раллельно координатным направлениям прямой пространственной решетки ОХ, OY, OZ:
1Г21 lol 1Г 112о1 1Г 121о1 1Г511о1 1ГТ12о1 1Г 121<)1 д (15.25)
Затем в произвольную точку О', которую примем за начало координат обрат ной пространственной решетки, путем параллельного переноса переместим нор мали шести вертикальных атомных плоскостей типа {1010} и шести вертикаль ных атомных плоскостей типа {1120} гексагональной структуры и отложим от точки О' на каждой из этих нормалей отрезки, соответствующие найденным значениям ((15.24) и (15.25)) модулей векторов обратной пространственной решетки (рис. 15.9, б).
В результате построения получим горизонтальную треугольную сетку из уз лов обратной пространственной решетки, каждый из которых соответствует диф ракционному центру от соответствующего семейства вертикальных параллель ных атомных плоскостей гексагонального кристалла.
Достроив полученную треугольную сетку из узлов обратной пространствен ной решетки, получим дополнительные узлы обратной решетки, которые соот ветствуют дифракционным центрам от других вертикальных атомных плоско стей гексагонального кристалла, а также дифракционным центрам второго и более высоких порядков от указанных атомных плоскостей (рис. 15.9, б).
На каждом из воображаемых лучей, проведенных из начала координат О' через узлы обратной пространственной решетки, последовательно располага ются узлы, соответствующие дифракционным центрам разных порядков одного и того же семейства параллельных вертикальных атомных плоскостей. При этом символ узла обратной пространственной решетки получают из символа соот ветствующей атомной плоскости, умножая индексы последнего на номер по рядка дифракции. Так, для дифракционных центров семейства параллельных атомных плоскостей (ОНО) последовательно записываются символы ((ОНО)), ((0220)), ((0330)) и т.д.
15.8. Вывод общего уравнения атомной плоскости с помощью обратной пространственной решетки
Для описания в самом общем виде различных преобразований, связанных с кристаллическими структурами, воспользуемся уравнением (5.14) для того, чтобы продемонстрировать исключительные возможности обратной пространствен ной решетки в общем и вектора обратной пространственной решетки R* = =А • а* + к • Ь* + /• с* в частности, где координаты радиус-вектора А, к, I прини мают любые целочисленные значения (от —« до +<»).
Отметим, что прямую пространственную решетку, которую применяли для описания периодического пространственного расположения атомов в кристалли
ческих структурах, можно представить в виде векторного символического урав нения типа (4.1):
r = M*a + v b + w c , |
(15.26) |
где координаты радиус-вектора и, v, w принимают любые целочисленные значе ния (от —оо до +оо).
Аналогичным образом, обратную пространственную решетку, которую при меняем для описания пространственного расположения дифракционных цент ров, можно представить в виде векторного символического уравнения типа R*:
R* = А • а* + к • Ь* + / • с*.
Используя свойства вектора обратной пространственной решетки R*, будем с его помощью изображать нормаль атомной плоскости (hkt), проходящей через начало координат О прямой пространственной решетки. Пусть радиус-вектор г лежит в той же атомной плоскости (hkt). Тогда условие перпендикулярности радиус-вектора г и атомной плоскости (hkt) можно записать в форме равен ства нулю скалярного произведения векторов:
(г • R*) = 0. |
(15.27) |
После подстановки значений векторов (15.26) и (15.27) получим разверну тую запись:
(к* а + v b + w• с) • (А • а* + £ ‘b* + h e * ) = 0. |
(15.28) |
Учитывая соотношения между базисными векторами прямой и обратной пространственных решеток (15.2) и (15.4), из уравнения (15.28) получим об щее уравнение атомной плоскости:
А • и + к ’ v + /• w = 0. |
(15.29) |
Полученное общее уравнение атомной плоскости (15.29), которое носит уни версальный характер, пригодно для кристаллов любых сингоний без всяких ограничений.
15.9. Определение величины межплоскостных расстояний с помощью обратной пространственной решетки
Исходя из свойств вектора обратной пространственной решетки R* = А • а*+ + к'Ъ* + he*, используем его для определения межплоскостных расстояний dhkr Действительно, межплоскостное расстояние равно обратной величине coot*