Практическая кристаллография

Рис. 7.20. Стереографическая проекция ТГС и проекции соответствующих граней: а — ТГС 1 и проекция нормали грани моноэдра; б — ТГС 7 и проекции нормалей граней пинакоида; в — ТГС 2 и проекции нормалей граней диэдра (осевого); г — ТГС т и проекции нормалей граней диэдра (безосного); д — ТГС 3 и проекции нормалей граней тригональной пирамиды; е — ТГС J и проекции нормалей граней ромбоэдра; ж — ТГС 4 и проекции нормалей граней тетрагональной пирамиды; з — ТГС i и проекции нормалей граней тетрагонального тетраэдра; и — ТГС 6 и проекции нормалей граней гексагональной пирамиды; к — ТГС 8 и проекции нормалей граней тригональной дипирамиды

7.6. Определение возможных форм естественной огранки кристаллических многогранников

спомощью точечных групп (классов) симметрии

Впервой главе приведено перечисление разнообразных форм естественной огранки кристаллов, которое играло роль своеобразной экспериментальной базы курса кристаллографии. Теперь, когда рассмотрены все 32 точечные группы (клас­ са) симметрии кристаллических многогранников, положение резко измени­ лось: владение симметрийным аппаратом дает реальную возможность вывести эти формы естественной огранки кристаллов чисто теоретическим путем.

Решение этой задачи связано со знакомой методикой размножения проб­ ной грани с помощью соответствующих элементов симметрии данного класса симметрии. При этом для исходного положения стереографической проекции пробной грани поочередно выбираются характерные положения относительно соответствующих элементов симметрии, после чего проводится размножение этой грани до заключительной стадии, когда пробная грань после воздействия на нее каждого очередного элемента симметрии возвращается в исходное по­ ложение. Затем по итоговой стереографической проекции определяют вид по­ лученного кристаллического многогранника.

Начнем ознакомление с практикой определения форм естественной огран­ ки кристаллов с тетрагональных кристаллов, относящихся к точечной группе (классу) симметрии 422 (см. стереографическую проекцию на рис. 7.11, в). Пер­ пендикулярно вертикальной оси симметрии четвертого порядка (4) располага­ ются четыре горизонтальных оси симметрии второго порядка (2 ), углы между которыми составляют 45°

Выберем стереографическую проекцию первой пробной грани на верхней полусфере в центре круга проекций (рис. 7.21, а), там, где виден выход верти­ кальной оси симметрии (4). В результате воздействия любой горизонтальной оси симметрии (2 ) проекция исходной пробной грани 1 перейдет на нижнюю полусферу и займет аналогичное положение 2 в центре круга проекций, обо­ значаемое крестиком. Следующий поворот вокруг той же оси симметрии (2) переведет грань 2 в исходное положение 1 , завершив полный поворот вокруг взятой оси симметрии второго порядка и реализовав операцию отождествле­ ния — возврата в исходное положение.

Вертикальная ось симметрии (4) не может оказать свое воздействие на гра­ ни 1 и 2 , поскольку их нормали занимают вертикальное положение и совпада­ ют с осью симметрии (4). Таким образом, в результате размножения пробной грани получили всего пару идентичных параллельных горизонтальных граней. Данная (открытая) простая форма носит наименование пинакоида (см. анало­ гичный рис. 1.11, ё).

Другую проекцию пробной грани 1 (рис. 7.21, б) выберем на контуре круга про­ екций — на пересечении с вертикальным диаметром круга. Эта проекция совпадает с выходом горизонтальной оси симметрии второго порядка (2). Вертикальная ось симметрии четвертого порядка размножит грань 1 : после каждого очередного пово­ рота ее на элементарный угол 90° будут появляться другие идентичные грани (2, 3 и 4), пока круг не замкнется и грань 1 не возвратится в исходное положение.

3 ~о~

Рис. 7.21. К выводу простых форм ТГС 422: а — пинакоид и проекции нормалей его граней; б — тетрагональная призма и проекции нормалей ее граней; в — дитетрагональная призма и проекции нормалей ее граней; г — тетрагональная дипирамида и проекции нормалей ее граней; д — тетрагональный трапецоэдр и проекции нормалей его граней

Горизонтальные оси симметрии второго порядка не смогут оказать никако­ го воздействия на пробные грани 1—4, поскольку эти оси симметрии совпада­ ют с нормалями указанных пробных граней. Закончив все необходимые преоб­ разования, связанные с размножением пробной грани, получим четыре верти­ кальные взаимно перпендикулярные грани, которые в совокупности составля­ ют (открытую) простую форму: вертикальную тетрагональную призму (рис. 1.7, б), горизонтальное сечение которой представляет собой квадрат.

В третий раз для проекции пробной грани 1 выберем промежуток на конту­ ре круга проекций между выходами горизонтальных осей симметрии второго

порядка (рис. 7.21, в). Вращение пробной грани 1 вокруг вертикальной оси сим­ метрии (4) даст новые вертикальные грани 2, 3 и 4. Кроме того, поворот этих вертикальных граней вокруг любой горизонтальной оси симметрии второго порядка, занимающей по отношению граней 1—4 наклонные положения, на элементарный угол 180° приведет к удвоению количества вертикальных граней. В результате получим восьмигранник с вертикальной осью симметрии четвер­ того порядка, имеющий в горизонтальном сечении форму дитетрагона, или вертикальную дитетрагональную призму (рис. 1.7, д). Это — уже третья простая форма, которую можно наблюдать у кристаллов класса симметрии 422.

В четвертый раз выберем для проекции пробной грани 1 на вертикальном диаметре участок внутри круга проекций — между контуром круга проекций и его центром (на верхней полусфере) (рис 7.21, г). Если вертикальная ось сим­ метрии четвертого порядка (4) даст в результате новые грани 2, 3 и 4 на верхней полусфере, то поворот на элементарный угол 180° вокруг любой горизонталь­ ной оси симметрии второго порядка перенесет все четыре проекции на ниж­ нюю полусферу таким образом, что соответствующие проекции аналогичных граней окажутся друг под другом: под каждым кружочком на круге проекций будет располагаться крестик. В результате получим закрытую простую форму из восьми наклонных идентичных граней, которые в совокупности образуют тет­ рагональную дипирамиду (рис. 1.9, б).

В экспериментах с пробными гранями для класса симметрии 422 перебрали все возможные положения относительно элементов симметрии (стереографи­ ческие проекции этой грани занимали места непосредственно на осях симмет­ рии, или на линии контура круга проекций, или на его диаметрах) кроме обще­ го положения пробной грани, когда ее проекция занимает позицию внутри сферического треугольника, вершинами которого являются стереографические проекции соседних осей симметрии: (2)—(4)—(2).

Размножим грань общего положения 1 (рис. 7.21, д) сначала вертикальной осью симметрии (4) (при этом получим новые грани 2, 3 и 4 — на верхней полусфере), затем — горизонтальной осью симметрии L2 (и получим еще четы­ ре новые грани Г, 2', 3\ 4'— на нижней полусфере). Фигура, образованная пере­ численными восемью гранями, отличается от предыдущей простой формы — тетрагональной дипирамиды — тем, что нормали ее соседних верхних и ниж­ них граней не лежат в одной вертикальной плоскости и полностью соответ­ ствуют закрытой простой форме: тетрагональному трапецоэдру (рис. 1.10, б).

Таким образом, перебрав все возможные положения пробной грани отно­ сительно элементов симметрии данного класса симметрии и выполнив все не­ обходимые симметрические преобразования, сумели вывести чисто теоретичес­ ким путем все пять возможных простых форм естественной огранки, характер­ ных для рассматриваемого класса симметрии 422. Действительно, кристаллы данной точечной группы (класса) симметрии в принципе не могут иметь иных простых форм.

От класса симметрии 422 тетрагональной сингонии перейдем к теоретичес­ кому выводу возможных форм естественной огранки кубических кристаллов точечной группы (класса ) симметрии m3 (см. стереографическую проекцию элементов симметрии на рис. 7.16, в).

Помимо четырех наклонных осей симметрии третьего порядка 4£3 данный класс симметрии располагает тремя координатными плоскостями симметрии 3Р, тремя взаимно перпендикулярными координатными осями симметрии вто­ рого порядка 3Ь2 при наличии центра симметрии С.

Для проекции нормали первой пробной грани 1 выберем положение в цен­ тре круга проекций, которое соответствует вертикальной оси координат (рис. 7.22, а). При размножении этой грани с помощью наклонной оси симмет­ рии (J) получим новые грани 2 —6 , нормали которых также совпадают с коор­ динатными осями кубического кристалла. Таким образом, в результате размно­ жения пробной грани 1 получили совокупность шести взаимно перпендику­ лярных граней куба — первую возможную форму естественной огранки крис­ таллов данного класса симметрии m3 (рис. 1.2, а).

Для второй пробной грани возьмем положение на пересечении биссектрисы координатного угла XOY: на линии контура круга проекций — на расстоянии 45° от выхода осей симметрии +ОХ и +OY (рис. 7.22, б). Действуя на пробную грань 1 последовательно теми же наклонными осями симметрии третьего по­ рядка, получим в совокупности двенадцать граней, каждая из которых парал­ лельна одной оси координат и составляет с двумя другими углы по 45° Подоб­ ная совокупность граней полностью соответствует простой форме естествен­ ной огранки кубических кристаллов, именуемой ромбододекаэдром (рис. 1.2, в).

Для проекции третьей пробной грани выберем положение в центре октанта, на стыке шести сферических треугольников — на выходе наклонной оси сим­ метрии третьего порядка (рис. 7.22, в). По аналогии с исходной пробной гранью 1 остальные пробные грани 2 — 8 займут аналогичные положения на всех выхо­ дах наклонных осей симметрии третьего порядка. Совокупность восьми таких граней, нормали которых совпадают с осями симметрии третьего порядка, соот­ ветствует простой форме естественной огранки кубических кристаллов под названием октаэдра (рис. 1.3, а).

Для стереографической проекции нормали четвертой пробной грани выбе­ рем положение на линии контура круга проекций: между выходом координат ной оси + ОХ и биссектрисой координатного угла XOY (рис. 7.22, г). После раз­ множения пробной грани 1 наклонной осью симметрии третьего порядка в первом октанте получим грани 2 и 3. Затем, действуя последовательно каждой из трех плоскостей симметрии, определим положение стереографических про­ екций других пробных граней. В результате получим совокупность двенадцати пробных граней, каждая из которых параллельна одной координатной оси, бу­ дучи на разных угловых расстояниях от двух других координатных осей. Такая совокупность из двенадцати идентичных граней точно соответствует простой форме естественной огранки кубических кристаллов, которая именуется рентагондодекаэдром (рис. 1.2, г).

Пятое положение проекции нормали пробной грани выберем на границе двух соседних сферических треугольников: между ближайшими выходами двух осей симметрии (координатной (2) и наклонной (3)) (рис. 7.22, д). Размножая пробную грань 1 в первом октанте с помощью наклонной оси симметрии тре­ тьего порядка, получим проекции граней 2 и 3, лежащие также на границах сферических треугольников. Затем, действуя на проекции этих трех пробных

Рис. 7.22. К выводу простых форм ТГС m3: а — гексаэдр (куб) и проекции нормалей его граней; б — ромбододекаэдр и проекции нормалей его граней; в — октаэдр и проекции нормалей его граней; г — пентагондодекаэдр и проекции нормалей его граней; д — тетрагонтриоктаэдр и проекции нормалей его граней; е — тригонтриокгаэдр и проекции нормалей его граней; ж — дидодекаэдр и проекции нормалей его граней

граней последовательно каждой из трех координатных плоскостей симметрии, получим в каждом из оставшихся семи октантов по три аналогичных пробных грани. Совокупность из 24 аналогичных граней соответствует простой форме есте­ ственной огранки кубических кристаллов — тетрагонтриоктаэдру (рис. 1.3, в).

Шестое положение проекции пробной грани выберем также на границе между двумя соседними сферическими треугольниками, но на этот раз между выхо­ дом наклонной оси симметрии третьего порядка (J) и линией контура круга проекций (рис. 7.22, е). Далее, действуя наклонной осью симметрии (J) и плос­ костями симметрии (как в предыдущем случае), получим совокупность из 24 идентичных граней, соответствующую простой форме естественной огранки кубических кристаллов — тригонтриоктаэдру (рис. 1.3, б).

И наконец, последнее, седьмое, общее положение проекции нормали проб­ ной грани выберем внутри сферического треугольника (рис. 7.22, ж). Размножая грань 1 в первом октанте наклонной осью симметрии третьего порядка, полу­ чим грани 2 и 3, проекции которых располагаются также внутри своих сфери­ ческих треугольников. Затем, с помощью трех последовательных отражений в координатных плоскостях симметрии, заполним проекциями остальных проб­ ных граней половину (24) всех сферических треугольников и получим в итоге последнюю, седьмую простую форму естественной огранки кубических крис­ таллов класса m3 в виде 24-гранника под названием дидодекаэдр (рис. 7.22, ж).

Таким образом, получили теоретическим путем для кубических кристаллов класса m3 семь возможных простых форм естественной огранки: куб, ромбодо­ декаэдр, октаэдр, пентагондодекаэдр, тетрагонтриоктаэдр, тригонтриоктаэдр и дидодекаэдр.

Рассмотрев примеры теоретического вывода возможных форм естественной огранки тетрагональных и кубических кристаллов, закончим анализ кристалла­ ми тригональной сингонии точечной группы (класса) симметрии Зт.

Кристаллы этого класса характеризуются наличием вертикальных элемен­ тов симметрии: простой оси симметрии третьего порядка Ьг и трех вертикаль­ ных плоскостей симметрии ЗР(рис. 7.8, б).

Проекцию первой пробной грани 1 выберем в центре круга проекций: на выходе вертикальной оси симметрии третьего порядка (рис. 7.23, а). Поскольку нормаль этой пробной грани совпадает с осью симметрии третьего порядка и одновременно располагается параллельно каждой из трех плоскостей симмет­ рии, имеющимися элементами симметрии размножить пробную грань 1 , к со­ жалению, не удастся. В результате получим характерную (открытую) для данно­ го класса симметрии простую форму естественной огранки, представленную единственной гранью, — моноэдр (рис. 1.11, з).

Вторую проекцию пробной грани выберем на контуре круга проекций — на биссектрисе угла между соседними плоскостями симметрии (рис. 7.23, б).

Размножив вертикальную грань 1 сначала осью симметрии третьего поряд­ ка, а затем плоскостями симметрии, получим шесть идентичных вертикальных граней, нормали которых составляют друг с другом углы по 60° В результате получим открытую (сверху и снизу) простую форму: гексагональную призму (рис. 1.7, в).

Третью проекцию нормали пробной грани выберем на контуре круга проек­ ций: на пересечении круга с проекцией вертикальной плоскости симметрии (рис. 7.23, в). Размножая пробную грань 1 осью симметрии третьего порядка, получим вертикальные грани 2 и 3. Нормали всех трех пробных граней лежат в плоскостях симметрии, поэтому новых граней больше не получим. Полученные

Рис. 7.23. К выводу простых форм ТГС Зт\ а — моноэдр и проекция его нормали; б — гексаго­ нальная призма и проекции нормалей ее граней; в — тригональная призма и проекции норма­ лей ее граней; г — тригональная пирамида и проекции нормалей ее граней; д — дитригональная призма и проекции нормалей ее граней; е — гексагональная пирамида и проекции норма­ лей ее граней; ж — дитригональная пирамида и проекции нормалей ее граней

три аналогичные вертикальные грани, составляющие между собой углы по 120°, образуют открытую простую форму: тригональную призму (рис. 1.7, а).

Проекцию четвертой пробной грани выберем на самой плоскости симмет­ рии (рис. 7.23, г). Размножив грань 1 вертикальной осью симметрии третьего

порядка, получим в итоге три одинаково наклоненные к этой оси грани тригональной пирамиды — открытой (снизу) простой формы, характерной для дан­ ной точечной группы симметрии тригональной сингонии (рис. 1.8, а).

Проекцию пятой пробной грани выберем в произвольной точке линии кон­ тура круга проекций (рис. 7.23, д), что соответствует вертикальному положению пробной грани. С помощью вертикальной оси симметрии третьего порядка из пробной грани 1 получим аналогичные вертикальные грани 2 и 3. Затем с по­ мощью отражения в вертикальной плоскости симметрии количество верти­ кальных граней удвоится, и получим в результате вертикальную дитригональную призму (с горизонтальным сечением в виде дитригона) (рис. 1.7, г) — оче­ редную открытую простую форму, характерную для данной точечной группы (класса) симметрии Зт.

Проекцию шестой пробной грани выберем внутри сферического треуголь­ ника: на биссектрисе угла между вертикальными плоскостями симметрии (рис. 7.23, е). При размножении пробной грани 1 с помощью последовательных отражений в трех вертикальных плоскостях симметрии получим шесть иден­ тичных наклонных граней гексагональной пирамиды — очередную простую от­ крытую простую форму класса симметрии Зт (рис. 1.8, в).

И наконец, получим простую форму общего вида, когда проекция очередной пробной грани занимает самое общее положение внутри сферического треу­ гольника (рис. 7.23, ж). В этом случае получим открытую простую форму, обра­ зованную шестью наклонными идентичными гранями, в виде дитригональной пирамиды (рис. 1.8, г), имеющей в поперечном сечении форму дитригона.

В результате, теоретическим путем вывели для точечной группы (классы) симметрии Зт семь характерных простых форм естественной огранки тригональных кристаллов: моноэдр, гексагональную призму, тригональную призму, тригональную пирамиду, дитригональную призму, гексагональную пирамиду и общую простую форму — дитригональную пирамиду.

Таким образом, показаны примеры успешного применения точечных групп (классов) симметрии для решения такого фундаментального вопроса, как тео­ ретический расчет возможных форм естественной огранки кристаллических многогранников любых категорий и сингоний.

Выводы. Продемонстрированный в настоящей главе вывод 32 точечных групп (классов) симметрии имеет серьезнейшее теоретическое и практическое зна­ чение. Как будет показано в следующих главах, 32 точечные группы (класса) симметрии, которые были выведены А.В. Гадолиным, послужили теоретическим фундаментом для построения атомистической теории внутреннего закономер­ ного строения кристаллов, разработанной спустя всего 22 года другим великим отечественным кристаллографом Е.С. Федоровым (1890 г.).

Практическое значение законов симметрии естественной огранки кристал­ лов делает целенаправленными любые направления использования кристаллов и кристаллических элементов в самых разнообразных областях техники. Гра­ мотный учет анизотропии кристаллических веществ практически невозможен без детального знания их симметрии. Выявление направлений в кристалле, свя­ занных элементами симметрии, способствует существенному повышению од­ нородности кристаллических элементов в самых разнообразных технических приложениях.