Практическая кристаллография

ц9 = arccos 0,44721 = 63,435°; v9 = arccos 0,00000 = 90,000°

Затем с помощью поворота вокруг ближайшей оси симметрии третьего по­ рядка (на верхней полусфере) получим стереографические проекции норма­ лей граней 6 и 1: их координатные углы того же типа, что и у грани 9, только эти углы следуют в ином порядке, чем у грани 9. Так, нормаль грани 6 образует с осью OYтакой же угол, какой нормаль грани 9 составляла с осью ОХ (26,565°), с осью OZ — такой же угол, какой нормаль грани 9 — с осью OY (63,435°), с осью ОХ — такой же угол, какой нормаль грани 9 — с осью OZ (90,000°):

Х6 = arccos 0,00000 = 90,000°; ц6 = arccos 0,89443 = 26,565°; v6 = arccos 0,44721 = 63,435°

Аналогичным образом для грани 1 получим координатные углы:

X, = arccos 0,44721 = 63,435°; ц, = arccos 0,00000 = 90,000°; v, = arccos 0,89443 = 26,565°

Далее с помощью вертикальной диагональной плоскости симметрии, кото­ рая проходит через ту же ось симметрии третьего порядка, получим проекции еще трех граней: 2 (из грани 1), 5 (из грани 6) и 10 (из грани 9), у которых координатные углы X и ц по сравнению с исходными гранями (указанными в скобках) меняются местами.

Проекции остальных граней тетрагексаэдра получим с помощью поворотов вокруг вертикальной оси симметрии четвертого порядка и отражения в гори­ зонтальной плоскости симметрии. Соответствующие координатные углы для каждой из граней тетрагексаэдра и их символы даны в табл. 10.4.

10.9. Задача 9. Определить типичные символы ребер тетрагексаэдра и осей его

зон, величины двугранных углов и построить стереографические проекции ха­ рактерных зон кристалла

Переходя к характеристике действительных ребер тетрагексаэдра, следует от­ метить наличие в его огранке двух типов ребер. Во-первых, это — «координат­ ные» ребра: ребра кристалла, которые параллельны осям координат. Это ребра ±[100] — параллельные оси ОХ, ребра ±[010] — параллельные оси OY и ребра ±[001] — параллельные оси OZ. Эти ребра параллельны осям одноименных зон кристалла. Так, зона ±[100] объединяет грани 2, 4, 6, 8, 18, 20, 22 и 24, а стереогра­ фические проекции их нормалей лежат на горизонтальном диаметре круга про­ екций (рис. 10.7). В зону ±[010] входят грани 1, 3, 5, 7,17, 19, 21 и 23, а их проекции располагаются на вертикальном диаметре круга проекций. Что же касается тре-

10.10. Задача 10. Построить стереографические проекции нормалей граней общего положения типа {413} путем поворота исходной проекции (413) вокруг наклонной оси симметрии третьего порядка [111] (первый октант круга проек­ ций, класс симметрии m3)

Раннее рассматривались лишь частные положения проекции нормали грани кристалла. Эти проекции в основном занимали положения на границах сфери­ ческих треугольников, на которые разбивали октант круга проекций (либо в вершинах этих треугольников, либо на их сторонах). В этих случаях при поворо­ те вокруг наклонной оси симметрии третьего порядка проекция нормали пере­ мещалась либо из одной вершины треугольника в другую, либо переходила со стороны одного треугольника на соответствующую сторону другого треуголь­ ника (например, в случае задачи с тетрагексаэдром). Однако в общем случае стереографическая проекция нормали может располагаться внутри сферичес­ кого треугольника, и тогда ее поворот вокруг наклонной оси симметрии третье­ го порядка должен быть подвергнут специальному анализу.

Вначале рассмотрим решение этой задачи графическим методом, предвари­ тельно определив координатные углы нормали грани (413) с помощью уравне­ ния (5.32). Обозначив cosX = 4х, cosp. = JC, cosv = Зх, получим х = ±71726 = 0,1961. Тогда X = arccos 0,7845 = 38,329°, р = arccos 0,1961 = 78,690°, v = arccos 0,5883 =

=53,960°

Спомощью сетки Вульфа проводим следующие построения.

1.На кальке проводим дугу X = 38,329°, отсчитывая указанный угол от ниж­ ней точки вертикального диаметра круга проекций (рис. 10.8, а).

2.Повернув кальку по часовой стрелке на 90°, строим дугу р = 78,690° (по аналогии с предыдущей дугой X = 38,329°) (рис. 10.8, б).

3.Точка пересечения обеих дуг является стереографической проекцией нор­ мали грани (413) (что проверяется измерением третьего координатного угла v = 53,960° с помощью совмещения этой точки пересечения центральным вра­ щением кальки с одним из диаметров сетки Вульфа).

4.Совместив центральным поворотом кальки проекции нормали грани (413) и выхода оси поворота L} [111] с одной из дуг большого круга, проводим через них меридиональную дугу и определяем угол 0 между проекцией (413) и осью поворо­ та [111] (величину угла 0 можно проверить по формулам (9.2): 0 = arccos 0,9058 =

=25,061°).

5.К полюсу Z-J [111] построим дугу, для чего центральным вращением совме­ стим проекцию 13 [111] с горизонтальным диаметром круга проекций, отложим по этому диаметру 90° и проведем через эту отметку и полюсы сетки Вульфа дугу большого круга, проходящую по обеим полусферам (и служащую эквато­ ром по отношению к полюсу [111]) (рис. 10.8, б).

6.По этой экваториальной дуге (п. 5) от точки 1пересечения ее с меридиональ­ ной дугой (п. 4) откладываем элементарный угол 120° и проводим новую меридио­ нальную дугу через отметку 2 и проекцию оси поворота [111] (рис. 10.8, в).

7.По новой меридиональной дуге (п. 6) откладываем угол 0 от проекции оси поворота [111] (в сторону экваториальной дуги) и наносим новую стереогра­ фическую проекцию нормали грани (134), которая связана указанной наклон­ ной осью симметрии третьего порядка с исходной гранью (413).

Рис. 10.8. Построение проекции исходной грани (413) (а); поворот проекции на 45° и построе­ ние дуги к полюсу оси поворота [111] (б); результат размножения грани (413) осью симметрии L, [111] (в); возврат проекции в исходное положение (г)

8.Для построения следующей проекции нормали грани (341) (рис. 10.8, в), получаемой очередным поворотом вокруг указанной наклонной оси симмет­ рии третьего порядка, следует повторить п. 6 и 7.

9.Для определения символов новых граней следует определить соответству­ ющие координатные углы и сравнить их с расчетными:

Следует обратить внимание на процедуру отсчета элементарного угла пово­ рота 120° по экваториальной дуге (п. 6). Если меридиональные дуги [111]—(413)—1 и [111]—(134)—2 проходят по верхней полусфере проекций, то третья меридио­ нальная дуга [111]—(341)—3 затрагивает обе полусферы: ее начало — на верх­ ней полусфере, а вторая часть этой дуги, пересекающая экваториальную дугу в точке 3, располагается на нижней полусфере. К точке 3 можно прийти от точки 2, отсчитав по экваториальной дуге угол 120° по часовой стрелке, либо от точки 1, откладывая такой же угол 120° против часовой стрелки, но в обоих случаях перемещение вдоль экваториальной дуги связано с переходом с верхней полу­ сферы на нижнюю.

Окончательные результаты описанного построения приведены на рис. 10.8, г. Кроме описанного графического метода построения стереографических про­ екций нормалей граней, связанных друг с другом наклонной осью симметрии третьего порядка, можно воспользоваться непосредственным построением со­ ответствующих стереографических проекций с помощью расчета координат­ ных углов граней (134) и (341). Этот расчетный метод, конечно, уступает графи­ ческому методу по своей наглядности, но существенно превосходит его по сво­

ей точности.

10.11. Задача 11. Определить кристаллографические символы [/у у у 4] указан­ ных направлений (от 1—2 до 1—12) в гексагональном кристалле и подтвердить их параллельность плоскости (hkil) = (0112)

Чтобы определить кристаллографические символы указанных направлений в гексагональном кристалле (рис. 10.9, а), определим координаты точек (1—12). Для этого нужно привязать заданную атомную плоскость (0112) к трехосной системе координат и перейти от заданного четырехосного символа (hkil) = = (0112) к трехосному символу (hkt) = (012). Таким образом, с помощью отно­ шений обратных величин индексов плоскости (hkt) можно перейти к отрезкам а, b и с, отсекаемым этой плоскостью на координатных осях OX, OYи OZ:

Отсюда можно заключить, что атомная плоскость, соответствующая трехосному символу (012), располагается параллельно оси ОХ и отсекает на положительных направлениях осей OY и OZ соответственно отрезки Ь = Ь0и с = c j 2, выражен­ ные в осевых (или масштабных) единицах. Следовательно, сторона основания гексагональной призмы на рис. 10.9, а соответствует осевой единице а0 = Ь0, а высота гексагональной призмы — осевой единице с0.

Выбрав начало координат О в центре нижнего основания гексагональной призмы, получим для координат атома Г х = 1/2; у = 1; z = 0, атома 2. х = 1; у= 1; г = 0 и т. д. Координаты всех атомов приведены на рис. 10.9, б.

Теперь, располагая координатами всех атомов, определяющих заданные на­ правления в гексагональном кристалле, можно приступить к определению трех­ осных символов этих направлений. В соответствии с (4.16) для определения символов направлений [wvw] будем использовать отношения разностей коор­ динат днух атомов, принадлежащих заданному направлению в кристалле:

где указанные в правой части величины представляют собой разности соответ­ ствующих координат пары атомов, принадлежащих заданному направлению и выраженных в соответствующих осевых (масштабных) единицах. Так, для на-

z

Рис. 10.9. Направления в наклонном сечении гексагонального кристалла (а) и координаты точек (б)

правления 1—4, определяемого парой атомов 1 н 4 , из отношения разностей: Ах = 1/2, Ау = —1 и Az = 1/2 получим символ [121]. В табл. 10.5 приводятся данные соответствующих трехосных [ M V W ] и соответствующих четырехосных [г,г2г3г4] символов направлений в гексагональном кристалле, которые опреде­ лены с помощью соотношения (10.13).

Т а б л и ц а 10.5. Символы направлений в сечении гексагонального кристалла

Часть II. СТРУКТУРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

ГЛАВА 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ХАРАКТЕРИСТИК АТОМНОГО СТРОЕНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ВЕЩЕСТВА

Несмотря на ряд блестящих научных теорий и гипотез конца XVIII— начала XIX в., прямое экспериментальное подтверждение закономерного атомного строения кристаллов возникло только в 1912 г. Тогда крупный мюнхенский физик Макс Лауэ сумел получить дифракцию пучка параллельных рентгенов­ ских лучей, прошедших через природный кристалл. Возникновение дифракции явилось бесспорным доказательством закономерного периодического простран­ ственного расположения атомов в кристаллах.

Уже в следующем году два выдающихся физика (Г.В. Вульф — в России и Лоуренс Брэгг — в Англии) независимо друг от друга открыли закон отраже­ ния рентгеновских лучей параллельными атомными плоскостями кристалла, который позволил в том же году расшифровать с помощью полученных рент­ генограмм первые кристаллические структуры.

Уникальность этих открытий — не только в том, что, наконец-то, восторже­ ствовала древнейшая гипотеза, что мир состоит из атомов, но и в том, что логи­ чески завершилась цепочка замечательных научных открытий двух предше­ ствовавших веков — закона рациональных отношений параметров Гаюи и за­ кона зон Вейсса о действительных и возможных гранях и ребрах кристалла, о решеточном атомном строении кристаллов.

Всередине XIX в. видным французским исследователем Огюстом Браве был сформулирован закон, описывающий периодическое атомное строение крис­ таллов и представляющий их как пакет параллельных атомных плоскостей, наи­ более плотные из которых являются гранями кристалла.

Вконце 1860-х гг. профессор Михайловской артиллерийской академии (Санкт-Петербург) Аксель Вильгельмович Гадолин открыл законы симметрии естественной огранки кристаллических многогранников (32 класса симметрии кристаллических многогранников).

А на основе учения А.В.Гадолина другой санкт-петербургский ученый Евг­ раф Степанович Федоров в конце плодотворного на открытия XIX в. сделал крупнейшее научное открытие: сумел теоретическим путем вывести все 230 пространственных групп симметрии, описывающих с математической точнос­ тью все возможные законы симметрии внутреннего строения кристаллов.

Великие открытия 1912—1913 гг. блестяще подтвердили гениальные предпо­ сылки Е.С.Федорова и его предшественников — сторонников теории решеточ­ ного строения кристаллов. Успешная расшифровка первых кристаллических структур поразила воображение ученых того времени своей удивительной про­ стотой.

11.1. Геометрия элементарной ячейки кристаллической структуры

Согласно решеточной теории строения кристаллических структур, любая такая структура составлена из одинаковых атомных фрагментов, имеющих форму па­ раллелепипедов, которые вплотную, без зазоров примыкают друг к другу и це­ ликом заполняют пространство кристалла. Каждый такой фрагмент абсолютно подобен любому другому фрагменту данной кристаллической структуры и на­ зывается элементарной ячейкой. Любую кристаллическую структуру можно вос­ произвести, взяв для этого одну-единственную элементарную ячейку и повто­ ряя ее во всех направлениях.

Как отмечалось ранее (см. гл. 2), в целях обеспечения однозначности опре­ деления (выбора) элементарной ячейки принято руководствоваться тремя ран­ жированными критериями Браве, которые выполняются в порядке строгой очередности. Во-первых, при выборе элементарной ячейки кристаллической структуры необходимо обеспечить соответствие симметрии элементарной ячей­ ки (в форме параллелепипеда) и симметрии кристалла. Это означает, например, что элементарная ячейка кубического кристалла не может быть ни призмой, ни ромбоэдром, ни прямоугольным параллелепипедом, а должна иметь форму куба, ребра которого соответствуют базисным векторам пространственной решетки а, b и с. Во-вторых, при выборе элементарной ячейки кристаллической структу­ ры (при прочих равных условиях) следует обеспечить максимально возможное количество прямых углов между ребрами элементарной ячейки. В-третьих, при выборе элементарной ячейки следует обеспечить (при прочих равных услови­ ях) требование ее минимального объема.

Так, элементарная ячейка ромбического кристалла должна иметь форму ром­ бической призмы (рис. 1.5, а и 1.6, а), тетрагонального кристалла — форму тетра­ гональной призмы, гексагонального кристалла — форму гексагональной при­ змы, тригонального кристалла — форму ромбоэдра (рис. 1.11, г). Однако в после­ днее время для гексагональных кристаллов в качестве элементарной ячейки принято брать не всю гексагональную призму, а лишь одну треть ее, поскольку отброшенные две трети этой призмы по существу являются повторением ос­ тавшейся одной трети.

Следует отметить, что при описании тригональных кристаллов вместо ука­ занной ромбоэдрической элементарной ячейки часто используют такую же эле­ ментарную ячейку, как у гексагональных кристаллов (ввиду некоторого сход­ ства симметрии тригональных и гексагональных кристаллов и удобства описа­ ния тригональных кристаллических структур с помощью призмы по сравне­ нию с ромбоэдром).

11.2. Расчет количества атомов

Вслед за выбором элементарной ячейки кристаллической структуры при­ ступают к подсчету количества атомов, населяющих данную элементарную ячейку. Определение этой характеристики позволяет не только составить общее пред­ ставление о конкретной кристаллической структуре, но также оценить степень