Метод конечных элементов. Основы
.pdfжесткости [kg\. Имеем |
|
[k/]+ co[k5]{w}=0, |
(13.29) |
где |
|
[к/1=[Г0]т[к/][Г01, [кя]=1Г0]т[к^1[Г01. |
(13.29а, Ь) |
Собственное значение со и соответствующая форма моды выпучива ния выделяются из редуцированной системы (13.29). Вопросы эф фективности этой схемы будут описаны в дальнейшем.
13.3. Призматический элемент
13.3.1. Выпучивание при изгибе
Целью настоящих рассмотрений является преобразование энергии деформации (13.13) в явную формулировку для матрицы жесткости элемента посредством выбора функционального представления
ДЛЯ W.
Точное представление для этого случая можно сформулировать, используя функцию перемещений, которая удовлетворяет соот ветствующему дифференциальному уравнению [13.1]. Однако, стре мясь, как обычно, при конечно-элементном анализе выбрать про стое аппроксимирующее поле перемещений, альтернативно выберем (при l= x/L) поле перемещений для изгибаемого элемента без осе вой нагрузки (см. (5.14а)). Имеем
(3£’- 2 !> )(1 - 2 5 + И * |
(!-? ■ )* J |
Г 1 |
-{W |
||
Использование выписанного выражения |
в (13.13) |
приводит |
к хорошо известному представлению для базисной изгибной мат рицы [к/], задаваемой выражением (5.17), а также к следующей явной форме для матрицы [kg]:
" |
36; |
W, |
01 |
|
(Симметрично)' |
||
зо! |
—3б""36; |
(13.30) |
|
—3L |
|
||
3Ь ~ Щ |
|||
L—3L |
3L |
—LML* |
|
В качестве примера применения инкрементальной матрицы жест кости при решении задач о потере устойчивости балок найдем кри тическую силу для изображенной на рис. 13.4 простой балки, ис пользуя один элемент. Здесь ш1= 0 2=О, Fx= —Рх^ , L= l!2. По
изменения. Заметим, однако, что конечно-разностные уравнения используют только одну степень свободы в каждом узле, а именно прогиб w.
На рис. 13.6 изображен ! рафик зависимости ошибки в процен тах от числа элементов в представлении при определении критиче ской нагрузки суживающейся консольной балки. Сплошной линией
b=b2( f f ьг
Рис. 13.6. Характеристики сходимости методов — устойчивость сужающейся балки.
изображен график для ступенчатого представления [13.31, в кото ром для задания элемента используются геометрические характе ристики в центре элемента. Следует отметить два аспекта, касаю щиеся полученных решений. Во-первых, точность решений при лю бой мелкости сетки строго меньше, чем для балки постоянного сече ния. Во-вторых, решения для ступенчатого разбиения сходятся к точному решению снизу в отличие от решений для суживающихся элементов. Таким образом, становится очевидным, что более гибкая
геометрическая аппроксимация оказывается более важной по срав нению с аппроксимацией в конечно-элементном представлении функ ции перемещений. Более того, оказывается, что не существует «пред ставительного» поперечного сечения элемента.
Трудно, а подчас и невозможно сформулировать точную матрицу жесткости для элемента с переменным поперечным сечением. С дру гой стороны, можно использовать принцип минимума потенциаль ной энергии при формулировке приближенного суживающегося элемента, задавая при этом геометрические характеристики, точно (как это сделано в разд. 6.4 и 7.2) или близко аппроксимируя форму суживающегося элемента и выбирая то представление перемещений, которое использовалось для элемента с постоянным поперечным сечением.
При применении этого подхода, сохраняющего непрерывность геометрических характеристик в узлах, получаются решения высо кой точности, представленные на рис. 13.6 пунктирной линией. Пожалуй, наиболее важным заключением, вытекающим из прове денных рассмотрений, является то, что следует уделять большее внимание представлению геометрических характеристик по сравне нию с выбором предполагаемых функций перемещений.
13.3.2. Изгибно-крутильная потеря устойчивости
Если призматический конструктивный элемент является частью пространственной стержневой системы, он, вообще говоря, подвер гается изгибу в двух плоскостях, кручению вокруг своей оси и дей ствию осевых нагрузок. Взаимодействие этих компонент порождает более сложные моды упругой потери устойчивости, нежели простые моды выпучивания, описанные в предыдущих разделах. Обобщение на этот случай осуществляется стандартными методами, не выходя щими за рамки проведенных рассмотрений, и детально описывается в [13.41. Чтобы проиллюстрировать используемые при этом опера ции, рассмотрим один из аспектов общего случая — условие из- гибно-крутильной формы потери устойчивости.
Призматический элемент, используемый при рассмотрениях, изображен на рис. 13.7. Предполагается, что для определения со стояния элемента при изгибе и осевом деформировании в плоскости у — z до наступления выпучивания проводится независимый ана лиз. Таким образом, известны относительные амплитуды моментов на концах М хj и М Хз, перерезывающие силы в граничных точках FZl, F2з и осевая нагрузка Fy. Рассматриваемая форма потери устойчивости включает кручение вокруг оси у и изгиб в плоскости х — у . Чтобы учесть депланацию, необходимо включить в качестве меры смещения производную от угла закрутки 0Упо координате у , которую обозначим через 0,,. Таким образом, для каждого конца элемента в качестве степеней свободы принимаются 0У, 0^, и и
u'(=du/dy) с соответствующими силовыми параметрами, обозначен ными через М у, МУу, F , и М г.
При выписанных условиях для изгибно-крутильной формы поте ри устойчивости в [ 13.4] показано, что соответствующее выражение
для потенциальной |
энергии имеет вид |
|
|
||
пР= т Ц Е1* д а + GJ д а + ЕГ |
ю |
* - Е* д а + |
|||
+ ( F г , У |
+ Р г , ( L |
— у ) Ч - М х< — M Xj) 0 xu ” |
dy— |
|
|
|
|
|
|
|
(13.31) |
где штрихами обозначены производные по |
осевой координате у, |
||||
G — модуль |
сдвига, |
J — жесткость кручения |
по Сен-Венану, |
||
/ р — полярный момент инерции, |
Г — константа депланации, а ве |
||||
личины А, |
1г определены ранее; |
MXi_2= M Xi—М Хз. |
|||
Рис. 13.7. Призматический элемент для анализа изгибно-крутильной формы поте ри устойчивости
Каждая из величин, характеризующих перемещения и и 0?/, должна удовлетворять двум граничным условиям в каждом узле. Первое условие накладывается на сами переменные uiy Qy.t а вто
рое — на их первые производные uiy 0^. Этот тип условий встре
чался при простом изгибе. Поэтому в данном случае можно исполь зовать представление функций в том же виде, как и для простого изгиба. Имеем
U = L N J {Аи}, |
(13.32) |
0y= L N J { A OyK |
(13.33) |
где |_ N J — вектор функций формы из (5.14а) и
{д„1 = L “■«2 «2 j т, |
(13.34) |
|
(13.35) |
Подставив эти выражения в (13.31) и проведя интегрирование с применением принципа стационарности потенциальной энергии,
Рис. 13.9. Характеристики сходимости метода: изгибная (/), крутильная (2) и поперечная (3) формы потери устойчивости.
т. е. дифференцирования по каждой степени свободы в узле, прихо дим к уравнению жесткости того же вида, что и в предыдущих раз делах данной главы:
|
|
{F }=tlk/l+[kg]]{A}, |
|
где в данном случае |
|
|
|
{И = |
|_ |
МУ1A V Fx M , M yt Муу, J т, |
|
(л) = |
L « |
, |
и; еВ1 в', j т. |
Основная Ik/] и геометрическая матрицы жесткости для этого случая изображены на рис. 13.8.
Чтобы проиллюстрировать точность формулировки, рассмотрим задачу о поперечной неустойчивости свободно опертой балки, кон цы которой не могут проворачиваться (рис. 13.9) при действии на
где делается различие между матрицами [к'а] и [к/], характеризую щими осевое и изгибыое деформирования, а штрихи обозначают, что эти матрицы относятся к осям, связанным с элементом. После перехода к глобальным (без штрихов) координатам и и w соотно шение между матрицами запишется в следующем виде:
(13.37)
Видно, что описание осевого и изгибного поведения является связанным, и члены, отвечающие линейной теории устойчивости, уже не отмечаются нижним индексом. Это условие сохраняется пос ле того, как все элементы объединяются при построении уравнений
Рис. 13.10. Стержневой элемент — узловые силы, (а) Локальные коор динаты; (Ь) глобальные координаты.
для всей конструкции. Таким образом, коэффициенты геометриче ской матрицы жесткости зависят от изгибного поведения конструк ции и не могут быть определены независимо.
Рис. 13.11. Пример простой рамы для анализа потери устойчивости, (а) Рама;
(Ь) конечно-элементное представление.
Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, рассмотрим раму, изоб раженную на рис. 13.11(a). На рис. 13.11(b) показана конечно элементная идеализация этой рамы. Только точка 2 может пере мещаться, поэтому уравнение жесткости необходимо выписать лишь