Метод конечных элементов. Основы
.pdfким выражениям для интегралов от этих функций по объему эле мента. (Явные формулировки для квадратичных элементов можно найти в [10.4] и [10.5], а для элементов с кубическим полем переме щений в [10.6].) Элементам Т48 уделяется внимание из-за их эффек тивности при решении прикладных задач и из-за того, что на их примере демонстрируются операции, которые нужно выполнить, если перемещения записываются в терминах обобщенных коорди нат, а не в виде функций формы.
10.2.2. Элемент с линейным полем перемещений [10.19]
Линейные поля перемещений |
(u, v, w) можно записать в тетраэд |
||
ральных координатах [_ L J = |
[_ Lx L2 £ 3 ^4 J (см. разд. 8 .6) |
в виде |
|
м= L L J {u}, V— |_L _| {v }, |
w= |_ L J {w}, |
(10.11) |
|
где |
|
|
|
U= |_ ul U2 W3 «4 J |
, |
(10.12) |
|
и аналогично для {v} и {w}. Замечая, что, согласно (8.29),
Li= 6 (voT) [(V0L)/+ c\X + c*iU+c*iZ\
где (vol), Ci , c2. и сЯ( выражаются в разд. 8.6 в терминах узло
вых координат хи ., г4. Применяя соотношения (10.2) между де формациями и перемещениями к уравнениям (10.1 1 ), приходим к следующей форме уравнения (10.6):
е* ' |
|
|
I" L c t J |
L ° J |
L ° J " |
|
|
6У |
|
|
L ° J |
L C2J |
L° J |
м |
|
е* |
1 |
L° J |
L° J |
L C8J |
|||
M = [D]{A}, (Ю.13) |
|||||||
Уху |
6 (vol) |
L ca J |
L<nJ |
L 0 J |
|||
|
|||||||
У у г |
|
|
L° J |
L c3 J L C2J |
|
||
У г х , |
|
|
1_ L ca J L° J |
L CI J _ |
|
||
где L ci J = |
L ci*ciaci, ct< J » и аналогичные представления справед |
||||||
ливы для |
L с 2J |
и |
L z* J ; |
матрица[_0 _], |
имеющая размерность |
||
1x4,— нулевая |
матрица-строка. Линейное |
поле перемещений об |
|||||
условливает постоянство деформаций внутри элемента. Поэтому такой элемент часто называют тетраэдральным элементом с постоянной деформацией (CSTh-элемент). Если [Е] определено в соответствии с (10.3) и все элементы матрицы [D] постоянны, то из (10.8) получим выражение для матрицы жесткости тетраэдрального
элемента в виде |
[k] = [D]т [Е] [D](vol), где объем элемента (vol) |
подсчитывается, |
как указано в разд. 8 .6 . |
На практике |
чрезвычайно трудно задать конфигурацию конеч |
но-элементной модели только одним указанным элементом. Проб
лема заключается в правильном объемном расположении тетраэд ров без пустот и т. д. Поэтому вычислительные программы часто предусматривают непосредственное задание шестигранных эле ментов, которые автоматически составляются из фиксированного числа тетраэдров. На рис. 10.4 изображен один из таких «супер элементов», включающий пять тетраэдров.
Рис. 10.4. Шестигранник, составленный из пяти тетраэдров.
10.2.3. Элементы высших порядков [10.6]
Простой способ построения элемента Т48 основан на разложении величин в ряд по тетраэдральным координатам в виде
U = |
"4” ^-2^2 "1” ^8^3 “4” ^4^4 |
*4" |
“I” ^4^1^7 *4* |
|
|
L 3L . 2Clb *4” ^2^4^9 |
^3^1^10 ~f" KL \ |
L 2 |
L 2) ^11 |
+ |
( ^ 4 ^ 4 ----- ^ 3 ^ 4 ) а 12 + |
( ^ 4 ^ 1 ------^ 4 ^ l ) |
а 13 + |
|
+ |
(L\L2- L 3L\) аи + (L\L, - Ц Ц ) ап + (Щ г- 1 . 3Ц) аи . (10.14) |
|||
Поля перемещений v и w определяются аналогичным образом, поэ
тому |
полный набор обобщенных параметров перемещения может |
быть |
представлен как {а }= L • -а4в J т* |
Теперь порядок построения матрицы жесткости соответствует изложенному в предыдущих главах. Выписанные поля перемеще ний дифференцируют согласно соотношениям между деформациями и перемещениями (10.2) и приходят к уравнениям вида е=[С1 {а}. Кроме того, в каждой из четырех вершин определяются функции перемещений и их первые производные. В результате получают 48 уравнений, записанных в виде {А} = [В) {а}, где {А} содержит сте пени свободы, представленные в (10.10) для поля и и в аналогичных формулах для полей v и до. Следовательно, матрица жесткости да ется формулой (10.8а):
[к] =. <[В]—)Т ^ [CF [Е][С] d (vol)J [В]".
Очевидно, полученное выражение слишком сложно для задания явного представления.
Изложенная подробно в [10.6] процедура построения матрицы жесткости для рассматриваемого элемента существенно отличается от приведенной выше. В указанной работе приводятся в виде таб лиц матрицы жесткости в обобщенных координатах и матрицы преобразования обобщенных координат в узловые. Знание яв ных выражений для «основной» матрицы жесткости, как показано
вразд. 8 .2 , где строится матрица жесткости, соответствующая обоб щенным смещениям {а}, позволяет построить целое семейство мат риц жесткости тетраэдральных элементов для полей перемещений
ввиде полных кубических полиномов обобщенных параметров.'
Развивались и другие подходы к построению матрицы жест кости элемента Т48. Так, в [10.1] вначале строится полный (двадца тиэлементный) кубический полином в объемных координатах, а далее в предположении, что перемещения меняются по квадратич ному закону вдоль граней элемента, число членов доводится до 16. Для определения элементов в криволинейных координатах исполь зуются также различные метрики. В [10.2] полный квадратичный полином в объемных координатах (10 членов) дополнен шестью чле нами, взятыми из кубического разложения.
10.3. Прямоугольные шестигранные элементы
10.3.1. Общие замечания
На рис. 10.5 изображено базисное семейство прямоугольных шести гранных элементов, степени свободы которых представляют собой лишь трансляционные перемещения. Это семейство называется лагранжевым, так как поля перемещений, на основе которых они строятся, задаются с помощью лагранжевой интерполяции, опи санной в п. 8.3.1. Простейший элемент из этого семейства изображен на рис. 10.5 (а) и строится на основе линейных полей перемещений,
полностью определяемых степенями свободы в восьми вершинах. Обобщение на квадратичные и кубичные поля перемещений при водит, как показано соответственно на рис. 10.5(b) и (с), к появле нию внутренних узлов. Указанные внутренние узлы можно исклю чить из рассмотрения с помощью стандартной процедуры конденса-
Рис. 10.5. Лагранжево семейство шестигранных элементов (внутренние узлы не изображены): (а) линейный: 8 узлов, 24 степени свободы; (Ь) квадратичный: 27 уз лов, 81 степень свободы; (с) кубический: 64 узла, 192 степени свободы.
ции (см. разд. 2.8). Кроме того, с помощью описанного в разд. 8.7 приема, преобразуя лагранжевы интерполяционные функции, можно построить функции формы, которые записываются только в терминах внешних узлов.
Используя интерполяцию Эрмита (п. 8.3.2), можно также по строить прямоугольный шестигранный элемент со степенями сво боды в виде значений производных в вершинах элемента. Для по строения базисного элемента из этого семейства необходимо зада ние кубических полей перемещений, причем общее число степеней свободы для элемента достигает 192.
Хотя построение прямоугольных шестигранных элементов все более высокого порядка с любым типом степеней свободы теорети чески возможно, все же на практике ограничиваются лишь несколь кими основными видами. Характеристики этих элементов сведены в табл. 10.2 [10.3]. Из представленных в таблице элементов обсу дим подробно задание полей перемещений лишь для случаев а, b и с, так как именно эти элементы используются в рассматриваемых ниже тестовых численных экспериментах и широко применяются на практике. Описание полей перемещений для случаев d u e мож но найти соответственно в [10.7] и [10.8].
10.3.2. Прямоугольный шестигранник с линейным полем перемещений
В дальнейших построениях удобно поместить начало координат в центре элемента и выразить все координаты в безразмерном виде, причем указанные координаты Е-, г| и £ задаются согласно методике разд. 8.7 (см. рис. 10.5(b)). Аналогично случаю плоских элементов, описанному в разд. 8.4, для полей перемещений при интерполяции
Более сложное представление с 32 узлами дается в табл. 10.2 в графе с. Здесь функции формы в вершинах имеют вид (с началом координат в центре)
^ г= 7 в4(1+ ^ 0 (1 + Л Л 0 (1 + ^ г)[9(9а+Ла+ £ а-19)], (10.19)
а для типичных узлов, лежащих на ребрах в точках Si—ibVa» *1*= = 4:1» £i~ it 1 » имеем
Л^=9/в4(1 -5 а) (1+9т (1 +лтЫ (1 + B i). |
(10.20) |
Процедура преобразования выписанных полей перемещений в матрицы жесткости элементов совпадает с процедурой для шести гранника с линейным полем перемещений.
10.4.Сравнение численных результатов
В[10.1, 10.3, 10.4, 10.9] были проведены исследования относитель ной точности и эффективности некоторых тетраэдральных и-шести гранных элементов, описанные в п. 10.3.1 и 10.3.2. На рис. 10.6 изображена задача, рассматриваемая в [10.4] в качестве тестовой
Точки, свободно перемещающиеся
Рис. 10.6. Консольная балка, используемая для изучения точности решений (из [10.4]) (размеры даны в дюймах).
для сравнения точности получаемых решений. Конструкция пред ставляет собой консольную балку, к которой на конце приложен момент. Балка разбивается на 42 прямоугольных шестигранных элемента. Часть решений получена с помощью шестигранных эле ментов, образованных в результате объединения тетраэдральных элементов, например, как показано на рис. 10.4. Изучаемые эле менты включают тетраэдры, построенные на линейных и квадратич ных полях перемещений, что соответствует графам ап Ьв табл. 10.1 , а также прямоугольным шестигранным элементам, построенным на линейных полях перемещений (10.16) — (10.18) (графа b в табл.
Рис. 10.8. Результаты исследование! |
ВЬ!числителыюй |
^ |
консольных балок (из Ц0.4]). (а) гия, |
эффективности при расчете |
|
соль (см рис. 10.7(b). 0 6 o 3 „ U U |
H „ !!!^ )b.S o B PoHflC'^ е с т й ^ н ^ Г - 3 - - |
|
шестигранник с линейным полем перемещений; (« . п) |
- размерность сетки. |
|
гранного элемента по сравнению с составленными из тетраэдраль ных элементов согласно рис. 10.4. Для подтверждения этого вы сказывания требуется еще большее количество численных экспери ментов. Различия в деталях при формулировке элементов, искус ство программирования и вид электронно-вычислительных устройств влияют на получаемые разными исследователями выводы. Поэтому при анализе трехмерных конструкций проектировщики отда ют предпочтение тетраэдральным элементам. Интересную сводку результатов практического применения указанных элементов мож но найти в [10.1 1 ].