Метод конечных элементов. Основы

и в серединах сторон (точки 4, 5, 6), то соответствующее разложение для Фы и Ф*' имеет вид [12.41]

Теперь, чтобы построить матрицу податливости элемента, необхо­ димо выполнить операции, соответствующие (12.19) — (12.23).

Очевидные преимущества применения подхода к анализу из­ гиба пластин снижаются в значительной степени трудностью зада­ ния нагрузок. Следует напомнить, что интеграл по границе в выра­ жении для дополнительной энергии зависит от задаваемых переме­ щений, которые обычно полагаются равными нулю. Граничные ус­ ловия на нагруженной поверхности должны учитываться особым образом, обычно посредством наложения уравнений связи. Подсчет перемещений также представляет определенные трудности. Эти и некоторые другие аспекты практического использования данного подхода описаны в [12.23] и [12.40—12.42].

На рис. 12.12 даны результаты расчета свободно опертой квад­ ратной пластины, в центре которой приложена сосредоточенная сила; расчет основан на линейных полях (12.44). Для сравнения приведены численные результаты для межэлементно согласован­ ных формулировок для перемещений, полученных на базе метода разбиения на подобласти с использованием девятичленного поли­ нома в каждой подобласти [12.381. Результаты, как и следовало ожидать, подтверждают, что решения, полученные с помощью аль­ тернативной формулировки, основанной на принципе минимума дополнительной энергии, сходятся к точному решению снизу и обеспечивают достаточную точность.

Рис. 12.13. Треугольный изгибаемый элемент для смешанной (11н ) формулировки —

линейное поле перемещений и постоянное иоле моментов.

12.3.6. Смешанные поля перемещений и напряжений

Модифицированная форма вариационного принципа Рейсснера, заданная формулами (12.24)—(12.27), представляет характерную формулировку, основанную на смешанных полях перемещений и напряжений для изгибаемых пластинчатых элементов, и подробно описывается ниже для случая простейшего треугольного элемента (рис. 12.13). Предположим, что прогибы описываются линейным полем, а компоненты внутренних изгибающих моментов являются константами. Тогда

где Nu Л^2, N 3 — функции формы, введенные в (12.44). Кроме того, 9Jl*=ai, Я)1у= а 2, 9Лх*/= Яз, где аи а2 и а3 — константы. Чтобы выразить эти константы через физические параметры, определим нормальные изгибающие моменты М 4, Мъ и Мл в серединах сторон. Оценив изгибающие моменты М х, Му, М ху и разрешив относитель­

Углы ф4, ср6, фб определяются согласно рис. 12.13. Необходимо также получить выражение для тангенциальных моментов Ш3= = L ЗН,, 9R* J т как функций от {М}. Для этого можно сначала записать 9И8 как функцию от 9Я в виде 9И8= [Г 8]$Ш, где

[Qi2] = lii2ilT и [Йц], которые в свою очередь построены с использо­ ванием матриц [N^], [N J, ПМД [N^J, [Ll и [Y], где штрихом обо­ значена операция дифференцирования базисных матриц [Nm] и [N J в соответствии с определением, данным в п. 12.1.4. Кроме того, матрица [Y] получается в результате аналогично определенных операций дифференцирования поля перемещений. Так как [Nm] — матрица, элементы которой являются константами, то [N,'„1 = 101

и, согласно (12.24Ь), имеем

[0ц] = S [N«]T [N«] d A j ,

[Q12] = [Q21]I = - S [L]'[Y]<tsl.

Sn J

Интересно отметить, что численные результаты, полученные с использованием изложенных выше формулировок, совпадают С ре­

рис. 12.14. Сравнение численных результатов: смешанные и гибридные треуголь­ ные элементы. 1 — смешанная формулировка [12.6], линейное w, постоянный М ;

2 — смешанная формулировка [12.45], квадратичное w, линейный М ; 3 — гиб­ ридная формулировка для предполагаемых полей напряжений [12.48], линейное w, постоянный М .

зультатами, полученными с использованием матрицы жесткости, построенной на основе полного квадратичного поля перемещений [12.27] [ем. рис. 12.8(b) и уравнение (12.33) из п. 12.3.1]. Это можно было предвидеть, рассматривая совокупность степеней свободы,

так как схема, изображенная на рис. 12.13, совпадает с приведен­ ной на рис. 12.8(b), поскольку нормальные изгибающие моменты (М4, М5, М6) в первой схеме соответствуют угловым смещениям (04, 05, 0.) в последней. Тождественность можно доказать, проводя алгебраические выкладки. Для полностью внутреннего элемента (ок­

руженного элементами того же типа) {А }=0. Поэтому, как и в разд. 6.7, выражая из верхней части уравнения (12.27) {М} через {А}

иподставляя в нижнюю часть этого уравнения, получим [к]{А}=

={М}, где

[к| = [й12|т [Q „|-1 [Й12].

Детальное изучение соответствия этих двух формулировок можно найти в [12.43] и [12.44].

Можно, разумеется, использовать представления более высокого порядка как для полей изгибающих моментов, так и для полей перемещений. Логическим обобщением [12.45] является выбор ли­ нейно распределенных моментов и квадратично изменяющихся пере­ мещений. Широкий диапазон альтернативных полей изгибающих моментов и перемещений можно найти в [12.22].

Гибридные схемы приводят к совершенно другому классу сме­ шанных формулировок в напряжениях и перемещениях для треу­ гольных изгибаемых элементов. Как и при расчете задач растяже­ ния пластин, гибридный подход в напряжениях, описанный в разд. 6.6, применяется наиболее часто. В работах [12.43] и [12.46^-12.48] довольно интенсивно исследуются различные комбинации внутрен­ них изгибающих моментов и граничных полей перемещений.

На рис. 12.14 приведены численные результаты для различных типов смешанных формулировок. Пн-формулировка, основанная на рассмотрении постоянных моментов и линейно изменяющихся пере­ мещений, как уже было отмечено, приводит к результатам, идентич­ ным тем, которые уже были представлены на рис. 12.9 для жесткостной формулировки с шестичленным (квадратичным) полино­ мом. Смешанная формулировка, основанная на представлении более высокого порядка [12.45] (линейно изменяющиеся моменты, квадра­ тичные перемещения), существенно повышает точность решения. Заметим, однако, что в этом случае для каждого элемента требует­ ся вдвое больше узлов (шесть, а не три). Этот факт не нашел отра­ жения на горизонтальной оси рис. 12.14. Наконец, как видно из графика, гибридная формулировка в напряжениях [12.48] с полями, сравнимыми с используемыми в простейшей Пн-формулировке, приводит к решениям, лежащим по другую сторону от точного ре­ шения и намного более точным для заданного размера разбиения. Тем не менее приходится вновь предупредить, что при определении относительных преимуществ той или иной формулировки необхо­ димо учитывать много других факторов.

Вклад деформаций сдвига в энергию деформации равен

L

Т§(Г*г)г As Gdx.

О

Поэтому с учетом выражения для сдвиговой деформации уху полная энергия деформации запишется в виде

Теперь, если поперечное смещение w описывается обычным обра­ зом с помощью кубического полинома (см. (5.14а)), то можно запи­ сать данный интеграл для энергии деформации в дискретном виде и, минимизируя энергию деформации, получить матрицу жесткости элемента. Типичный член этой матрицы kxu который связывает Fz и wlt имеет вид

Это выражение, вообще говоря, некорректно по причинам, выска­ занным ранее.

Простой подход к формулировке корректной матрицы жесткости элемента [12.50] состоит в том, что сначала строят матрицу подат­ ливости, учитывающую сдвиговые деформации. Так, если элемент консольно закреплен в точке 2, то смещение в точке 1, вызванное

Применяя методику, описанную в разд. 2.6, на основе этих урав­ нений строят матрицу жесткости. Тогда корректное выражение для коэффициента жесткости имеет вид

Из сказанного можно сделать общий вывод, что учитывать эффекты, связанные с деформацией сдвига для балочных, пластин­ чатых и оболочечных элементов, можно тогда, когда они формули­ руются непосредственно в терминах соотношений податливости (подход на основе принципа минимума дополнительной работы)

или в виде смешанных соотношений, получаемых из функционалов, в которые входит дополнительная энергия деформации (например, из функционала Рейсснера (12.24)).

Ранее подчеркивалось, что на практике в основном используют подходы, основанные на принципе минимума потенциальной энер­ гии (предполагаемые перемещения). Имеется все же возможность использовать эти подходы при формулировке уравнений жесткости с учетом поперечных сдвиговых деформаций для балок, пластин

иоболочек путем простой аппроксимации, в которой суммируются результаты, полученные по отдельности при анализе чистого изгиба

ичистого сдвига. Чтобы описать этот подход, изучим элемент 1—2, изображенный на рис. 12.16, являющийся частью всей балочной конструкции. Из рисунка видно, что поперечная сдвиговая дефор­ мация равна VX2= (^ 2—ДО?)/£, где верхним индексом s отмечено, что соответствующие перемещения обусловлены лишь деформациями

сдвига. Кроме того, так как y x ^ i i l + i ^ F J A s E , то

Это — уравнение жесткости для элемента. Аналогично можно по­ строить уравнение жесткости для оставшейся поперечной перере­ зывающей силы F 2. Объединяя эти уравнения жесткости обычным

Рис. 12.16. Смещение в виде чистого сдвига для балочного элемента, (а) Целая балка; (Ь) характер смещения для элемента 1—2.

способом, принятым в прямом жесткостном анализе, можно постро­ ить глобальные уравнения жесткости для перерезывающих сил. Обозначим их через

{Р}=[кЧ{Д5}. (12.46)

Разрешая эти уравнения, получим

{A'}=[k*l-i{P}. (12.47)

Обозначая глобальную матрицу жесткости, соответствующую чис­ тому изгибу через [кЧ, а соответствующие перемещения — через {/У}, также получим

{Д/}=[к/]-1{Р}. (12.48)

Аппроксимация полных перемещений представляется в виде суммы сдвиговых и изгибных перемещений:

{Д}={Д*}+{Д/}. (12.49)

Чтобы применить выписанную выше схему для пластин или из­ гибаемых оболочечных конструкций, необходимо аналитически представить конструкцию в виде системы фиктивных балочных элементов с учетом сдвиговых деформаций. Если эта аппроксимация неадекватна, то можно использовать теорию пластин, которая учи­ тывает поперечные деформации сдвига. Существует ряд таких тео­ рий [12.51—12.53], и большинство из них использовалось в конечно­ элементном анализе [12.54—12.57]. Однако, вероятно, что если уп­ рощенный подход неадекватен, то и теории пластин, учитывающие деформации поперечного сдвига, будут также неадекватными. В этом случае имеет смысл применить трехмерный анализ и пространствен­ ные элементы. Мы снова вернемся к рассмотрению этого вопроса

вразд. 12.6.

12.5.Исключение ограничения на деформации поперечного сдвига (дискретная процедура, основанная на

гипотезе Кирхгофа) [12.58]

Как отмечалось, исключение деформаций поперечного сдвига при анализе изгибаемых балок и пластин осуществляется введением условия, соответствующего гипотезе Кирхгофа. Можно построить выражение для энергии деформации, не привлекая этого предполо­ жения. В этом случае можно добавить выражение для энергии сдвиговых деформаций и использовать полученное таким образом выражение для энергии при формулировке матрицы жесткости элемента.

Чтобы проиллюстрировать эту методику, вновь рассмотрим балочный элемент. Хотя условие, заключающееся в равенстве уг­ лового смещения 0 наклону (отрицательному) нейтральной оси, исключено, условие, что плоское в недеформированном состоянии сечение остается плоским и после деформации, сохраняется. Таким образом, основной величиной, описывающей деформацию изгиба, является угол 0, причем кривизна K=dQ/dx.

Полный наклон нейтральной оси dw/dx в этом случае обусловлен двумя факторами: угловым смещением и наклоном, вызванным деформацией сдвига. Сохраняя упрощающие предположения о дей­

ствии перерезывающих сил лишь на площади A s и соответствующем ему состоянии однородного сдвига ухг, получим —dw/dx=Q+yXz, или

Энергия деформации определяется теперь двумя независимыми величинами 0 и w. Поэтому выпишем выражение для энергии в диск­ ретном виде, выбирая два независимых поля:

где L N ^J и |_ NHJ — соответствующие векторы функции формы, a {w} и {0} — соответствующие степени свободы. Подставляя дан­ ные выражения в (12.51), получим

Важно помнить, что выписанные выше выражения для энергии содержат лишь первые производные от независимых переменных. Это означает, что выбранные функции не обязательно должны удов­ летворять условию непрерывности наклона при переходе через гра­ ницы элемента. Это обусловливает подход к анализу изгиба тонких пластин, в котором в качестве основной переменной используется угловое смещение. При этом энергия сдвиговой деформации, опре­ деляемая соответствующими членами в выражении энергии, мала и не оказывает существенного влияния при вычислении прогибов.