Метод конечных элементов. Основы

Желательный вид треугольного пластинчатого элемента при изгибе показан на рис. 12.8(a). Этому элементу отвечают сила в направлении г и по два изгибающих момента в каждой вершине. Узлы внутри элемента и на его границах между вершинами отсутст­ вуют. Он характеризуется девятью степенями свободы и поэтому требует девятичленного разложения для w. Однако из рассмотре-

Рис. 12.8. Конечно-элементное представление треугольными элементами с един­ ственным полем, (а) Треугольник с девятью степенями свободы (если задано до4, то число степеней свободы равно 10: w = a l+ a 2x-\~. . .+ДюУ3);(Ь) треугольник с шестью степенями свободы (до=а1+ а 2* + . - + а д 2); (с) треугольник с двадцатью одной степенью свободы (ш =а1+ я 2* + -

ния треугольника Паскаля следует, что полный полином содержит либо 6 членов (квадратичный), либо 10 членов (кубический). Чтобы получить девятичленное разложение, можно объединить пару чле­ нов [например, а9 (х+у)ху]л однако можно убедиться, что для неко­ торых форм элемента преобразование от обобщенных степеней сво­ боды к узловым становится вырожденным. Поэтому выбор 9 членов не может быть осуществлен с помощью полиномиальных разложе­ ний, которые для заданного порядка полны.

Если невзирая на полноту выбирается полином с 9 членами, то нарушаются условия «геометрической изотропии». Например, мож­

но выбросить член ху2 или х2у. Построенные таким образом элемен­ ты некоторое время использовались и встречались в различных широко распространенных программах; однако точность получен­ ных решений была неудовлетворительна. Ниже перечислены более удовлетворительные возможные формулировки на основе единст­ венного поля:

1. Можно определить элемент лишь с 6 степенями свободы (см. рис. 12.8(b)) и полной квадратичной функцией, задающей w. При этой формулировке будут нарушаться требования межэлементной непрерывности перемещений.

2.Можно выбрать полный кубический полином с 10 степенями свободы, причем 10-я степень свободы задана во внутренней точке (см. рис. 12.8(a)). При этой формулировке также нарушаются усло­ вия межэлементной непрерывности перемещений.

3.Число степеней свободы можно увеличить до тех пор, пока не будет достигнуто соответствие с полным полиномом, который удов­ летворяет условиям межэлементной непрерывности. Можно по­ казать, что для этого требуется введение полного полинома 5-й степени (см. рис. 12.8(c)).

4.Межэлементно непрерывное поле перемещений, отвечающее изображенному на рис. 12.8(a) с 9 степенями свободы, можно по­ строить в терминах треугольных координат посредством суперпози­ ции соответствующей системы функций формы [12.25]. Существенно улучшенный вариант формулировки этого типа приводится в [12.26].

Далее подробнее рассмотрим формулировки из п. 1, 2 и 3. За подробностями, касающимися формулировок из п. 4, заинтересо­ ванные читатели могут обратиться к работам [12.25, 12.26]; некото­ рые аспекты этого подхода будут затронуты при обсуждении в этом разделе числовых результатов.

Конечно-элементное представление поля перемещений с шестью степенями свободы изображено на рис. 12.8(b). Поле прогибов опи­

Кроме того, узловые перемещения определяются как значения про­ гибов в вершинах элемента (точки 1, 2 и 3) и нормальные угловые смещения в серединах сторон (точки 4, 5 и 6). Поэтому

ния (12.33), получим систему уравнений {Д}=[В]{а} типа (12.13), где {а }= L ai- -ая_1т Основная матрица жесткости строится на основе представления (12.33) (см. (6.18)) и далее преобразуется к матрице, отвечающей физическим степеням свободы, путем исполь­ зования матрицы [В ]'1 как матрицы преобразования.

Хотя при этой формулировке нарушаются условия межэлемент­ ной непрерывности перемещений, все условия равновесия выполне­ ны. Поле моментов удовлетворяет условиям равновесия внутри эле­ мента и на границе смежных элементов [12.27].

Для построения матрицы жесткости элемента на базе полного кубического полинома можно применить обобщенный подход с ис­ пользованием потенциальной энергии [12.28]. Элемент показан на рис. 12.8(a). В этом случае в каждой из трех вершин задаются зна­ чения w и угловые смещения 0* и 0У, а в качестве 10-й степени сво­ боды выбирается прогиб в центре. Имеем для вектора степеней свободы

Матрица жесткости элемента строится непосредственно путем дифференцирования (12.35) в соответствии с >с=[DI{А}. Затем из (12.11) получаем коэффициенты жесткости элемента.

Для выписанного поля нарушаются условия межэлементной согласованности. При переходе через границу элемента компонента w непрерывна, а нормальные угловые смещения 0П разрывны. Это смещение меняется по квадратичному закону вдоль каждой сторо­ ны, что приводит к необходимости использования трех параметров для однозначного задания смещения, однако в наличии имеются только два параметра (0П на концах отрезка). Оставшиеся четыре параметра в этих точках введены для однозначного определения w.

Чтобы разрешить эту ситуацию, можно выписать уравнение, задающее непрерывность нормальной производной в серединах сто­

ветственно через 0;/ и 0,f. Условие непрерывности угловых смеще­

Можно использовать это условие для задания уравнения связи. Дифференцируя сначала по п поля перемещений соседних элемен­ тов (12.35), приходим к формулам Qfi=dwA/dn, 0^=да/7дп, кото­ рые затем подставим в (12.36). Полученные таким образом уравнения связи можно использовать при глобальном анализе путем непосред­ ственной подстановки либо с помощью метода множителей Лагран­ жа, как описано соответственно в разд. 3.5 и 7.4.

Другой способ построения межэлементных условий связи за­ ключается в этом случае в приравнивании нулю интеграла от вы­ ражения, задающего разность между угловыми смещениями сосед­ них элементов (см. разд. 7.4 и [12.29]). Еще одним обобщенным ва­ риационным подходом является подход [12.17], в котором строится «корректирующая» матрица жесткости элемента, которая добавля­ ется к основной (межэлементно несогласованной) матрице жест­ кости элемента. Последняя выводится путем рассмотрения интегра­ ла по границе элемента, куда подставлена простая межэлементно согласованная функция.

Следующее более тонкое представление дается полным пятнад­ цатичленным полиномом 4-й степени. В работе [12.30] на основе этой функции сформулирован треугольный элемент. Набор степеней свободы включает обычные 3 степени свободы в каждом из узлов, а также прогиб и производные по нормали в серединах каждой стороны. Межэлементная согласованность нарушается из-за недо­ статочного числа параметров, имеющихся для однозначного зада­ ния производных по нормали на каждой из сторон. В работе [12.31] также исследован вопрос построения элемента на базе полинома 4-й степени, но с восемнадцатью членами.

Переходя к рассмотрению полного полинома 5-й степени, за­ метим, что, согласно треугольнику Паскаля, он включает 21 член. Полностью удовлетворить условиям межэлементной непрерывности можно, определив степени свободы, как показано на рис. 12.8(c). В этом элементе задаются по шесть степеней свободы в каждом уз­ ле — линейное и угловые смещения и три кривизны, а также угло­ вые смещения в середине каждой из сторон. Число степеней свободы можно довести до 18 путем исключения угловых смещений в сере­ динах сторон [12.33—12.35], задавая кубический характер измене­ ния производных вдоль сторон.

Строились также элементы еще более высокого порядка с един­ ственным полем, сохраняющие межэлементную непрерывность (см., например, [12.32, 12.36, 12.37]). Построение таких элементов про­ водилось на основе полных полиномов 6-й степени (28 членов) и 7-й степени (36 членов) с введением в узлах элемента специальных сте­ пеней свободы (производных более высокого порядка).

Это происходит потому, что решение полностью согласуется с усло­ виями равновесия. Результат довольно неточен для заданных зна­ чений параметров сетки, хотя, с другой стороны, матрица жесткос­ ти элемента имеет довольно простой вид. Действительно, можно в явном виде выписать эту матрицу жесткости без значительных уси­ лий.

Численные результаты для элемента, основанного на полном кубическом полиноме, относятся лишь к случаю задания ограниче­ ний, обеспечивающих сохранение непрерывности угловых переме­ щений при переходе через границу элемента. Результаты, получен­ ные без задания ограничений, настолько неточны, что соответствую­ щие им графики не поместились в представленном на рисунке диа­ пазоне изменения величин. Как можно ожидать, решения, полу­ ченные либо путем наложения соответствующих ограничений на каждой границе между соседними элементами 112.28], либо путем введения «корректирующей» матрицы жесткости с использованием обобщенного вариационного принципа [12.171, очень близки.

Однако здесь все же приведены результаты, полученные с по­ мощью элементов, основанных на кубических функциях формы, вы­ раженных в терминах треугольных координат (12.35), откуда ис­ ключен член, содержащий LIL 2L я (т. е. формулировка, построенная Бейзли и др.) [12.25]. Принимая во внимание простоту этого эле­ мента, можно заключить, что полученные численные результаты превосходные. Тем не менее следует отметить, что точность получае­ мых результатов зависит от геометрии конечно-элементной сетки [12.25].

Результаты для формулировок, основанных на полных полино­ мах 5-й степени (21 член), очень точны. Результаты для случая, когда узлы в серединах сторон исключены перед проведением рас­ четов, не приведены, потому что они отличаются незначительно. Затраты на формулировку этих элементов вполне существенны, и вновь следует упомянуть, что «торговля» между затратами на по­ строение элемента и размерами сетки, не представленная на рис. 12.9, должна учитываться при любых практических обстоятельст­ вах.

12.3.3. Формулировки с использованием предполагаемых перемещений. Метод разбиения на подобласти

Работа [12.38] послужила толчком к построению матриц жесткости треугольных элементов для расчета изгиба пластин на базе метода разбиения на подобласти, в котором элемент разбивается на треу­ гольные подэлементы. Эти авторы использовали неполный (девя­ тичленный) кубический полином в каждом из трех подэлементов, выбирая систему координат в каждом подэлементе так, чтобы не возникли трудности из-за отсутствия геометрической изотропии, и в том виде, чтобы обеспечить квадратичный характер изменения

Определяя эти перемещения в узловых точках с помощью (12.37), имеем

где 0Л1, 0„би 0Лв — угловые смещения, нормальные к стороне эле­ мента в точ'ках 4, 5, 6. Используя процедуру конденсации (см. разд. 2.8), получим

необходимо построить матрицу жесткости, выраженную в терминах

соответствующим физическим координатам.

По-видимому, простейшей формулировкой в методе разбиения на подобласти для треугольных элементов является СРТ-элемент, реализованный в программе STRUDL-II [12.39]. Как изображено на рис. 12.10(b), этот элемент состоит из двух треугольников. Пред­ полагается, что перемещения в областях а и b задаются кубически­ ми разложениями. Чтобы обеспечить непрерывность нормальных производных вдоль стороны 1—2, для которой dw/dn=dw/dy, ис­ ключают члены, содержащие х2у . (Если эти члены сохранить, то нормальная производная будет квадратичной функцией от х.) Кроме того, чтобы обеспечить непрерывность w и нормальных про­ изводных dw/dn=dw/dx на границе областей а и Ьл можно прирав­ нять в соответствующих разложениях свободные члены и коэффи­ циенты, стоящие перед линейными выражениями, содержащими величину у в произвольной степени. Так, для разложений в соот­ ветствующих областях имеем