Метод конечных элементов. Основы
.pdfдля случая плоского напряженного состояния; имеем
Ф°=|_1Ч_|{ФВ}, Ot'= L N J {Ф17}, |
(12.20) |
где {Ф“} и{Ф”} включают вычисленные в узлах-соединениях зна чения Ф“иФ” (и возможно, их производные по х и у). После диф ференцирования, согласно (12.18), получим
ф'=[°]{ф1}=[°]{фЬ <i2-2i>
За исключением отдельных констант, матрица [D1 совпадает с мат рицей преобразования от деформаций к перемещениям для плоскогс напряженного состояния (см. (5.6Ь)). Тогда путем подстановки в первый интеграл из (12.18) имеем
|
= |
(12.22) |
|
А |
|
где |
[4 = [S [D ]T[E/]_1[ D ] ^ j . |
(12.23) |
Сравнивая полученное выражение G (9.7), видим, что матрица по датливости [f] при изгибе, соответствующая функциям напряжений, совпадает с общим видом матрицы жесткости для плоско-напряжен ного состояния. (Толщина t включена в [Е^]-1.)
12.1.4. Функционал Рейсснера
Функционал Рейсснера для общей трехмерной теории упругости был представлен в разд. 6.8 . Как и в случае функционалов потен циальной и дополнительной энергий, можно получить вид функцио нала Рейсснера для изгиба, опираясь на полученные ранее резуль таты, если использовать аналогию между напряжениями и изги бающими моментами, а также между деформациями и кривизнами. Функционал для изгиба пластин, аналогичный (6.81), имеет вид
IlR= \ m n d A — U* + V + V , |
(12.24) |
А |
|
где U* к V определены согласно (12.14) и (12.18). Так как ожида ется, что выбранное поле перемещений w не будет соответствовать
заданным перемещениям w, необходимо представить выражения от перемещений в V* (см. 12.15)) через (w—w), (dw/dn—dw/dri) и
(dw/ds—dw/ds).
Формула (12.24) не накладывает каких-либо требований к не прерывности ОТ. Однако в силу наличия вторых производных от носительно к необходимо, чтобы поперечные перемещения и их
12.2.Прямоугольные элементы
12.2.1.Предполагаемые модели перемещений — единственное поле
Существуют два общих подхода к формулировке матриц жесткости для изгибающих пластин, основанные на предполагаемых полях перемещений. В одном, называемом п о д х о д о м с е д и н с т в е н н ы м п о л е м , функциональное представление перемещений занимает всю поверх ность элемента. В другом подходе — элемент разбивается на под области и в каждой из них делается независимое предположение относительно соответствующих полей перемещений. Указанные подходы при определенных условиях приводят к одной и той же матрице жесткости. В данной главе исследуются альтернативные варианты представления прямоугольных элементов единственным полем. Аналогичные вопросы рассмотрим в п. 12.3.1 и 12.3.2 для треугольных элементов.
При первом рассмотрении прямоугольного изгибаемого пластин чатого элемента (см. рис. 12.3) может показаться, что для задания функции прогибов w подойдет простое обобщение функции 'Проги бов для балки (5.14а). Вспомним, что эта функция обеспечивает непрерывность как w , так и угловых смещений 0 при переходе через узлы, соединяющие элементы. Условия межэлементной непрерыв ности перемещений для прямоугольного элемента выполняются, если зададим поле поперечных смещений на основе балочных функ
ций в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
W |
) |
|
|
L L N« J |
LNe* J LNe^J J |
= LNJ{A}, |
(12.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. w |
|
|
где {Д} задается согласно (12.10) и |
|
|
|||||||
L N . J = |
L |
W • N |
i ( У )J [ N s (*) • N t |
(*/)] x |
(*)-Wt (</)]J. |
||||
L N% J = |
L [ N |
|
|
t ((/)][ N i |
|
|
i (</)]x |
||
, W - N |
( x ) - N |
|
|
||||||
L Ne, J = |
L [ N |
i (*) ■N |
х [ л и * ) .л М 0 ] [ л М * ) .л М Ш ,( |
c) |
|||||
3 (.у )] [ N t |
( x ) - N |
3 ( y ) ] x |
|
|
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
X [ N 2 ( x ) ■N t ( y ) ] [ N t ( x ) - N t ( y ) ] J . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nt (x) = (l +213— 2£a), |
Ni (*/) = |
(> + 2 rf—3rf) |
|
|||||
|
N 2 (X ) = ( 3 ? - 2 V ) , |
|
|
( y ) = (3i|2 —2ri3), |
|
||||
|
N 3 (*) = - * ( £ - 1 ) ? , |
|
N3(y)= y(4— l)2 |
|
|||||
|
N,(x) = — x ( ¥ — l), |
|
N, (y) = |
y( na—11) |
|
||||
где % = х / х 2 и ц |
= у / у з - |
Н а з о в е м |
э т о |
п о л е б а л о ч н о й ф у н к ц и е й |
п о п е р е ч |
||||
н ы х с м е щ е н и й . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, рассматривая рис. 12.4, что двенадцатичленная функ ция не является полным полиномом в смысле, определенном в разд. 8.1. Функция полна вплоть до третьего порядка (10 членов), и необходимо выбрать еще 2 члена из пяти, отвечающих четвертому порядку. Слагаемое х2у 2 можно не рассматривать, так как для него нет логической пары из оставшихся. Члены х4 и г/4 приведут к квад ратичным вариациям перемещений вдоль границ элемента и к
|
|
«1 |
|
|
|
|
а2х |
а3у |
|
|
а4х2 |
asxy |
а6у2 |
|
|
о7х3 |
а8х2у |
а9ху2 |
а10уг |
«и* |
«12XяУ |
«13х2у 2 |
«14*г |
«15> |
al6xs |
|
|
|
a2ly s |
Рис. 12.4. Двенадцатичленный полином, согласующийся с треугольником Паскаля.
более серьезным разрывам непрерывности перемещений вдоль меж элементных границ, нежели члены хъу и xyz. Поэтому выберем по следние. Интересно отметить, что указанный выбор позволяет удов летворить определяющему дифференциальному уравнению (12.6а) на свободных от нагрузок областях пластины; следует, однако, еще раз отметить, что для стационарности аппроксимации потенци альной энергии удовлетворение этому условию не требуется.
Интересны и другие свойства этой функции. Она включает чле ны, задающие движение тела как твердого целого и однородную де формацию, причем исследование показывает, что прогибы оказы ваются межэлементно согласованными. Однако угловые перемеще ния не удовлетворяют этим условиям.
Чтобы подтвердить эти высказывания, необходимо лишь оце нить полиномиальное представление (рис. 12.4) вдоль типичной границы элемента. Выбирая с этой целью сторону 1—2 (вдоль оси х), имеем
где w и dw/дх определяют изгиб в направлении х. Кроме того, за метим, что разложение для w представляет собой кубический поли ном. Из опыта с изгибом балки ясно, что заданные на концах четыре степени свободы (wu w2, 0f/t, 0/Уа) из общего числа степеней свободы полностью определяют вариацию w и dw/dx вдоль этой границы. Од нако наклон нормали dw/dy описывается кубической функцией, и, так как для определения этой функции остались всего лишь две степени свободы 0Xt и 0Ла, то она определяется неоднозначно. Поэ тому решение, полученное с использованием элементов указанного типа, не будет доставлять минимум потенциальной энергии. С дру гой стороны, имеются теоретические обоснования сходимости реше ния для этого типа элементов (см., например, [12.13]). Матрица жесткости элемента, отвечающая этой функции, задана в табл. 12.1 (см. стр. 389—391).
Исследуя изображенный на рис. 12.4 треугольник Паскаля, можно выбрать различные альтернативные представления. Сущест вуют также соответствующие альтернативы при построении полей перемещений с использованием функций формы. В работе [12.91 приводится ряд функций формы для представлений с двенадцатью степенями свободы. В [12.10] и [12.11] обсуждаются альтернатив ные степенные поля перемещений с 16 степенями свободы, в [12.8, 12.12] и др. формируются прямоугольные элементы для пластин
сболее чем 16 степенями свободы.
12.2.2.Предполагаемые модели перемещения — метод подобластей
Альтернативные построения, основанные на предполагаемых полях перемещений, можно осуществить, разбивая четырехугольный эле мент на четыре треугольных элемента и задавая независимо поля перемещений в каждом из треугольников. Далее треугольные эле менты объединяют, чтобы получить четырехугольный элемент по средством задания условий непрерывности перемещений вдоль «внутренних» границ, определяемых разбиением на подобласти.
В работе [12.14] предложен этот подход при формулировке меж элементно согласованного элемента с 16 степенями свободы. Внутри каждого треугольника выбирается полное кубическое (10 членов) полиномиальное представление поля перемещений. Традиционное задание трех степеней свободы (перемещение и два вращения) в углах дополняется заданием вдоль каждой стороны одной степени свободы в виде углового перемещения.
Аналогичный подход был предложен в работе [12.15], где на основе принципа минимума потенциальной энергии построен четы рехугольный элемент путем соответствующего объединения четы рех треугольных элементов. Здесь треугольные элементы сами стро ятся посредством разбиения элемента на три треугольные подоб ласти (формулировка этих треугольников описывается в п. 12.3.2).
Следует отметить, что, прежде чем составлять из треугольников четырехугольный элемент, стороны которого становятся внешними границами, задаются условия, обеспечивающие исключение степе ней свободы в серединах указанных сторон. Таким образом, в окончательном варианте четырехугольный элемент имеет всего 12 степеней свободы (по три в каждом углу). Условия внутренней и межэлементной согласованности для этого элемента выполняются.
12.2.3. Обобщенный вариационный подход
Обобщенный вариационный подход, описанный в гл. 6 и 7, особенно привлекателен при формулировках изгиба пластин. Так как трудно определить и оперировать с полями поперечных перемещений, ко торые полностью межэлементно согласованы, желательно выбрать удобное поле, которое не удовлетворяет этим условиям, и далее навязать условие непрерывности, задавая ограничения. Для две надцатичленной функции (12.27), например, необходимо обеспе чить лишь непрерывность угловых перемещений. Довольно -глубо кие исследования в этой области четырехугольных изгибаемых эле ментов можно найти в статьях [12.16, 12.17]. Этот подход обсудим для треугольных элементов в разд. 12.13.
12.2.4.Смешанные формулировки в напряжениях и перемещениях
Вработах [12.18, 12.19] исследованы гибридные формулировки в напряжениях для прямоугольных элементов, а формулировки для четырехугольных элементов даны в [12.20]. В каждой используется схема с единственным полем. В [12.21] приведены две альтернатив ные формулировки путем разбиения элемента на подобласти и с использованием гибридной схемы в напряжениях.
Подход на базе функционала Рейсснера, модифицированный, как описано в разд. 12.2, Херрманом [12.7], был применен в работе [12.22] для различных четырехугольных элементов как для пред ставления единственным полем, так и при разбиении элемента на подобласти.
12.2.5.Предполагаемые поля напряжений
Как было указано, для функционала дополнительной энергии, вы раженного в терминах функции напряжений Саусвелла, требуются те же поля, что и при описании перемещений, если анализировать плоско-напряженное состояние на основе подхода, использующего принцип минимума потенциальной энергии. Поэтому рассуждения, касающиеся последней темы из разд. 9.3, справедливы и в данном случае. Результаты подсчетов с использованием указанного подхо да приведены в [12.23].
12.2.6. Сравнение численных результатов
Рассмотрим вначале жестко закрепленную квадратную пластину 2ах2а, на которую в центре действует сосредоточенная сила Pt (рис. 12.5). Учитывая симметрию относительно двух осей, можно
Z - * . •». /
Рис. 12.5. Квадратная жестко защемленная пластина.
исследовать эту задачу, используя лишь один элемент для четверти пластины, введя при этом лишь одну степень свободы: перемещение Wi под сосредоточенной силой. В этом случае Pf=kuWit P = /V 4, х2= у з = а- Согласно табл. 12.1 (см. стр. 389), для формулировки с использованием 12 членов имеем
Р, |
ЕР |
4 |
360 (1 — ц2) о 2[120(1 + 1)— 24ц + 84]а+ |
или, полагая |
D = E t3/ 12(1—р2), р=0.3, имеем До1=0.0237(а2РхЮ). |
Используя коэффициенты жесткости из [12.8] для шестнадцатичлен ной формулировки, получим ^ 1= 0.0212 (a*PJD).
Точное решение [12.2] равно ^=0.0224 (a2Px/D), поэтому каж дое из решений приблизительно на 8% отличается от точного, на ходясь по разные стороны от него. Как и предполагалось, «согла сованное» (шестнадцатичленное) решение ограничивает снизу точ ное решение.
На рис. 12.6 представлена задача, рассматриваемая при сравне нии различных формулировок пластинчатых элементов при изги бе. В задаче определяются перемещения, вызванные действием со средоточенной силы, приложенной в центре свободно опертой пла стины. Приводимые графики вычислений отражают зависимость возникающей при численном определении перемещений ошибки от размеров сетки разбиения квадранта пластины.
Следует отметить, что представленные результаты не обязатель но определяют нужные параметры для сравнения точности и эффек тивности, так же как и размеры ячейки не обязательно являются наиболее точной мерой затраченных усилий Такие величины, как напряжение или энергия деформации, являются, более существен-
(а)--------
1x1 2x2
1x1 2 x 2
Рис. 12.6. Задачи для сравнения вычислительных аспектов, (а) Сетки для прямо
угольных элементов; (Ь) сетки для треугольных элементов. Показаны лишь пред ставительные образцы сеток. Здесь также используются сетки, повернутые на 90°.
ными параметрами, характеризующими поведение конструкции. Наиболее предпочтительной мерой затраченных усилий могли бы служить такие факторы, как затрачиваемые усилия при программи ровании алгоритма, затраты на решение системы уравнений и ин терпретацию полученных результатов. Например, те же самые ве личины, но в зависимости от других характеристик эффективности были приведены в работе 112.241. В данной главе графики главным образом приводятся для того, чтобы выяснить верхнюю и нижнюю границы «решений, продемонстрировать сходимость и оценить аль тернативы внутри ограниченного числа форм элементов и процедур их построения.
На рис. 12.7 приведены результаты для различных формули ровок прямоугольных элементов. Заметим, что двенадцатичленный полином стремится к точному решению сверху, так как условия межэлементной непрерывности перемещений нарушаются, характе ристика, соответствующая «нижней границе», которая получается с использованием принципа минимума потенциальной энергии, не достигается. Наоборот, формулировка с использованием шестиадцатичленного полинома и разбиения элемента на подобласти, пред ложенная в работе [12.14], обусловливает сходимость и обеспечи вает достижение нижней границы для получающихся решений. На этом же рисунке приведены результаты для двух формулировок
Рис. 12.7. Сравнение численных результатов: четырехугольные конечно-элемент ные формулировки; 1 — смешанная формулировка с линейными М и w [12.22];
2 — двенадцатичленный полином (12.32); 3 — смешанная формулировка с квад ратичными М и w [12.22]; 4 — шестнадцатичленный полином [12.31]; 5 — согла сованные четырехугольные подобласти [12.14].
иа базе модифицированного функционала Рейсснера [12.22]. В од ной из них вводится линейное поле изгибающих моментов и поле граничных поперечных смещений. В другой используются квадра тичные функции. Очевидно, что существенное увеличение точности вытекает из увеличения порядка этих функций.
12.3.Треугольные элементы
12.3.1.Формулировки в перемещениях — единственное поле
На рис. 12.8 представлены различные способы задания степеней свободы для треугольного пластинчатого элемента при изгибе, обусловленные различным выбором членов в полиномиальном пред ставлении поперечного смещения