Метод конечных элементов. Основы

Задачи

11.1.Постройте матрицу жесткости для кольцевого элемента, показанного в раз­

резе на рис. Р11.1, используя линейную радиальную функцию перемещений.

Рис. Р11.1.

11.2. Постройте матрицу жесткости кольцевого элемента, изображенного в раз­ резе на рис. 11.4, используя билинейную функцию перемещений.

11.3. Проверьте формулу (11.18Ь) для / 4.

11.4. Используя для перемещения и из (11.24) двучленное гармоническое разло­

жение в ряд по симметричным членам (т. е. и\ и ul), постройте соответствующую матрицу жесткости кольцевого элемента из задачи 11.1.

11.5.Основываясь на функционале Рейсснера для плоско-напряженного состоя­ ния (см. (6.81)), получите выражение (11.38) для функционала П7 в случае несжи­ маемого материала.

11.6.Выведите дискретную форму для П7 (см. соотношение (11.38)) и преобра­

зуйте полученную смешанную матрицу к матрице жесткости, предполагая, что параметры поля давления не связаны с параметрами этого поля соседних эле­ ментов.

11.7.Получите матричные уравнения для анализа обобщенного плоского дефор­ мированного состояния, используя описанный в конце разд. 11.1 подход.

11.8.Получите явный вид матрицы [D^] из (11.27).

11.9.Постройте для несжимаемого упругого изотропного материала матрицу жесткости, основанную на девиаторных компонентах деформации. Используйте простой (с линейным полем перемещений) треугольный элемент при условиях плоской деформации.

11.10.Обобщите соотношения жесткости для плоской деформации (11.3) на случай учета начальных деформаций.

1 2

ИЗГИБ ПЛАСТИН

Много усилий затрачено на: построение конечных элементов, моделирующих пластину при изгибе [12.1]. Требованиям адекватной формулировки трудно удовлетворить, и по этой причине было предложено чрезвычайно широкое множество альтернативных формулировок. Поэтому строились улучшенные модели на основе более широкого использования вариационных принципов, нежели для других типов элементов. Однако и здесь основными были фор­ мулировки, базирующиеся на принципе минимума потенциальной энергии.

Значение изучения вопросов, касающихся изгиба плоских пла­ стин, превосходит чисто утилитарные аспекты непосредственного построения элементов в рамках линейных статических формулиро­ вок, как это сделано в данной главе. Один из эффективных элементов конечно-элементного анализа тонких оболочек базируется на представлении их плоскими элементами. Такие элементы строятся с помощью суперпозиции свойств изгибаемых и плоско-напряжен­ ных элементов. Плоское напряженное состояние описывалось в гл. 9; данная глава завершает описание существенных аспектов анализа оболочек.

Важность понимания вопросов изгиба пластин вытекает также из практической ценности изучения динамических аспектов поведе­ ния и потери устойчивости пластинчатых и оболочечных конструк­ ций. Последняя тема рассмотрена в гл. 13. При построении конечно­ элементных уравнений, описывающих это явление, будем опи­ раться на полученное в данной главе конечно-элементное представ­ ление.

И наконец, следует отметить, что упоминавшиеся выше труд­ ности в выборе адекватных полей перемещений возникают из-за того, что изгиб тонких пластин описывается дифференциальным уравнением четвертого, а не второго порядка, как в случае плоских

итрехмерных задач теории упругости. Уравнениями четвертого порядка наряду с широким кругом физических задач описываются

идругие задачи теории упругости, поэтому важно выяснить основ­ ные характерные трудности для каждой из них.

Этот вопрос был затронут потому, что трудности при выборе допустимых полей перемещений можно обойти, используя смешан­ ные вариационные принципы и вариационные принципы, базирую­ щиеся на рассмотрении функционала дополнительной работы, для

которых минимальны требования при выборе полей напряжений, либо с помощью изопараметрических трехмерных элементов, кото­ рые описывают поведение тонких пластин при наложении опреде­ ленных ограничений и выполнении других операций. Изопараметрические элементы изучались в гл. 9 и 10, первый подход обсуждается ниже.

В начале данной главы описывается наиболее простая ситуация, возникающая при изгибе пластин, т. е. изгиб в отсутствие сдвиго­ вых напряжений и начальных деформаций. Кроме того, обсуждае­ мые формулировки и задачи в основном относятся к изотропным материалам. Вслед за кратким обзором основных соотношений тео­ рии изгиба пластин внимание уделено многочисленным альтерна­ тивным формулировкам для четырехугольных и треугольных эле­ ментов. В противоположность гл. 9 «Плоско-напряженное состоя­ ние» треугольные элементы здесь менее предпочтительны, нежели четырехугольные. Поэтому последние рассматриваются в первую очередь.

Во многих отношениях построение и стиль этой главы отлича­ ются от построения и стиля других глав книги. Детальное описание операций по формулировке лишь небольшого числа из широкого разнообразия формулировок пластинчатых элементов при изгибе потребует объема целой главы. Наша же основная цель — дать всестороннее описание техники построения конечных элементов для изгибаемых пластин, и чтобы добиться этого, здесь принят обзор­ ный стиль изложения. Однако некоторые основные аспекты пробле­ мы рассматриваются подробно.

Подробно приводятся основные соотношения и выражения для энергетических функционалов изгиба пластин, благодаря этому можно выявить важную роль смешанных функционалов и функцио­ нала дополнительной работы. Весьма полно дается описание прямо­ угольных элементов. Пристальное внимание уделяется двум широко распространенным видам треугольных элементов. И наконец, рассматриваются деформации, вызываемые поперечными сдвигами. Этот аспект изгиба пластин важен сам по себе. Кроме того, на его основе можно предложить подходы описания изгиба без сдвига, которые более просты с точки зрения формулировки, нежели обще­ принятые подходы, базирующиеся на использовании допустимых полей перемещений.

12.1. Теория изгиба

12.1.1. Основные соотношения

Теория изгиба пластин подробно излагается во многих книгах (см., например, [12.2—12.4]), и ниже вкратце приводятся лишь необходимые соотношения для дальнейшего построения элементов.

На рис. 12.1 изображен бесконечно малый элемент тонкой пластины толщины t. Пластина характеризуется плоским напряжен­ ным состоянием (аг= у хг= у у2='0) и, согласно обычным предполо­ жениям изгиба пластин, напряжения линейно изменяются по тол­ щине. Интегрируя действующие в пластине напряжения по ее тол­ щине, приходим к результирующим силовым характеристикам в виде изгибающих ЗЛ*, ЗЛУи крутящего ЗЛ*Умоментов, отнесенных к единице длины. Векторы, отвечающие положительным значениям этих Моментов, изображены на рис. 12.1. Для простоты на рисунке не показаны производные этих элементов и соответствующие им сдвиги, которые учитываются при формулировке дифференциаль­ ных уравнений равновесия. Имеем

° С!1овное предположение теории изгиба тонких пластин заклю­ чается в том> что отрезки, которые были первоначально перпенди­

к у л я р ^ к срединной поверхности пластины, остаются перпендику­

лярными к этой поверхности и в процессе деформирования пласти­ ны. Производные угловых смещений этих нормалей определяют кривизны х Х) х у и кручение х ку поверхности. Предполагается, что они адекватно аппроксимируются вторыми производными функции поперечных смещений w:

где w отсчитывается от исходного состояния срединной поверхности пластины. Кривизны и кручение — главные меры деформации при

еще одну аналогию с плоской теорией упругости и введем уравне­ ния состояния изгиба тонких пластин

Здесь Dx, Dy и Д — изгибные жесткости ортотропной пластины. В более знакомом случае изотропной тонкой пластины

Определяющее дифференциальное уравнение равновесия изгиба пластин важно для понимания вопросов выбора полей перемещений в элементе. Основой для этого уравнения служат дифференциальные уравнения равновесия, которые выводятся путем рассмотрения рав­ новесия сил, действующих на бесконечно малый элемент соответст­ венно вдоль вертикальной оси и осей х н у . Следовательно, имеем

где q — поперечная распределенная нагрузка, а Ф* и <5 У— пере­ резывающие силы.

Теперь, подставив соотношения между моментами и кривизнами (12.2) в (12.5Ь) и (12.5с), а результирующие выражения — в (12.5а), получим

+ 2 (А + т г + -D, g ? ■= Я. (12.6)

Для пластины из изотропного материала это уравнение упрощается:

Заметим, что получение решения задачи изгиба тонких пластин в кинематической точки зрения полностью сводится к нахождению единственной компоненты перемещения до, т. е. прогибов.

12.1.2.Потенциальная энергия

Большинство существующих формулировок конечных элементов для изгибаемых пластин получаются на базе принципа минимума потенциальной энергии. Развивая аналогию с плоско-напряженным состоянием, получим

где х и [Е/] определены ранее, а V — потенциал прикладываемых

нагрузок. В случае заданных распределенных нагрузок q, нормаль­ ных к поверхности пластины, указанный потенциал выражается формулой

а для заданных граничных усилий Q, изгибающих и скручиваю­ щих моментов -Ю!п и (рис. 12.2) потенциал равен

где суммирование по i распространяется на все узловые соединения элемента.

Рисунок 12.3, на котором изображен прямоугольный пластин­ чатый изгибаемый элемент, поясняет вид сосредоточенных сил и моментов и соответствующих им перемещений. Основные предпо­ ложения теории изгиба тонких пластин (сохранение нормали, пре­ небрежение сдвиговыми деформациями) приводит к тому, что наклон срединной поверхности и угловое смещение в каждой точке совпа-

Рис. 12.2. Заданные граничные усилия.

дают. Поэтому 0jc=|dw/dy|, 0У= — \dw/dx\. В выражении для 0У отрицательное значение производной обусловлено тем, что вращение в положительном направлении вокруг оси (см. рис. 12.3) вызывает отрицательные прогибы w. Следует также указать на различие меж­ ду моментами в узлах, являющихся сосредоточенными моментами М х, Му, измеряемыми в единицах дюйм*фунт (или м*Н), и распре­ деленными моментами ЯЛУ, 9Яхг/, измеряемыми в единицах дюйм-фунт/дюйм. Узловые параметры искомого конечно-элемент­ ного представления суть сосредоточенные моменты (Мх МУ1) и

силы (F*.), а также соответствующие им перемещения.

С физической точки зрения очевидно, что поле перемещений конечного элемента при изгибе, как этого требует принцип миниму­ ма потенциальной энергии, должно быть непрерывно вместе со своими первыми производными при переходе границ элементов. Те же условия получают математически, анализируя выражение для функционала потенциальной энергии Пр, включающее вторые производные от w, что и обусловливает необходимость непрерывности первых производных. Этому требованию удовлетворить трудно. Поэ­ тому при формулировке изгибаемых пластинчатых элементов ока­ зались весьма привлекательными альтернативные вариационные принципы, требующие непрерывности лишь самой функции w.

Вид функционала потенциальной энергии показывает, что выби­ раемое поле должно быть по крайней мере квадратичным — в ре-

зультате взятия вторых производных исключается вклад всех линейных и постоянных членов полей перемещений. Как было пока­ зано для балки, обычно при описании изгиба используют кубиче­ ские функции. Насколько этот подход эффективен для пластин, станет ясно из последующих разделов.

Рис. 12.3. Изгибаемая тонкая прямоугольная пластина.

В качестве заключительного замечания, касающегося потенци­ альной энергии, отметим, что для изотропного материала уравнение (12.6) является уравнением Эйлера для функционала потенциальной энергии. Значение этого обстоятельства заключается в том, что то же уравнение (с функцией напряжений Эри Ф в качестве неизвест­ ной переменной) определяет растяжение пластины при применении формулировок, базирующихся на принципе минимума дополни­ тельной работы. Следовательно, рассуждения, касающиеся выбора полей перемещений, непосредственно справедливы и для формули­ ровок, соответствующих плоской задаче.

Уместно изучить процедуру дискретизации функционала потен­ циальной энергии при получении конечно-элементных соотношений между силами и перемещениями. Принимаемый подход очень бли­ зок процедурам из предыдущих глав. Выражение для выбранного поля перемещений сначала дифференцируется согласно (12. 1) с целью отыскания поля х. В результате приходим к соотношениям вида

x=[D]{A}. (12.9)

Например, для изображенного на рис. 12.3 прямоугольного эле­ мента

Подставляя (12.9) в выражение для энергии деформации, вхо­ дящее в полную потенциальную энергию, получим

где, как и в предыдущих главах,

Заметим, что предполагаемое поле перемещений фигурирует в определении величины V, если заданы распределенные нагрузки qy

в, т п и ! „ ,

Втех случаях, когда предполагаемое поле представлено поли­ номиальным рядом, важно обратить внимание на определение вели­ чин 0Хи 0У. Имеем (см. разд. 8.2)

Разрешим это уравнение относительно {а} и подставим полученное выражение вновь в (12.12). Продифференцируем результирующие выражения согласно (12.1) и выпишем (12.9). Также можно продиф­ ференцировать выражение (12. 12) непосредственно согласно соот­ ношениям, связывающим кривизны и перемещения (соотношения (12.1)), и подставить полученный результат в выражение для энер­ гии деформации. Получим «основную» матрицу жесткости, относя­ щуюся к параметрам {а}. Матрица жесткости, соответствующая узловым перемещениям, получается в результате применения к основной матрице жесткости матрицы, обратной к [В] из (12.13), подобно тому, как преобразуются координаты. Ниже, в этой главе представится возможность проиллюстрировать эту процедуру.

12.1.3. Дополнительная энергия

аналогию, описанную в п. 12.1 .1 , можно построить выражение для дополнительной энергии при изгибе тонкой пластины. Имеем Пс= = (/* + У*, где в данном случае

АБц

Здесь поперечные w и угловые 0Пи 08 смещения задаются на участ­ ке S u границы, а граничные условия задаются на оставшейся части границы S0.

При анализе изгиба пластин особенно полезна функция допол­ нительной энергии, выраженная в терминах функций напряжений. В рассматриваемом случае соответствующими функциями напряже­ ний являются функции напряжений Саусвелла Ф° иФ® (см. [12.5]), определяемые следующим образом:

где Q — параметр, связанный с распределенной нагрузкой следую­ щим образом:

Если подставить выписанные выше выражения для 5ЯХ, ЗЯУ, 9Лху, Qxt С2У в уравнения (12.5), то можно убедиться, что уравнения равновесия удовлетворяются, что и должно быть для функций на­ пряжений.

Наиболее часто задаваемые перемещения полагаются равными нулю, т. е. V* =0. Поэтому при обсуждении дискретизации Пс сосредоточим наше внимание на выражении для U*. Подставляя в (12.14) выражение (12.16), получим

(12.18)

(12.19)

Третий интеграл в правой части (12.18) исчезает при дифференци­ ровании £/*, а второй интеграл даст вектор констант. Следователь­ но, чтобы рассмотреть основные свойства конечного элемента, изу­ чим лишь первый интеграл. Ясно, что, за исключением вида кон­ стант и того факта, что матрица [Е/]” 1 заменяет 1Е/], этот член имеет тот же вид, что и энергия деформации для плоско-напряжен­ ного состояния. Итак, выберем тот же вид аппроксимации, что и