Метод конечных элементов. Основы

9.6. Вычислите энергетически эквивалентные нагрузки для квадратичного за­

9.7. Постройте вектор начальных сил для треугольного элемента с линейно ме­ няющейся деформацией в случае линейно меняющейся температуры в свободном

9.8. Придумайте подходящее поле перемещений для построения матрицы жест­ кости секторного элемента, изображенного на рис. Р9.8 и постройте матрицу пере­ хода от узловых смещений к деформациям [Dj.

9.9. (Численная задача.) Проведите конечно-элементный анализ квадратной пластины, изображенной на рис. Р9.9 (та же задача, что и на рис. 9.10), самостоя-

тельно выбирая тип элемента и сетки. Для сравнения решений как для пере­ мещений, так и для напряжений см. работу: Cowper G. R., Lindberg G. М., Ol­ son М. D. A Shallow Shell Finite Element of Triangular Shape.— Int. J. Solids and Structures, 1970, 6, p. 1133— 1156.

Замечание. Необходимо строить сетку лишь в заштрихованном квадранте. Заме­

9.10. (Численная задача.) Проведите конечно-элементный анализ изображенной на рис. Р9.10 консольной балки прямоугольного сечения единичной толщины (та же задача, что и на рис. 9.11), самостоятельно выбирая тип элементов и сетку. Нагрузка Р распределена по параболическому закону в виде касательных напря­

Ш

Рис. Р9.10 (сетка 3X 9 изображена лишь в иллюстративных целях).

1 0

ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Сплошные, или трехмерные, элементы позволяют получить решение задач общей трехмерной теории упругости. Ука­ занным задачам ранее уделялось относительно мало внимания при проектировании из-за трудности использования традиционных под­ ходов к решению. Поэтому в этой области, за исключением простей­ ших случаев, конечно-элементный анализ стал фактически неоспо­ римым средством отыскания решения. Имеются в виду такие зада­ чи, как расчет массивных бетонных конструкций плотин, расчет напряжений в породах, решение задач механики для грунтов и скальных пород, возникающих при буровых работах, численное определение напряжений во фланцах и соединениях толстостенных труб.

Основные сплошные элементы представляют собой непосредст­ венное обобщение на трехмерный случай плоских элементов. Изоб­ раженный на рис. 10. 1(a) тетраэдральный элемент есть обобщение треугольного элемента на трехмерный случай, а шестигранный эле­ мент (рис. 10.1 (Ь)) — трехмерный аналог плоского прямоугольного элемента. Хотя построены различные специальные и альтернатив­ ные виды трехмерных элементов (например, пятигранный или кли­ нообразный элемент), на практике чаще используют тетраэдраль­ ный и шестигранный элементы. В этой главе рассматриваются только эти основные элементы.

Из-за «проклятия размерности» конечно-элементное представ­ ление для сплошного тела требует введения исключительно большо­ го числа степеней свободы (рис. 10.2). Из рисунка видно, что если для получения решения заданной точности в одномерном случае требуется 10 степеней свободы, то в трехмерном случае — 3000. Поэтому решающими для использования метода в трехмерном случае являются вопросы экономичности. Необходимо добиться наиболь­ шей эффективности выполнения (1) операций ввода и вывода дан­ ных, (2) процедур решения систем уравнений большой размерности,

(3) представления реальной конструкции ее конечно-элементной моделью.

Вопросы (1) и (2) лежат вне круга вопросов данной книги, чита­ телю рекомендуется обратиться к литературе, цитируемой в конце данной главы. Требования (3) обусловливают применение очень сложных процедур представления геометрических характеристик. Поэтому концепция изопараметрического представления геометрии

Рис. 10.1. Сплошные элементы: (а) элемент в виде правильного тетраэдра и оси координат; (Ь) элемент в виде правильного шестигранника и оси координат

элемента, т. е. использование функций формы для описания гра­ ниц элемента, приобретает особое значение для трехмерных эле­ ментов. Эти концепции развивались в разд. 8.8 и обсуждаются да­ лее.

Существующие формулировки трехмерных элементов почти все­ цело основываются на предполагаемых полях перемещений и прин­ ципе минимума потенциальной энергии. Формулировкам на базе дополнительной энергии и смешанным формулировкам еще пред­ стоит продемонстрировать свои преимущества для задач данного класса. Так, в задачах трехмерной упругости, если функционал дополнительной энергии выражен в терминах функции напряжений, то нужно преодолеть трудности, обусловленные операциями с функциями, которые непрерывны вместе с частью своих производ­ ных при переходе через границу элемента. Поэтому в данной главе рассматриваются лишь формулировки, основанные на предполагае­ мых перемещениях.

х, и

(а)

X, и

(Ъ)

Рис. 10.2. Рост числа степеней свободы с увеличением размерности задачи, (а) Одномерный случай (10 степеней свободы); (Ь) двумерный случай (200 степеней свободы); (с) трехмерный случай (3000 степеней свободы).

10.1. Основные соотношения

10.1.1. Уравнения теории упругости

Основные соотношения для трехмерных элементов даются линей­ ной теорией упругости. Рассматривая равновесие бесконечно ма­ лого элемента, имеем (для простоты объемные силы исключены)

где а — коэффициент температурного расширения, Г — прираще­ ние температуры, отсчитываемое от температуры, при которой в теле отсутствуют напряжения.

Как и в гл. 9, удобно записать некоторые поля перемещений в элементе в терминах узловых перемещений {А}. В этих случаях преобразование от узловых перемещений к деформациям можно

В других рассматриваемых в этой главе случаях выражать поля перемещений через узловые перемещения неудобно и требуется ис­ пользовать обобщенные параметры перемещений {а}. Тогда, сог­ ласно (5.6а), преобразование обобщенных параметров перемеще­ ний {а} к деформациям можно записать в виде е=[С] {а}., а из (5.4а) получим преобразование узловых перемещений к обобщенным перемещениям: {а}= {В }-1 {А}. Поэтому матрица жесткости дает­ ся выражением

vol

10.2. Построения тетраэдральных элементов

10.2.1. Общие замечания

высокого порядков. Такие элементы характеризуются компонентами трансляционных перемещений (и, v, w) в каждом узле. Как пока­ зывает рассмотрение плоских треугольных элементов, в качестве степеней свободы можно выбрать не только компоненты трансля­ ционных перемещений, но и значения их производных (ди/дх, ди/ду и т. д.) в узлах. Поэтому для элементов первого и второго порядков не существует альтернативных элементов из-за недостаточного числа степеней свободы, однако альтернативные элементы можно

построить в случае тетраэдральных элементов, основанных на куби­ ческих функциях (рис. 10.3).

Полный кубический полином содержит 20 членов, поэтому эле­ мент, который характеризуется только трансляционными пере­ мещениями, может иметь, как показано на рис. 10.3(a), 20 узловых точек. В этих узлах задается 60 степеней свободы, используемых

Рис. 10.3. Возможные типы тетраэдральных элементов, основанных на полях пе­ ремещений в виде полных кубических полиномов.

для описания перемещений a, v и w. Если необходимо сохранить полноту полиномиальных функций, применяемых для построения элемента с участием степеней свободы в виде производных от пере­ мещений, то такой элемент должен также содержать 60 степеней свободы. Способ задания указанных степеней свободы изображен на рис. 10.3(b). Каждой из четырех вершин соответствует по три компоненты трансляционного перемещения и для каждой компонен­ ты перемещения— по три частные производные, всего 12 величин на узел. Так, например, для компоненты и имеем

и аналогично для ни w. Это приводит к появлению 48 степеней сво­ боды. Дополнительные 12 степеней свободы можно задать в виде трансляционных перемещений центров каждой из четырех граней (см. рис. 10.3(b)). Однако иметь узлы в центрах граней неудобно. Поэтому предпринимались попытки для построения элемента со степенями свободы только в вершинах, т. е. с 48 степенями свободы. Приводимое ниже обсуждение достоинств, присущих альтернатив­ ным формулировкам для тетраэдрального элемента, дает понять, почему элементу с 48 степенями свободы уделяется такое внимание.

Были проведены обширные исследования по оценке вычислитель­ ной эффективности использования различных видов тетраэдраль­ ных элементов [10.1—10.3]. В табл. 10.1, взятой из [10.3], указы-

вается среднее число степеней свободы, приходящихся на один элемент, для системы с бесконечным числом элементов; кроме того, это число равняется средней полуширине ленты в соответствующих глобальных матрицах жесткости. Если используются эффективные методы решения алгебраических уравнений, то цена вычислений пропорциональна приблизительно корню квадратному из полуши­ рины ленты. Кроме того, при оценке относительной эффективности необходимо учесть и другие факторы. Так, сказанное выше подра­ зумевает, что для задания глобальной конфигурации требуется фиксированное число элементов, но следует, конечно, учитывать, что с ростом порядка элемента увеличивается и точность решения. Из тетраэдральных элементов, представленных в табл. 10.1, наи­ большими преимуществами обладает элемент Т48. Средняя полу­ ширина ленты матрицы, отвечающая этому элементу, невелика изза наличия степеней свободы в виде производных от перемещений. Это свойство обсуждалось в разд. 9.2 для плоских элементов со сте­ пенями свободы в виде производных от перемещений.

Следует в то же время отметить, что в случае неоднородности материала, когда теоретически нельзя допустить постоянство де­ формаций, возникают проблемы, связанные с применением степе­ ней свободы в виде производных от перемещений. Если имеет место относительно слабое изменение свойств от точки к точке (напри­ мер, при наличии градиента температур для материала, свойства которого зависят от температуры), требование к непрерывности де­ формаций (производных от перемещений) оказывается не столь существенным. Если же существует значительная степень неодно­ родности материала, условие непрерывности деформаций неприем­ лемо. В этом случае можно связывать лишь степени свободы в виде трансляционных перемещений.

Кроме того, следует учитывать факторы, обусловленные пред­ ставлением геометрических характеристик конструкции и особенно криволинейных границ. Конечно, можно использовать один тип представления для задания полей перемещений и другой — для описания криволинейных границ элемента. Остальные используемые при этом функции могут также различаться. Тем не менее оказы­ вается, что наиболее удобно использовать одни и те же виды ап­ проксимаций для геометрических характеристик и полей переме­ щений.

Учитывая сказанное, ограничимся ниже построением тетраэд­ ральных элементов лишь с линейным полем перемещений и элемен­ тов Т48. Первые являются базовыми для всего семейства тетра­ эдральных элементов; элементы более высокого порядка (с квадра­ тичными и кубичными полями перемещений) из этого класса легко формулируются как обобщение этих элементов. Введенные в разд. 8.4 тетраэдральные координаты позволяют построить функции фор­ мы для представления любого порядка и приводят к алгебраичес­