- •Введение
- •1. Теория колебаний
- •1.1. Устойчивость положения равновесия
- •1.1.1. Определение устойчивости положения равновесия
- •1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле
- •1.2. Колебания системы с одной степенью свободы
- •1.2.1. Собственные линейные колебания системы
- •Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы
- •Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний
- •1.2.2. Влияние линейного сопротивления на малые собственные колебания системы с одной степенью свободы
- •Интегрирование дифференциального уравнения движения
- •Затухающие колебания
- •Затухающие движения
- •1.2.3. Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
- •Основные свойства вынужденных колебаний
- •Исследование вынужденных колебаний
- •Общие свойства вынужденных колебаний
- •Основы виброзащиты
- •1.3. Математический и физический маятники
- •1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)
- •1.4.1. Кинетическая энергия
- •1.4.2. Потенциальная энергия
- •1.4.3. Диссипативная функция
- •1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний
- •1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот
- •1.4.6. Главные координаты
- •1.4.7. Влияние линейного сопротивления на собственные колебания
- •1.4.8. Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
- •2. Теория удара
- •2.1. Основные положения и понятия теории удара
- •2.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс для удара. Теорема Кельвина
- •2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе
- •2.4. Удар точки о неподвижную поверхность
- •2.4.1. Прямой удар
- •2.4.2. Косой удар
- •2.4.3. Экспериментальное определение коэффициента восстановления
- •2.5. Теорема Карно
- •2.6. Удар двух тел
- •2.7. Центр удара
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Интегрирование дифференциального уравнения движения
Дифференциальное уравнение (24) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение следует искать в форме , где постоянная определяется из характеристического уравнения , которое получается после подстановки решения в дифференциальное уравнение.
Характеристическое уравнение имеет два корня:
. (25)
Могут представиться три случая: 1) - это случай малого сопротивления; 2) - это случай большого сопротивления; 3) - случай критического сопротивления. Рассмотрим эти три случая по отдельности.
Затухающие колебания
Если , то величина под знаком квадратного корня в (25) отрицательна. Обозначим положительную величину . Тогда и из (25) получим следующие значения для корней характеристического уравнения:
.
Соответственно общее решение дифференциального уравнения
,
зависящее от двух произвольных постоянных, выразится в виде
, (26)
где , и , - произвольные постоянные.
Решение (26) можно также представить в другой, амплитудной форме:
, (27)
где и - тоже произвольные постоянные.
Раскрывая синус суммы, имеем
.
Сравнивая это уравнение с (26), получаем формулы связи постоянных:
;
или
; ;
; . (28)
Постоянные , и соответственно , определяются из начальных условий , , .
Дифференцируя (26) по времени, имеем
. (29)
Используя выражение (26) для , а (29) – для при , получаем уравнение для определения и :
,
Из них
, .
Соответственно постоянные и через начальные условия выразятся в следующей форме:
, ,
, . (30)
Величина положительна. Она не является амплитудой. Начальная фаза может иметь значения в пределах от 0 до 2 .
Для выяснения изменения функции построим ее график, используя уравнение (27). Вид графика функции (рис. 7) можно выяснить с помощью построения графиков вспомогательных функций (кривая 1) и (кривая 2). Кривые 1 и 2 являются ограничивающими для , который изменяется между 1 и -1.
Т
Рис. 7
Из графика функции следует, что величины последовательных наибольших отклонений от положения равновесия уменьшаются с увеличением времени, стремясь к нулю при неограниченном возрастании времени. В соответствии с этим движение, определяемое уравнением (27) или (26), называют затухающими колебаниями.
Условным периодом затухающих колебаний (или периодом) называют период . Он является периодом прохождения системы через положения равновесия, так как функции и равны нулю одновременно. Круговой частотой является величина . Следовательно, период затухающих колебаний
. (31)
Период затухающих колебаний – величина постоянная, не зависящая от начальных условий. Он больше периода собственных колебаний при отсутствии сопротивления .
Из (31), разлагая в ряд по степеням с использованием бинома Ньютона, имеем
. (31 )
Для очень малых по сравнению с единицей можно считать , т.е. малое сопротивление не изменяет периода собственных колебаний системы. В более общем случае можно использовать приближенную формулу
. (31 )
В действительности функция не является периодической, так как не существует величины , удовлетворяющей условию периодичности для любого момента времени.
Определим моменты времени, в которые функция достигает максимальных значений. В эти моменты времени .
Дифференцируя выражение из (27) и приравнивая нулю производную, получим следующее выражение:
.
Так как равно нулю только при , то соответствующие моменты времени определяются из условия равенства нулю выражения в квадратных скобках:
или
.
Если - одно из искомых значений удовлетворяющих этому тригонометрическому уравнению, то, учитывая, что период тангенса равен , все остальные искомые значения времени будут удовлетворять соотношению
или
,
где - любое натуральное число.
Таким образом, моменты времени, в которые функция достигает максимумов и минимумов, образуют бесконечную последовательность значений
, , .
Из графика функции (см. рис. 7) следует, что между каждыми ее двумя максимумами расположен один минимум, и наоборот. Следовательно, два соседних максимальных значения функции наступают через промежуток времени, равный , который совпадает с периодом затухающих колебаний . Два последовательных минимума тоже разделяют промежуток времени, равный .
Переменную величину называют условной амплитудой затухающих колебаний. Она не является максимальным значением функции . Установим закон изменения условной амплитуды при изменении времени на период . Если в момент времени условная амплитуда , то через промежуток времени, равный периоду затухающих колебаний , в момент
.
Это справедливо для любых двух моментов времени, отличающихся на период . Действительно, если при
,
где - любое натуральное число, больше единицы, то при
.
Таким образом, последовательные значения условных амплитуд а моменты времени, отличающиеся на условный период, образуют убывающую геометрическую прогрессию , ; ; …; ; … со знаменателем .
Можно показать, что по такому же закону убывающей геометрической прогрессии изменяются любые последовательные значения функции
для моментов времени, отличающихся друг от друга на условный период. Так, если в момент времени
,
то для момента времени
,
так как , вследствие того что является периодом.
Аналогично, если для
,
то для
.
Поэтому последовательные значения образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .
Так как любые два значения функции , соответствующие моментам времени, отличающимся на период , связаны соотношением
,
то этому соотношению удовлетворяют и два последовательных значения максимума:
.
Величину отношения двух последовательных максимумов
называют декрементом колебания.
Натуральный логарифм декремента колебания называется логарифмическим декрементом колебания. Для логарифмического декремента колебания имеем
. (32)
Кроме декремента и логарифмического декремента колебания часто используется другая характеристика затухания – добротность системы , которая определяется приближенным соотношением
, (33)
где - частота собственных колебаний без учета сопротивления; - коэффициент затухания.
Логарифмический декремент колебания можно выразить через добротность. Действительно, из (32) и (33) с учетом (31)
. (34)
Таким образом, из проведенного исследования можно заключить, что малое линейное сопротивление незначительно увеличивает период колебаний по сравнению со случаем отсутствия сопротивления, но сильно уменьшает последовательные значения условных амплитуд, которые уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону.