- •Введение
- •1. Теория колебаний
- •1.1. Устойчивость положения равновесия
- •1.1.1. Определение устойчивости положения равновесия
- •1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле
- •1.2. Колебания системы с одной степенью свободы
- •1.2.1. Собственные линейные колебания системы
- •Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы
- •Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний
- •1.2.2. Влияние линейного сопротивления на малые собственные колебания системы с одной степенью свободы
- •Интегрирование дифференциального уравнения движения
- •Затухающие колебания
- •Затухающие движения
- •1.2.3. Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
- •Основные свойства вынужденных колебаний
- •Исследование вынужденных колебаний
- •Общие свойства вынужденных колебаний
- •Основы виброзащиты
- •1.3. Математический и физический маятники
- •1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)
- •1.4.1. Кинетическая энергия
- •1.4.2. Потенциальная энергия
- •1.4.3. Диссипативная функция
- •1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний
- •1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот
- •1.4.6. Главные координаты
- •1.4.7. Влияние линейного сопротивления на собственные колебания
- •1.4.8. Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
- •2. Теория удара
- •2.1. Основные положения и понятия теории удара
- •2.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс для удара. Теорема Кельвина
- •2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе
- •2.4. Удар точки о неподвижную поверхность
- •2.4.1. Прямой удар
- •2.4.2. Косой удар
- •2.4.3. Экспериментальное определение коэффициента восстановления
- •2.5. Теорема Карно
- •2.6. Удар двух тел
- •2.7. Центр удара
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4.2. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы зависит от обобщенных координат , , если силовое поле и связи стационарны. Разлагая потенциальную энергию в окрестности положения равновесия в ряд по степеням и , имеем
.
Потенциальную энергию в положении равновесия принимаем равной нулю; величины , как значения обобщенных сил в положении равновесия системы. Окончательно, удерживая члены второго порядка и пренебрегая слагаемыми третьего и более высокого порядков, потенциальную энергию выразим в форме
. (60)
Постоянные величины
, ,
называются коэффициентами жесткости.
Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат и . В том случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т.е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения , , как вторые производные от по переменным и при минимуме должны удовлетворять условиям
; ; . (61)
Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для . Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при , т.е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы.
Потенциальная энергия в случае степеней свободы выражается в форме
.
Условия определенной положительности сведутся к условиям для коэффициентов жесткости, полностью аналогичным условиям для коэффициентов инерции.
1.4.3. Диссипативная функция
Пусть на точки системы действуют линейные силы сопротивления , пропорциональные скорости точек , т.е.
,
где – постоянные коэффициенты сопротивления.
Обобщенная сила от сил сопротивления, согласно определению обобщенной силы, если использовать тождество Лагранжа
,
может быть выражена в форме
.
Здесь – диссипативная функция. Аналогично, через диссипативную функцию выразится как
.
Так же как и в случае системы с одной степенью свободы, для системы с двумя и любым конечным числом степеней свободы можно получить энергетическое соотношение
,
где – полная механическая энергия системы.
Таким образом, диссипативная функция в общем случае характеризует скорость убывания полной механической энергии вследствие действия линейных сил сопротивления.
Диссипативная функция по своей структуре аналогична кинетической энергии, только в нее вместо масс входят коэффициенты сопротивления .
Выполнив для разложение окрестности положения равновесия и отбросив члены третьего и более высокого порядков, так же как и для кинетической энергии, получим
. (62)
Постоянные величины , , называются приведенными коэффициентами сопротивления.
Квадратичная форма для , так же как и для кинетической энергии, по своей физической сущности является определенно-положительной; следовательно, ее коэффициенты удовлетворяют условиям
; ; .
Для системы с степенями свободы диссипативная функция выразится в форме
.
Приведенные коэффициенты сопротивления удовлетворяют условиям, которые полностью аналогичны условиям для коэффициентов инерции.