1.4.6. Главные координаты

Если за новые обобщенные координаты системы выбрать и , то главное колебание с частотой , будет характеризоваться только обобщенной координатой , а главнее колебание с частотой – координатой .

Обобщенные координаты, каждая из которых представляет только одно главное колебание, называются главными координатами системы. Произвольные обобщенные координаты через главные в соответствии с (71) должны выражаться их линейными комбинациями:

; . (72)

В случаях равных частот любые обобщенные координаты являются главными. Для главных координат система уравнений должна распадаться на два отдельных, независимых уравнения, как в случае равных частот..

Определив обобщенные координаты и , найдем главные координаты системы. Главные координаты можно также определить основываясь на рассмотрении преобразования кинетической и потенциальной энергии системы.

Для того чтобы система уравнений распалась на отдельные независимые уравнения, выражения потенциальной и кинетической энергии не должны содержать членов с произведениями переменных. Это можно положить в основу для отыскания главных координат. Действительно, пусть и – произвольные обобщенные координаты, а и – главные координаты.

Попытаемся получить равенства нулю членов с произведениями в разложениях кинетической и потенциальной энергий, приняв линейную зависимость между , и , , т.е.

; . (72')

Постоянные и включим в и , т.е. примем . Тогда неизвестные постоянные и можно определить из условий, что для главных координат

; , (73)

Т.е. . Сохраним для неизвестных постоянных и обозначения коэффициентов формы, так как в действительности они ими и являются.

Подставляя (72’) в выражения кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), получаем

(74)

Из сравнения (73) и (74), используя условия , , имеем

(75)

А так же формулы связи новых и старых коэффициентов инерции и жесткости

(76)

Из (75) получаем

(77)

Эти соотношения позволяют построить квадратное уравнение, корнями которого являются и :

. (78)

Можно доказать, что корни этого уравнения вещественны.

Таким образом, коэффициента и можно определить двумя путями: как коэффициенты формы по формулам (69) или как корни квадратного уравнения (78).

Система уравнений малых колебаний (63) для главных координат , с учетом того что , распадается на два независимых уравнения:

; . (79)

Их решения имеют вид

; , (80)

где и – частоты главных колебаний. Они вычисляются по формулам

; . (81)

Используя (72’) и (80) для произвольных обобщенных координат и , можно получить выражения (71).

Частоты изменения главных координат совпадают с частотами главных колебаний, т.е.

; , (82)

Так как частоты не зависят от выбора тех или иных обобщенных координат. Они определяются свойствами системы и потенциальным силовым полем, в котором движется система. В случае системы с двумя степенями свободы в справедливости (82) можно убедиться прямыми вычислениями с использованием формулы (76).

Кажется, что по (81) вычислять частоты проще, чем из уравнения частот (66), но предварительное отыскание главных координат представляет собой задачу, равноценную по трудности решению уравнения частот. Главные координаты удобны для теоретических исследований, особенно для исследования вынужденных колебаний без учета сопротивления.

Итак, каждая из главных координат системы изменяется по гармоническому закону, имея определенную частоту, амплитуду и начальную фазу, так же как и в случае системы с одной степенью свободы. Этот результат остается справедливым и для собственных колебаний системы с любым конечным числом степеней свободы. Некоторые частоты могут оказаться одинаковыми, но это не приводит к резонансным явления.