1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний

Ели система, имеющая две степени свободы, движется только под действием потенциальных сил, то, учитывая формулы для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), имеем:

,

,

, , .

Подставляя эти значения в уравнение Лагранжа (56), получаем линейные дифференциальные уравнения малых собственных колебаний системы с двумя степенями свободы без сопротивления:

. (63)

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60) являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называют линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми.

Для системы с любым конечным числом степеней свободы дифференциальные уравнения собственных колебаний выразятся в следующей форме:

1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот

Решение системы уравнений (63) следует искать в форме , . Но в случае малых колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия все значения , в чем нетрудно убедиться, чисто мнимые значения и, следовательно, решение можно искать в виде

, , (64)

где постоянная - круговая частота колебаний. Как доказано ниже, она является действительной величиной. Постоянные , , и подлежат определению. Величины и называются амплитудами, а - начальной фазой. Вычислим производные:

, .

Подставим их значения и из (64) в систему уравнений (63). Получим тождества, в которых постоянные коэффициенты при должны быть равны нулю. Это дает систему двух однородных линейных уравнений для определения амплитуд и :

. (65)

Однородная линейная система уравнений имеет решения, отличные от нуля, если определитель системы равен нулю:

.

Раскрывая определитель, получаем уравнение частот:

. (66)

Только для значений , удовлетворяющих уравнению частот, существуют отличные от нуля значения , и, следовательно, , .

Уравнение частот как биквадратное уравнение в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), эти условия необходимы и достаточны для того , чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты и выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным.

Отбрасывая отрицательные значения частот, как не дающие новых решений и не имеющие физического значения, получаем две частоты. Меньшую из частот обозначаем , большую – . Частоты и являются частотами собственных колебаний системы. Они не зависят от начальных условий и полностью определяется значениями коэффициентов инерции и жесткости.

Исследуем уравнение частот. Рассмотрим функцию

, (67)

где . Уравнение (67) является уравнением параболы. Корням уравнения частот и соответствуют точки пересечения параболой оси абсцисс и .

Так как квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий определенно-положительны, то коэффициенты инерции и жесткости удовлетворяют условиям (59) и (61), т.е.

, , ; (59')

, , . (61')

Предположим для определения, что . Для построения параболы зададим ряд значений и определим из (67) соответствующие значения , учитывая условия (59') и (61'). Имеем:

, ;

, ;

; .

Расположив в (67) слагаемые по убывающим степеням , получим

. (67')

Так как коэффициент при положителен, то , когда . По полученным данным строим график параболы (рис. 17). Из графика параболы следует, что корни уравнения частот и располагаются в интервале

,

т.е. парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках и , так как значения и отрицательны в точках и , что и требовалось доказать.

К

Рис. 17

олебание системы с частотой, квадрат которой и обобщенная координата , получается в том случае, если другая обобщенная координата , т.е. при дополнительном наложении связи на систему. Аналогично, колебание с квадратом частоты и обобщенной координатой получается при , что тоже связано с дополнительными наложением связи. Частоты и называются парциальными частотами системы. Из проведенного анализа следует, что они заключены между главными частотами, причем наименьшая из них больше первой главной частоты. Так влияет на частоты дополнительное наложение связей, при котором не изменяются коэффициенты инерции и жесткости системы.

Случай, когда , возможен при

,

При этом . Парабола касается оси .

В случае равных частот каждое из уравнений системы (65) является тождеством, справедливым при любых значениях , . Системы дифференциальных уравнений (63) распадается на два независимых уравнения: одно – для , другое – для . Их решения имеют вид

; .

Постоянные , , , определяются из начальных условий

; ; ; ; .

Система в этом случае совершает гармонические колебания. Каждая из обобщенных координат и изменяется по синусоидальному закону независимо друг от друга с одинаковыми частотами.

В случае разных частот каждой из них соответствуют определенные значения , , , , – для частоты , , , – для частоты . В соответствии с этим получим по два значения обобщенных координат и :

(68)

, составляют главное колебание для частоты , а , – для частоты . Каждое из главных колебаний является гармоническим для обеих обобщенных координат.

Система однородных линейных уравнений (65) дает возможность определить только отношение амплитуд. Для первого и второго главных колебаний соответственно получаем

. (69)

Отношения амплитуд в главных колебаниях и называют коэффициентами формы. Из (68) следует, что коэффициенты формы равны отношениям обобщенных координат в главных колебаниях:

; . (70)

Коэффициенты формы и характеризуют формы главных колебаний. Они могут быть положительными и отрицательными. Если, например, , то и имеют одинаковые фазы; если , то их фазы отличаются на .

Общее решение системы уравнений (63), учитывая (70), можно выразить в форме

(71)

Четыре произвольные постоянные , , , определяются из начальных условий.

Итак, собственные линейные колебания системы с двумя степенями свободы состоят из суммы двух главных гармонических колебаний с частотами и .