1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания

Так как использование главных координат при учете линейного сопротивления не ведет к существенным упрощениям системы дифференциальных уравнений, но в то же время нарушает симметрию, то целесообразно использовать обобщенные координаты и . В этом случае кинетическая и потенциальная энергии выражаются формулами (57) и (60), а диссипативная функция – (62)

Обобщенные возмущающие силы считаем гармоническими:

; .

Подставляя эти значения указанных величин в уравнения Лагранжа (56), получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений колебаний с учетом линейного сопротивления:

;

. (97)

Решение системы уравнений (97) для каждой координаты является суммой собственных движений , и вынужденных колебаний , :

; .

В зависимости от корней характеристического уравнения для однородной системы уравнений, которая получается из (97) путем отбрасывания правых частей, они могут быть линейной комбинацией затухающих колебаний с затухающими непериодическими движениями или этими движениями по отдельности.

Рассмотрим вынужденные колебания , . Они являются частными решениями системы уравнений (97). В этом случае их следует искать в форме

(98)

Постоянные , , , связаны с постоянными , , , соотношениями

(99)

и соответственно амплитуды , и сдвиги фаз ,

(100)

Подставим (98) в систему уравнений (97). Получим тождества справедливые для любого момента времени. Если в каждом тождестве собрать отдельно члены с синусами и косинусами, то коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает систему уравнений для определения неизвестных , , , :

(101)

Можно доказать, что это система неоднородных линейных уравнений, т. е. ее определитель не равен нулю ни при каких значениях . Решая систему уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличии от случая отсутствия сопротивления.

В случае системы с степенями свободы выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания остаются прежними.

Более сложные колебания совершают системы с бесконечным числом степеней свободы, как, например, различные типы сплошных сред. В некоторых случаях их можно с достаточной точностью заменить системой с конечным числом степеней свободы.

Для сплошных сред дифференциальные уравнения движения будут уравнениями в частных производных в отличие от систем с конечным числом степеней свободы, для которых дифференциальные уравнения являются обыкновенными.

2. Теория удара

2.1. Основные положения и понятия теории удара

Ударом называют явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости части или всех точек системы изменяются на конечные величины по сравнению с их значениями непосредственно перед ударом или после него. Длительность удара составляет обычно десятые и меньшие части долей секунды.

И зменение скоростей точек при ударе на конечные величины связано с большими ударными ускорениями этих точек, возникновение которых требует больших ударных сил.

Е

Рис. 18

сли – ударная сила, – длительность, или время удара, то характерный график изменения ударной силы за время удара от момента до момента имеет вид, показанный на рис. 18. Ударная сила быстро возрастает от нуля в момент начала удара до максимального значения, затем так же быстро уменьшается обычно по другому закону до нуля в конце удара. Во многих случаях не требуется детального знания закона изменения ударной силы. Достаточно знать только суммарный импульс этой быстро меняющейся силы за время удара или ударный импульс. Ударным импульсом называют векторную величину

. (102)

Ударный импульс графически изображен на рис. 18 заштрихованной площадью, ограниченной кривой линией изменения ударной силы, и осью абсцисс, по которой откладывается время.

Иногда рассматривают среднюю ударную силу – постоянную в течение удара силу, которая за время удара дает такой же ударный импульс, как и переменная ударная сила. Средняя ударная сила определяется из соотношения

. (103)

Большие ударные силы дают конечные ударные импульсы за малое время удара. Средняя ударная сила, согласно ее определению, имеет величину порядка , т. е. при малом является величиной большой.

Импульс неударной силы, например силы тяжести тела, за время удара имеет порядок величины , т. е. является величиной малой по сравнению с ударными импульсами. Поэтому импульсами неударных сил можно пренебрегать по сравнению с ударными импульсами.

При ударе двух тел в месте их соприкосновения возникают деформации и, следовательно, перемещения точек тел, обусловленные деформациями. Вследствие малости деформаций по сравнению с перемещениями точек тел за конечный промежуток времени перемещения точек тел за время удара являются величинами малыми. В общем случае, если – средняя скорость за время удара какой-либо точки системы, испытывающей удар, то перемещение этой точки имеет порядок величины , так как средняя скорость есть величина конечная. Поэтому перемещениями точек за время удара можно пренебрегать. Считают, что за время удара точки системы не успевают изменить свое положение, а следовательно, не изменяются радиусы-векторы точек и их координаты. Если, например, тело падает на спиральную пружину, то за время удара величина перемещения тела равна сжатию пружины за это время. Этим перемещением можно пренебречь по сравнению, например, с перемещением тела от начала удара тела до момента наибольшей деформации пружины. При ударе пружину можно считать твердым телом в приближенных расчетах при рассмотрении перемещения тела за время удара.

Явление удара широко используется в технике при ковке, штамповке, забивке свай и т.д. Это же явление часто является нежелательным, особенно при ударе деталей в машинах друг о друга вследствие люфтов, при ударе колес транспорта о неровности дороги, стыки рельсов и т. п.

Многие величины, характеризующие удар, с достаточной точностью могут быть получены из общих теорем динамики. Рассмотрим особенности применения этих теорем к явлению удара.