2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе

Пусть материальная точка под действием ударного импульса испытывает удар. По теореме об изменении количества движения для точки имеем

,

где и – скорости точки до и после удара. Умножим это векторное равенство слева векторно на радиус-вектор точки , который один и тот же непосредственно перед ударом и после него. Получаем

. (110)

Это соотношение выражает теорему об изменении кинетического момента для точки при ударе. Применяя ее для каждой из точек системы, имеем

,

, (110')

где и – внешний и внутренний ударные импульсы, действующие на -ю точку системы. Суммируя (110') по всем точкам системы и вводя обозначения кинетических моментов системы до и после удара и векторной суммы моментов внешних ударных импульсов относительно точки , получим следующую теорему об изменении кинетического момента системы при ударе:

, (111)

так как

, ,

,

по свойству внутренних сил. Таким образом, изменение кинетического момента системы относительно точки за время удара равно векторной сумме моментов относительно той же точки внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы. В проекциях на оси координат векторное равенство (111) принимает следующую форму:

, ,

. (111')

Если удар испытывает твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси , и и – угловые скорости до и после удара, то, учитывая, что

,

где – момент инерции тела относительно оси вращения, из (111) получаем следующее изменение угловой скорости тела:

или . (112)

В (112) не входят моменты ударных импульсов реакций закрепленных точек оси вращения, так как они пересекают ось вращения, если не возникают ударные импульсы сил трения в местах закрепления оси.

Частные случаи.

1. Если , то из (111) следует закон сохранения кинетического момента системы относительно точки при ударе:

. (113)

2. Если имеется ось, например , относительно которой , то из (111') получаем закон сохранения кинетического момента системы относительно оси при ударе:

. (113')

2.4. Удар точки о неподвижную поверхность

2.4.1. Прямой удар

У дар называют прямым, если скорость точки перед ударом направлена по нормали к поверхности в точке удара (рис. 20). После удара материальная точка отделится от поверхности, имея в общем случае скорость , направленную тоже по нормали к поверхности.

Д

Рис. 20

ля оценки ударных свойств поверхности и тела, принимаемого за материальную точку, введем коэффициент восстановления . Коэффициентом восстановления называют отношение числового значения скорости точки после удара к числовому значению ее до удара, т.е.

. (114)

Если , то удар называется абсолютно упругим. В этом случае и при ударе точки изменяется только направление скорости на противоположное. При удар считается абсолютно неупругим. Скорость точки при таком ударе о неподвижную поверхность после удара . В более общем случае абсолютно неупругого удара точки по движущейся поверхности точка после удара движется вместе с соответствующей точкой поверхности. В случаях, при которых , удар называют просто упругим или частично упругим.

Процесс удара точки о неподвижную поверхность можно разделить на фазу деформации и фазу восстановления. Фаза деформации продолжительностью отсчитывается от момента начала удара до момента наибольшей деформации тела, которое принимается за материальную точку. В конце этой фазы скорость точки при ударе о неподвижную поверхность равна нулю. В течение фазы восстановления материальная точка от момента наибольшей деформации до ее отделения от поверхности частично восстанавливает свою первоначальную форму при упругом ударе. При абсолютно упругом ударе форма тела восстанавливается полностью. В случае абсолютно неупругого удара форма тела совсем не восстанавливается, удар имеет только одну фазу деформации. Общее время удара . При абсолютно неупругом ударе и .

На точку при ее прямом ударе о неподвижную поверхность со стороны поверхности действует ударная сила реакции поверхности . Она изменяется по величине в течение удара, но все время направлена по нормали к поверхности.

Применим к первой и второй фазам удара точки теорему об изменении количества движения в проекции на направление внешней нормали к поверхности, за которое принимаем направление, противоположное скорости точки до удара. Для первой фазы имеем

,

где – ударный импульс силы реакции поверхности за первую фазу удара. Для второй фазы соответственно

,

где – ударный импульс силы реакции поверхности за вторую фазу удара. Действием импульсов неударных сил за время удара, например силы тяжести, пренебрегаем. Итак, имеем

, .

Отсюда

. (115)

Формула (115) дает выражение коэффициента восстановления через ударные импульсы: коэффициент восстановления при прямом ударе точки о неподвижную поверхность равен отношению числовых значений ударных импульсов за вторую и первую фазы удара. Выражение коэффициента восстановления через ударные импульсы, полученное при ударе точки о неподвижную поверхность, считают справедливым и в случае прямого удара точки по движущейся поверхности.

Полный ударный импульс складывается из импульсов и , т.е.

.

При ; при . Ударный импульс при абсолютно неупругом ударе в два раза меньше ударного импульса при абсолютно упругом ударе.