6.2. Спектр и законы излучения абсолютно чёрного тела

Модель абсолютно чёрного тела позволяет экспериментально изучать распределение энергии в спектре этого излучения. Для этого необходимо стенки полости поддерживать при некоторой постоянной температуре и исследовать излучение через малое отверстие. Разлагая это излучение в спектр и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно получить экспериментальные кривые при различных температурах (рис.6.2). Анализ кривых зависимости излучательной способности чёрного тела от температуры, позволил установить следующие законы теплового излучения.

Рис.6.1. Рис.6.2.

Закон Стефана-Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:

R₀ = T⁴, (6.6)

где  = 5,67 ^. 10^-8 Вт/м ²К ⁴ – постоянная Стефана-Больцмана. Этот закон установлен экспериментально Стефаном, считавшим что он справедлив для любых тел, и выведен теоретически Больцманом, доказавшим его применимость только для абсолютно черного тела

Закон смещения Вина (1 закон Вина): положение максимума испускательной способности абсолютно черного тела связано с его температурой следующим соотношением:

_max T = b, (6.7)

где b = 2,9^. 10^-3 м ^.К – постоянная смещения Вина, _max – длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности (рис.6.2).

2 закон Вина: максимум испускательной способности абсолютно черного тела пропорционален пятой степени его абсолютной температуры:

r_0max =C T⁵, (6.8)

где С = 1,3 ^. 10^-5 Вт/(м³ К⁵) – постоянная Вина.

Следует отметить, что закон Стефана-Больцмана и законы Вина определяют энергетическую светимость, положение и высоту максимума испускательной способности, но не дают зависимость r_,T. Попытка определить вид этой функции была предпринята Рэлеем и Джинсом. Они рассматривали излучение, как набор стоячих волн, энергия которых определяется классической статистикой, и в результате получили следующее соотношение

r_,T = 8 k T  ^-4, (6.9)

называемое формулой Рэлея-Джинса. Эта функция правильно описывает поведение r_,T в длинноволновой области спектра, но при 0 стремится к  (на рис.6.2 это показано пунктиром).

Несовпадение экспериментальных и теоретических результатов получило название «ультрафиолетовой катастрофы», так как правильное, корректное использование классических представлений приводит к абсурду и не позволяет получить выражение для испускательной способности абсолютно чёрного тела.

Правильное выражение для функции Кирхгофа было получено в 1900 г. Планком на основе предположения, что свет излучается отдельными порциями энергии (квантами или фотонами), величина которых пропорциональна частоте излучения:

E = h = ħ, (6.10)

где h = 6,63 ^. 10^-34 Дж ^. с, ħ = h/(2).

Планк получил следующее выражение

(6.11)

которое называется формулой Планка для теплового излучения и правильно описывает спектр излучения абсолютно черного тела во всём интервале длин волн.

Определяя R₀ через интеграл от r_0,T, можно получить пропорциональность R₀ четвертой степени температуры, причем рассчитанный коэффициент пропорциональности совпадает с постоянной Стефана-Больцмана. Если найти максимум функции r_0,T , приравнять ее производную нулю, то получится соотношение между _max и T, совпадающее с законом смещения Вина, а подставив это соотношение в формулу Планка можно получить второй закон Вина.

Таким образом, формула Планка правильно описывает испускательную способность абсолютно черного тела и позволяет получить законы теплового излучения. Зная же характеристики излучения абсолютно черного тела, можно определить излучение любого другого тела.