4.1.3. Задача № 3. Расчет рамы
Из расчета на прочность при изгибе подобрать размеры коробчатого сечения рамы (рис. 4.3 а) h, b, t, приняв h/b = 2,
t = 0,2b (см. рис. 4.3 б).
Принять а = 1 м, q = 10 кН/м, материал сталь Ст.3, пределы текучести для которой при растяжении и сжатии одинаковы и равны МПа, а коэффициент запаса прочности n = 1,5.
Данные взять из табл. 4.1.
а
Рис. 4.3
б
Рис. 4.3 (продолжение)
4.1.4. Задача № 4. Расчет кривого бруса
Из расчета на прочность при изгибе подобрать размеры d и D кольцевого сечения кривого бруса (рис. 4.4 а), приняв d/D = 0,6 (см. рис. 4.4 б).
Принять R = 1 м, материал сталь Ст.3, пределы текучести для которой при растяжении и сжатии одинаковы и равны МПа, а коэффициент запаса прочности n = 1,5.
Данные взять из табл. 4.1.
а
Рис. 4.4
б
Рис. 4.4 (продолжение)
4.2. Расчет балок
4.2.1. Основные понятия и зависимости [1]
При
решении задач, связанных с расчетом на
прочность при изгибе, важно научиться
правильно определять поперечную силу
Qу
и изгибающий
момент М
в поперечном сечении балки и строить
эпюры этих внутренних силовых факторов.
Обычно решение задачи начинают с определения опорных реакций (если в этом есть необходимость). Для этого необходимо составить уравнения равновесия (для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать три независимых уравнения равновесия). Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, для чего записывают дополнительное уравнение равновесия. Если реакции определены верно, это уравнение удовлетворяется тождественно.
Далее разбивают балку по ее длине на участки. В пределах каждого участка аналитические выражения Qу и М остаются неизменными. Границами участков являются: 1) сечения, в которых приложены сосредоточенные силы; 2) сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты; 3) сечения, в которых происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки.
Рассматривая произвольное поперечное сечение на каждом участке, используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Qу в сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:
. (4.1)
Изгибающий момент М х в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил относительно центра тяжести рассматриваемого сечения, действующих на отсеченную часть балки:
. (4.2)
При этом вводятся следующие правила знаков для Q y и М х. Внешняя сила, поворачивающая отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, дает положительную поперечную силу (положительное слагаемое в выражении для Qу) и наоборот (рис. 4.5 а)
Внешний момент, действующий относительно рассматриваемого сечения и изгибающий балку выпуклостью вниз (создающий сжатие в верхних волокнах балки), дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для М х) и наоборот (см. рис. 4.5 б).
а
б
Рис 4.5
Поперечная сил. Q у, изгибающий момент М х и интенсивность распределенной нагрузки q связаны дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского
, 
, 
, (4.3)
где q – интенсивность распределенной нагрузки; z – координата, определяющая положение сечения балки.
При построении эпюр Q у и М х и их контроле следует учитывать правила, вытекающие из дифференциальных зависимостей (4.3) и непосредственно из метода сечений.
Построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определяют положение наиболее опасного с точки зрения прочности сечения балки (если балка имеет постоянное по ее длине сечение, то это сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения). Расчет на прочность проводим, используя условие прочности по нормальным напряжениям:
,
(4.4)
где М х – изгибающий момент в опасном сечении; W х – осевой момент сопротивления сечения; - допускаемое напряжение.
4.2.2. Задача. Расчет на прочность статически определимой двухопорной балки
Для заданной двухопорной балки (рис. 4.6 а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты этих эпюр. Принять а = 1 м ,
q = 10 кН/м, Р = 1,5qа, m = 2,25qа2, а1 = 3а, а2 = 1,5а.
Из условия прочности подобрать диаметр D сплошного
круглого
сечения, размеры b
и h
прямоугольного сечения с отношением
сторон h/b
= 1,5 и сечение в виде двух одинаковых не
связанных между собой швеллеров,
поставленных вплотную друг к другу (см.
рис. 4.6 б). Установить какое сечение
рациональнее, сравнив для них коэффициенты
экономичности К = W
х/
.
Принять материал – сталь Ст. 3, предел
текучести
ТР
=
ТС
= 225 МПа, а коэффициент запаса прочности
n
= 1,5.
а
б
Рис 4.6
Решение
Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчет на прочность. Из условия прочности (4.4) проектный расчет ведется по соотношению
.
Для определения изгибающего момента в опасном сечении балки (то есть наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) нужно построить эпюры поперечной силы Qу и изгибающего момента М х.
I. Определение реакций опор.
Горизонтальная составляющая для шарнирно-неподвижной опоры Н = 0, так как нет сил, наклонных или параллельных оси z. Для определения реакций RА и RВ записываем два уравнения равновесия. Уравнение моментов всех сил относительно точки А
Откуда
