2. Рпр № 1. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии
2.1.
Задания на РПР №1
2.1.1. Задача №1. Расчет статически определимого стержня
Стальной
ступенчатый стержень, защемленный с
одной стороны, нагружен равномерно
распределенными нагрузками и
сосредоточенными силами (рис.2.1). Проверить
прочность стержня, если допускаемое
напряжение для материала
=160МПа.
Проверить жесткость стержня в сечении
I
– I,
если допускаемое перемещение
Собственным
весом стержня пренебречь.
Данные
взять из табл. 2.1. Принять а=1м; F=10см2;
q=
;
E=2105
МПа.
Рис.2.1
Таблица 2.1
№ варианта |
Нагрузки |
Размеры |
||||||||||
q1 |
q2 |
q3 |
P1 |
P2 |
P3 |
l1 |
l2 |
l3 |
F1 |
F2 |
F3 |
|
1 |
q |
|
|
|
2qa |
3qa |
0,2a |
0,4a |
0,6a |
F |
0,6F |
1,2F |
2 |
q |
|
|
|
-2qa |
3qa |
0,4a |
0,6a |
0,2a |
F |
0,7F |
1,2F |
3 |
q |
|
|
|
2qa |
-3qa |
0,6a |
0,2a |
0,4a |
F |
0,8F |
1,2F |
4 |
-q |
|
|
|
2qa |
3qa |
0,2a |
0,4a |
0,8a |
F |
0,9F |
1,2F |
5 |
-q |
|
|
|
-2qa |
3qa |
0,4a |
0,8a |
0,2a |
F |
0,6F |
1,4F |
6 |
-q |
|
|
|
2qa |
-3qa |
0,8a |
0,2a |
0,4a |
F |
0,7F |
1,4F |
7 |
q |
|
|
qa |
|
3qa |
0,2a |
0,4a |
a |
F |
0,8F |
1,4F |
8 |
q |
|
|
-qa |
|
3qa |
0,4a |
a |
0,2a |
F |
0,9F |
1,4F |
9 |
q |
|
|
qa |
|
-3qa |
a |
0,2a |
0,4a |
1,2F |
0,6F |
1,4F |
10 |
-q |
|
|
qa |
|
3qa |
0,2a |
0,6a |
a |
1,2F |
0,7F |
1,4F |
11 |
-q |
|
|
-qa |
|
3qa |
0,6a |
a |
0,2a |
1,2F |
0,8F |
1,4F |
12 |
-q |
|
|
qa |
|
-3qa |
a |
0,2a |
0,6a |
1,2F |
0,9F |
1,4F |
13 |
|
2q |
|
|
2qa |
3qa |
0,4a |
0,6a |
0,8a |
1,2F |
0,6F |
1,6F |
14 |
|
2q |
|
|
-2qa |
3qa |
0,6a |
0,8a |
0,4a |
1,2F |
0,7F |
1,6F |
15 |
|
2q |
|
|
2qa |
-3qa |
0,8a |
0,4a |
0,6a |
1,2F |
0,8F |
1,6F |
16 |
|
-2q |
|
|
2qa |
3qa |
0,2a |
0,6a |
0,4a |
1,2F |
0,9F |
1,6F |
17 |
|
-2q |
|
|
-2qa |
3qa |
0,6a |
0,4a |
0,2a |
1,4F |
0,6F |
1,6F |
Таблица 2.1 (продолжение)
№ варианта |
Нагрузки |
Размеры |
||||||||||
q1 |
q2 |
q3 |
P1 |
P2 |
P3 |
l1 |
l2 |
l3 |
F1 |
F2 |
F3 |
|
18 |
|
-2q |
|
|
2qa |
-3qa |
0,4a |
0,2a |
0,6a |
1,4F |
0,7F |
1,6F |
19 |
|
2q |
|
qa |
|
3qa |
0,2a |
0,8a |
0,4a |
1,4F |
0,8F |
1,6F |
20 |
|
2q |
|
-qa |
|
3qa |
0,8a |
0,4a |
0,2a |
1,4F |
0,9F |
1,6F |
21 |
|
2q |
|
qa |
|
-3qa |
0,4a |
0,2a |
0,8a |
1,4F |
0,6F |
1,8F |
22 |
|
-2q |
|
qa |
|
3qa |
0,2a |
a |
0,4a |
1,4F |
0,7F |
1,8F |
23 |
|
-2q |
|
-qa |
|
3qa |
a |
0,4a |
0,2a |
1,4F |
0,8F |
1,8F |
24 |
|
-2q |
|
qa |
|
-3qa |
0,4a |
0,2a |
a |
1,4F |
0,9F |
1,8F |
25 |
|
|
3q |
qa |
2qa |
|
0,2a |
0,8a |
0,6a |
1,6F |
0,6F |
1,8F |
26 |
|
|
3q |
-qa |
2qa |
|
0,8a |
0,6a |
0,2a |
1,6F |
0,7F |
1,8F |
27 |
|
|
3q |
qa |
-2qa |
|
0,6a |
0,2a |
0,8a |
1,6F |
0,8F |
1,8F |
28 |
|
|
-3q |
qa |
2qa |
|
0,2a |
a |
0,6a |
1,6F |
0,9F |
1,8F |
29 |
|
|
-3q |
-qa |
2qa |
|
a |
0,6a |
0,2a |
1,6F |
0,6F |
2F |
30 |
|
|
-3q |
qa |
-2qa |
|
0,6a |
0,2a |
a |
1,6F |
0,7F |
2F |
31 |
|
|
3q |
qa |
|
3qa |
0,4a |
0,8a |
0,6a |
1,6F |
0,8F |
2F |
32 |
|
|
3q |
-qa |
|
3qa |
0,8a |
0,6a |
0,4a |
1,6F |
0,9F |
2F |
33 |
|
|
3q |
qa |
|
-3qa |
0,6a |
0,4a |
0,8a |
1,8F |
0,6F |
2F |
34 |
|
|
-3q |
qa |
|
3qa |
0,2a |
0,6a |
0,8a |
1,8F |
0,7F |
2F |
35 |
|
|
-3q |
-qa |
|
3qa |
0,6a |
0,8a |
0,2a |
1,8F |
0,8F |
2F |
2.1.2. Задача №2. Расчет статически неопределимой стержневой системы.
Для заданной стержневой системы (рис.2.2), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:
1) при известном
соотношении площадей подобрать из
расчета на прочность диаметры поперечных
сечений стержней, если допускаемое
напряжение
;
2) при рассчитанных значениях диаметров определить напряжения в стержнях, возникающие при сборке системы, если известно, что помеченный (помеченные) (II) на расчетной схеме стержень (стержни) изготовлен (изготовлены) длиннее (короче) проектного размера на величину . Нагрузку при этом считать отсутствующей. Проверить прочность стержней при ;
Данные взять из
табл. 2.2. Принять
.
Рис. 2.2
Рис. 2.2 (продолжение)
Таблица 2.2
№ варианта |
Номер расчетной схемы |
Нагрузки, кН |
, мм |
Размеры, м |
||||
Р1 |
Р2 |
Р3 |
а1 |
а2 |
а3 |
|||
1 |
1 |
10 |
20 |
- |
+0,5 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
2 |
2 |
10 |
20 |
- |
-0,6 |
0,7 |
0,9 |
0,5 |
3 |
3 |
10 |
20 |
- |
+0,7 |
0,9 |
0,5 |
0,7 |
4 |
4 |
10 |
20 |
- |
-0,8 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
5 |
5 |
10 |
20 |
- |
+0,9 |
0,8 |
1,0 |
0,6 |
6 |
6 |
10 |
20 |
- |
-1,0 |
1,0 |
0,6 |
0,8 |
7 |
7 |
10 |
20 |
- |
+1,1 |
0,7 |
0,9 |
1,1 |
8 |
8 |
10 |
20 |
- |
-1,2 |
0,9 |
1,1 |
0,7 |
9 |
1 |
- |
20 |
30 |
+1,3 |
1,1 |
0,7 |
0,9 |
10 |
2 |
20 |
-30 |
- |
-1,4 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
11 |
3 |
- |
20 |
30 |
+1,5 |
1,0 |
1,2 |
0,8 |
12 |
4 |
-20 |
40 |
- |
-1,6 |
0,8 |
0,9 |
1,1 |
13 |
5 |
- |
20 |
30 |
+1,7 |
0,9 |
1,1 |
1,3 |
14 |
6 |
- |
20 |
30 |
-1,8 |
1,1 |
1,3 |
0,9 |
15 |
7 |
20 |
-50 |
- |
+1,9 |
0,7 |
0,8 |
1,2 |
16 |
8 |
- |
20 |
30 |
-2,0 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
17 |
1 |
10 |
- |
30 |
+2,0 |
0,9 |
1,4 |
1,0 |
Таблица 2.2 (продолжение) |
||||||||
№ варианта |
Номер расчетной схемы |
Нагрузки, кН |
, мм |
Размеры, м |
||||
Р1 |
Р2 |
Р3 |
а1 |
а2 |
а3 |
|||
18 |
2 |
-30 |
40 |
- |
-1,9 |
0,8 |
0,9 |
1,2 |
19 |
3 |
10 |
- |
30 |
+1,8 |
0,5 |
0,8 |
1,0 |
20 |
4 |
30 |
-20 |
- |
-1,7 |
0,8 |
1,0 |
0,5 |
21 |
5 |
10 |
- |
30 |
+1,6 |
1,0 |
0,5 |
0,8 |
22 |
6 |
10 |
- |
30 |
-1,5 |
0,6 |
1,1 |
0,9 |
23 |
7 |
-40 |
10 |
- |
+1,4 |
1,1 |
0,9 |
0,6 |
24 |
8 |
10 |
- |
30 |
-1,3 |
0,9 |
0,6 |
1,1 |
25 |
1 |
20 |
-40 |
- |
+1,2 |
0,5 |
1,0 |
0,7 |
26 |
3 |
20 |
-30 |
- |
-1,1 |
1,0 |
0,7 |
0,5 |
27 |
5 |
-30 |
20 |
- |
+1,0 |
0,7 |
0,5 |
1,0 |
28 |
6 |
20 |
- |
-50 |
-0,9 |
0,5 |
0,9 |
1,1 |
29 |
8 |
- |
-50 |
10 |
+0,8 |
0,9 |
1,1 |
0,5 |
30 |
1 |
- |
30 |
-50 |
-0,7 |
1,1 |
0,5 |
0,9 |
31 |
3 |
- |
30 |
-40 |
+0,6 |
0,7 |
1,1 |
1,0 |
32 |
5 |
20 |
- |
-40 |
-0,5 |
1,1 |
1,0 |
0,7 |
33 |
6 |
- |
-20 |
40 |
-0,6 |
1,0 |
0,7 |
1,1 |
34 |
8 |
-40 |
20 |
- |
+0,7 |
0,6 |
1,0 |
0,8 |
35 |
1 |
-20 |
- |
40 |
-0,8 |
1,0 |
0,8 |
0,6 |
2.2. Расчет статически определимых стержней [1]
2.2.1. Основные понятия и зависимости
При растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает только нормальная сила N.
Брус, работающий на растяжение (сжатие), называют стержнем.
Нормальная сила N определяется методом сечений и равна алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения. При этом сила N считается положительной, если она вызывает растяжение стержня, то есть направлена от сечения стержня (в сторону отброшенной части).
Нормальные
напряжения
в поперечном сечении стержня определяют
по формуле:
, (2.1)
где F-начальная площадь поперечного сечения.
Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид:
, (2.2)
где - допускаемое напряжение для материала стержня.
Если материал
стержня по-разному сопротивляется
растяжению и сжатию, то при растяжении
,
а при сжатии
,
где
,
-
допускаемые напряжения на растяжение
и сжатие соответственно.
Перемещение одного поперечного сечения стержня по отношению к другому можно определить по формуле:
, (2.3)
где l-расстояние между сечениями; EF – жесткость стержня.
Если N=const, EF=const, то
(2.4)
Условие жесткости имеет вид
,
(2.5)
где
- допускаемое перемещение.
2.2.2. Задача. Расчет на прочность и жесткость ступенчатого стержня
Стальной ступенчатый
стержень, защемленный с одной стороны,
нагружен двумя сосредоточенными силами
Р1,
Р2 и
распределенной нагрузкой интенсивностью
q
(рис.2.3). Проверить прочность стержня
при допускаемом напряжении для его
материала
.
Проверить жесткость стержня в сечении
I-I,
если допускаемое перемещение
.
Собственным весом стержня пренебречь.
Числовые данные:
.
Рис.2.3
Решение
Стержень защемлен с одной стороны. Поэтому реакции защемления можно не определять. Тогда, используя метод сечений, необходимо отбрасывать левую часть стержня.
Разобьем стержень на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, резко (скачком) изменятся распределенная нагрузка или площадь поперечного сечения. На каждом участке запишем выражение для нормальных сил N.
1
участок:
.
Как видим нормальная сила изменяется на участке по линейной зависимости.
При
при
.
2
участок:
3
участок:
.
По полученным данным в системе координат “N-Z” строим эпюру нормальных сил (см.рис.2.3.)
Нормальные напряжения на участках стержня равны:
при
:
;
при
:
.
По полученным
значениям в системе координат
строим эпюру нормальных напряжений
(см.рис.2.3.). Как видим, максимальное
нормальное напряжение
<
,
то есть условие прочности (2.2) выполняется.
Определим перемещение сечения I – I (по отношению к неподвижному сечению в заделке) (см.рис.2.3.)
Так как
<
,
то условие жесткости выполняется.