3. Рпр № 2. Расчеты на прочность и жесткость при кручении круглых валов
3.1. Задания на РПР № 2
3.1.1. Задача № 1. Расчет статически определимого вала
К стальному валу
кольцевого сечения (рис.3.1) приложены
заданные скручивающие моменты М
,
М
,
М
,
М
,
М
.
Требуется:
1) при заданном
значении допускаемого касательного
напряжения [
]=
80 МПа определить диаметры вала, приняв
d=
0,8 D;
2) проверить
жесткость вала, приняв модуль сдвига
G=8
·
МПа и [
]=3
Данные взять из табл. 3.1.
+
+
+
+
+
M
M
M
M
4
M
a
b
c
b
a
D
.
.
.
.
+
Р
41
Таблица 3.1
№ варианта |
Моменты, кНм |
Размеры, м |
Коэффициенты |
||||||||
М |
М |
М |
М |
М |
a |
b |
c |
К |
К |
К |
|
1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
|
0,1 |
1,0 |
0,5 |
0,6 |
0,5 |
2,0 |
2 |
0,2 |
|
-0,6 |
|
|
0,2 |
0,9 |
0,6 |
0,7 |
0,6 |
1,9 |
3 |
0,2 |
|
|
-0,8 |
|
0,3 |
0,8 |
0,7 |
0,8 |
0,7 |
1,8 |
4 |
0,2 |
|
|
|
1,0 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
1,7 |
5 |
|
0,4 |
-0,6 |
|
|
0,5 |
0,6 |
0,9 |
1,0 |
0,9 |
1,6 |
6 |
|
0,4 |
|
-0,8 |
|
0,6 |
0,5 |
1,0 |
0,9 |
0,8 |
1,5 |
7 |
|
0,4 |
|
|
1,0 |
0,7 |
0,4 |
0,9 |
0,8 |
0,7 |
1,4 |
8 |
|
|
-0,6 |
-0,8 |
|
0,8 |
0,3 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
1,3 |
9 |
|
|
-0,6 |
|
1,0 |
0,9 |
0,2 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
1,2 |
10 |
|
|
|
-0,8 |
1,0 |
1,0 |
0,1 |
0,6 |
0,7 |
0,6 |
1,1 |
11 |
-0,2 |
0,4 |
|
|
|
0,9 |
1,0 |
0,5 |
0,8 |
0,7 |
1,2 |
12 |
-0,2 |
|
0,6 |
|
|
0,8 |
0,9 |
0,4 |
0,9 |
0,8 |
1,3 |
13 |
-0,2 |
|
|
0,8 |
|
0,7 |
0,8 |
0,3 |
1,0 |
0,9 |
1,4 |
14 |
-0,2 |
|
|
|
1,0 |
0.6 |
0,7 |
0,2 |
0,9 |
0,8 |
1,5 |
15 |
|
0,4 |
0,6 |
|
|
0,5 |
0,6 |
0,1 |
0,8 |
0,7 |
1,6 |
16 |
|
0,4 |
|
0,8 |
|
0,4 |
0,5 |
0,2 |
0,7 |
0,6 |
1,7 |
17 |
|
0,4 |
|
|
-1,0 |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
0,6 |
0,5 |
1,8 |
Таблица 3.1 (продолжение)
№ варианта |
Моменты, кНм |
Размеры, м |
Коэффициенты |
||||||||
М |
М |
М |
М |
М |
a |
b |
c |
К |
К |
К |
|
18 |
|
|
-0,6 |
0,8 |
|
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,7 |
0,6 |
1,9 |
19 |
|
|
-0,6 |
|
-1,0 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,7 |
2,0 |
20 |
|
|
|
0,8 |
-1,0 |
0,2 |
0,1 |
0,6 |
0,9 |
0,8 |
1,9 |
21 |
0,2 |
-0,4 |
|
|
|
0,3 |
1,0 |
0,7 |
1,0 |
0,9 |
1,8 |
22 |
0,2 |
|
0,6 |
|
|
0,4 |
0,9 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
1,7 |
23 |
0,2 |
|
|
0,8 |
|
0,5 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
0,7 |
1,6 |
24 |
0,2 |
|
|
|
-1,0 |
0,6 |
0,7 |
1,0 |
0,7 |
0,6 |
1,5 |
2 |
|
-0,4 |
0,6 |
|
|
0,7 |
0,6 |
0,9 |
0,6 |
0,5 |
1,4 |
26 |
|
-0,4 |
|
-0,8 |
|
0,8 |
0,5 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
1,3 |
27 |
|
-0,4 |
|
|
1,0 |
0,9 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,7 |
1,2 |
28 |
|
|
0,6 |
-0,8 |
|
1,0 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
0,8 |
1,1 |
29 |
|
|
0,6 |
|
1,0 |
0,9 |
0,2 |
0,5 |
1,0 |
0,9 |
1,2 |
30 |
|
|
|
-0,8 |
-1,0 |
0,8 |
0,1 |
0,4 |
0,9 |
0,8 |
1,3 |
31 |
-0,2 |
-0,4 |
|
|
|
0,7 |
1,0 |
0,3 |
0,8 |
0,7 |
1,4 |
32 |
-0,2 |
|
-0,6 |
|
|
0,6 |
0,9 |
0,2 |
0,7 |
0,6 |
1,5 |
33 |
-0,2 |
|
|
-0,8 |
|
0,5 |
0,8 |
0,1 |
0,6 |
0,5 |
1,6 |
34 |
-0,2 |
|
|
|
-1,0 |
0,4 |
0,7 |
0,2 |
0,7 |
0,6 |
1,7 |
35 |
|
-0,4 |
-0,6 |
|
|
0,3 |
0,6 |
0,3 |
0,8 |
0,7 |
1,8 |
53.1.2 Задача № 2. Расчет статически неопределимого вала
К ступенчатому стальному валу сплошного сечения (рис.3.2) приложены заданные скручивающие моменты М , М , М , М , М . Требуется:
1) при заданном значении допускаемого касательного напряжения [ ]=80 МПа определить диаметры ступней вала;
2) проверить
жесткость вала, приняв модуль сдвига
G=8•10
МПа и [
]=0,05 1/М.
Данные взять из таблицы 3.1.
+
+
+
+
+
a
a
b
c
c
b
.
.
.
.
M
M
M
M
M
.
.
.
Рис. 3.2.
3.2 Основные понятия и зависимости [1]
Под кручением понимают такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Брус, работающий на кручение, называют валом. Крутящий момент в поперечном сечении вала, нагруженного моментами, определяется по формуле
44
М
=
, (3.1)
где M
-i
-й скручивающий момент, приложенный по
одну сторону от указанного сечения; n-
число моментов, приложенных к отсеченной
части вала. При записи этого соотношения
принимается, например, следующее условное
правило знаков, согласно которому
крутящий момент в рассматриваемом
сечении считается положительным, когда
М
вращает отсеченную часть вала против
хода часовой стрелки, относительно оси
вала Z,
если смотреть со стороны отброшенной
части.
Условие прочности при кручении круглого вала записывается в виде
,
(3.2)
где
-
допускаемое касательное напряжение;
W
=
-
полярный момент сопротивления сечения
вала с наружным диаметром D
и диаметром соосного отверстия d,
где
.
Взаимный угол поворота концевых сечений вала со ступенчатым изменением жесткости определяют по формуле
,
(3.3)
где G
-
модуль сдвига i-того
участка; M
-крутящий
момент на i-том
участке; l
-длина
i-го
участка;
полярный момент инерции сечения i-го
участка вала; m-
число участков вала.
Условие жесткости по относительному углу закручивания
представляется в виде
45
,
(3.4)
где
-
допускаемое значение относительного
угла закручивания.
Если рассчитывается статически неопределимый вал, то раскрытие статической неопределимости проводят по следующему алгоритму:
составляют уравнение равновесия;
устанавливают степень статической неопределимости;
рассматривая схему деформирования вала, составляют уравнение совместности перемещений;
в уравнении совместности перемещений заменяют углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала с помощью формулы (3.3);
решая систему из уравнений равновесия и совместности перемещений, определяют реактивные моменты.
Раскрытие статической неопределимости вала может быть выполнено также с помощью метода сил (см. раздел 2).
3.3. Задача. Расчет на прочность и жесткость статически определимого вала
К стальному валу кольцевого сечения (рис. 3.3) приложены заданные скручивающие моменты М =0,2 кНм и М =1 кНм. Требуется:
1) при заданном
значении допускаемого касательного
напряжения
определить диаметры вала, приняв d=0,8
D;
46
и допускаемый относительный угол
закручивания
Длины участков вала: a=0,2
м; b=0,4
м; с=0,6 м.
Решение
Брус работает на кручение. Проектный расчет вала на прочность выполняем из условия прочности (3.2), откуда следует, что полярный момент сопротивления сечения вала
(3.5)
Учитывая, что вал имеет постоянное по всей длине кольце-вое сечение, из (3.5) получим формулу для расчета наружного диаметра вала
(3.6)
Здесь
-расчетный
крутящий момент, который для вала
постоянного сечения равен максимальному
по абсолютной величине крутящему
моменту, установленному по эпюре крутящих
моментов.
Для построения эпюры крутящих моментов вначале разбиваем вал на участки. Границами участков в нашем случае служат сечения, в которых приложены внешние моменты. В рассматриваемой задаче участков будет два, пронумеруем их
справа налево. Делая сечения на каждом из выделенных участков и используя соотношение (3.1), запишем уравнения крутящих моментов, рассматривая каждый раз расположенную справа от сечения часть вала (чтобы не определять реактивный момент).
Участок I;
Участок II;
По полученным
значениям строим эпюру крутящих моментов
в координатах “
Z
” в соответствующем масштабе (см. рис.
3.3).
47
a
+2b+c
a
Z
Z
M
M
I
II
0
1,0
Z,
м
D
+
+
Mк,
кHм
0,8
.
.
.
.
Рис. 3.3
Проверку правильности
построения эпюры крутящих моментов
производим используя следующее правило.
В сечении, в котором приложен внешний
момент, на эпюре
должен быть разрыв (скачок) на величину
этого момента. Из эпюры крутящих моментов
следует, что расчетный крутящий момент
П
48
Для установления
номинального значения наружного диаметра
вала округляем его расчетное значение
до ближайшего целого в мм. и принимаем
D=48
мм. Тогда внутренний диаметр вала d=
Выполним проверочный расчет вала на жесткость, используя условие жесткости (3.4).
При постоянной по
длине вала крутильной жесткости G
наибольший относительный угол
закручивания
будет иметь место на первом участке, на
котором
м
Допускаемый относительный угол закручивания
Так
как
,
то условие жесткости выполняется.
3.4. Задача. Расчет на прочность и жесткость статически неопределимого вала
К ступенчатому
стальному валу сплошного сечения
(рис.3.4.) приложены заданные скручивающие
моменты
и
Требуется:
1
49
определить диаметры ступеней вала, если
2) проверить
жесткость вала, приняв модуль сдвига
и
.
Длины участков вала: a=0,2
м., b=0,4
м., с=0,6 м.
Решение
Рассматриваемый брус работает на кручение. Проектный расчет вала на прочность выполняем используя условие прочности (3.2), записанное для каждого из участков вала в виде
,
(3.7)
где i-номер участка вала.
Учитывая, что на
каждом участке вал имеет сплошное
сечение, для которого полярный момент
сопротивления сечения вала
, используя (3.7) получим формулу для
расчета диаметра вала D
из условия прочности i-того
участка
,
(3.8)
где
-
крутящий момент на i-том
участке вала, взятый по абсолютной
величине.
50
Z
Z,
м
Рис. 3.4
Значение
устанавливается по эпюре крутящих
моментов. Для построения эпюры крутящих
моментов вначале необходимо определить
реактивные (опорные) моменты
,
,
возникающие в опорных сечениях вала.
Для этого составим уравнение равновесия
вала
51
(3.9)
Имеем одно уравнение
равновесия, в котором два неизвестных:
и
.
Вал является статически неопределимым.
Степень статической неопределимости
n=1.
Для раскрытия статической неопределимости
вала необходимо составить одно
дополнительное уравнение (уравнение
совместности перемещений). В данной
задаче это уравнение можно составить,
исходя из условия отсутствия взаимного
поворота опорных сечений (в силу их
защемления) в виде
.
Это уравнение с учетом (3.3) в нашем случае
будет иметь вид
(3.10)
Разбиваем вал на участки. Границами участков в данной задаче служат сечения, в которых приложены внешние моменты и меняется диаметр вала. В рассматриваемой задаче участков будет четыре. Делаем сечения на каждом из выделенных участков и, используя соотношение (3.1), записываем уравнение крутящего момента.
Участок 1;
;
Участок 2;
;
Участок 3;
;
(3.11)
Участок 4;
;
Подставляя выражения крутящего момента, длин участков и полярных моментов инерции в уравнение (3.10), получим
.
П
52
(3.12)
Решая систему уравнений (3.9) и (3.12), определяем опорные моменты
М
=0,4кНм;
Располагая значениями опорных моментов и и используя выражения (3.11), устанавливаем крутящие моменты на выделенных участках вала
По рассчитанным
значениям крутящих моментов строим
эпюру в координатах
”
(см. рис. 3.4). Из условия прочности,
записанного для каждого выделенного
участка вала, по формуле (3.8) рассчитываем
диаметр вала
D
С
53
Выполним проверочный расчет вала на жесткость, используя условие жесткости (3.4). Определим относительные углы закручивания для каждого из выделенных участков вала.
Так как
, то условие жесткости не выполняется
и расчет диаметра вала необходимо
выполнять из условия жесткости,
записанного для третьего участка, на
котором
.
Округляя рассчитанное значение диаметра до целого в мм., принимаем D=54мм.
Т
54
Раскроем статическую неопределимость вала, используя метод сил [2] (см. раздел 2).
Устанавливаем степень статической неопределимости: n=1.
Выбираем основную систему. В качестве основной системы рассматриваем вал с отброшенной левой опорой (рис. 3.5,а).
Превращаем основную систему в эквивалентную (см. рис. 3.5,б). Здесь
-
искомый опорный момент.Составляем каноническое уравнение метода сил
где
-
углы поворота левого концевого сечения
в основной системе под действием
соответственно единичного момента и
заданных нагрузок (см. рис.3.5,в и 3.5,г).
Эти перемещения можно определить по
формулам
(3.14)
(3.15)
где m-число участков разбиения.
5. Выражения
крутящих моментов на участках основной
системы от заданных нагрузок
и от единичного момента
,
а также длины участков
и выражения полярных моментов инерции
приведены в табл. 3.2.
55
a
.
.
.
.
.
X
M
+
+
M
б
.
.
.
.
.
.
+
1
.
.
.
.
.
в
+
Z
Z
Z
Z
M
+
+
M
г
.
.
.
.
.
.
Z
Z
Z
Z
Рис. 3.5
56
Таблица 3.2
№ участка |
|
|
|
|
1 |
a |
0,1 |
1 |
0 |
2 |
b |
0,1 |
1 |
-М |
3 |
c + a |
0,1 |
1 |
-М |
4 |
b + c |
0,1 |
1
|
-М
-М |
После подстановки табличных значений в формулы (3.14) и (3.15) получим
(3.16)
(3.17)
6. Подставив (3.16)
и (3.14) в уравнение (3.13), найдем
57