2.3. Расчет статически неопределимых стержневых

систем методом сил [2]

2.3.1. Основные понятия и зависимости. Порядок расчета

Статически неопределимой называется такая стержневая система, для которой из уравнений равновесия и методом сечений невозможно определить все реакции связей и внутренние силовые факторы.

Разность между количеством неизвестных реакций связей и внутренних силовых факторов и числом независимых уравнений равновесия называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости равна количеству дополнительных (не требующихся по условию равновесия) связей, наложенных на систему.

Порядок раскрытия статической неопределимости методом сил.

1.Установить степень статической неопределимости n, то есть количество дополнительных связей.

2. Выбрать основную систему, освободив рассчитываемую конструкцию от нагрузок и дополнительных связей (разрезать n стержней). Основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой. Пронумеровать стержни, начиная с разрезанных.

3. Получить эквивалентную систему. Для этого к основной системе нужно приложить заданные нагрузки, а действие отброшенных дополнительных связей заменить силами приняв их за неизвестные.

4. Записать систему канонических уравнений метода сил

(2.6)

где i-порядковый номер уравнения (i=1,2, …,n).

5. Определить коэффициенты и свободные длины в системе (2.6).

Здесь - перемещение в основной системе в точке приложения силы и в направлении этой силы под действием силы

, (2.7)

где k-порядковый номер стержня; m-количество стержней в системе; N_ki-нормальная сила в k-м стержне основной системы, нагруженной силой X_i=1; N_kj – нормальная сила в k-ом стержне основной системы, нагруженной силой ;

l_k – длина k-го стержня; Е_k F_k – жесткость k-го стержня.

Величина представляет перемещение в основной системе в точке приложения силы X_i и в направлении этой силы от действия различных факторов (заданных нагрузок, изменения температуры, неточности изготовления стержней).

При действии заданных нагрузок

(2.8.)

где N_kp – нормальная сила в k-ом стержне основной системы от действия заданных нагрузок.

При изменении температуры стержней

, (2.9)

где - соответственно температурный коэффициент линейного расширения и изменение температуры k-го стержня.

При неточном изготовлении стержней

, (2.10)

где - неточность изготовления k-го стержня ( >0, если стержень длиннее проектного размера; <0, если стержень короче проектного размера).

При действии всех факторов (заданные нагрузки, изменение температуры и неточность изготовления стержней)

. (2.11)

Все перемещения (2.7) – (2.10) определяются методом Максвелла – Мора.

6. Решить систему канонических уравнений (2.6) и найти неизвестные силы Х₁,Х₂,…Х_n.

7. Определить нормальные силы в стержнях рассчитываемой системы.

Их можно найти из уравнений равновесия эквивалентной системы, которая после нахождения неизвестных сил Х₁, Х₂,…, Х_n становится статически определимой.

Можно также воспользоваться принципом независимости действия сил. Тогда силы в стержнях системы

Далее проводится расчет заданной стержневой системы на прочность или жесткость согласно условию задачи.

2.3.2. Задача. Расчет стержневой системы

Для заданной стержневой системы (рис.2.4,а), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

1) при заданной нагрузке Р и известном соотношении площадей подобрать из расчета на прочность диаметры поперечных сечений, если допускаемое напряжение

2) при рассчитанных значениях диаметров определить напряжения в стержнях, возникающие при сборке системы, если известно, что помеченный на расчетной схеме стержень изготовлен короче проектного размера на величину (силу Р при этом считать отсутствующей). Проверить прочность стержней при

Числовые данные: Р=20 кН; а=1м; =-1мм; Е=2·10⁵МПа.

Решение

1. Подбор диаметров стержней.

Подбор диаметров стержней выполняется из условия прочности (2.2), записанного для каждого стержня системы. Для этого необходимо предварительно определить нормальные силы в стержнях.

1. В данной задаче рассматривается равновесие абсолютно жесткого (недеформируемого) тела АВС (см.рис.2.4,а), закрепленного с помощью неподвижной шарнирной опоры А и двух стержней. Число неизвестных реакций опор (две реакции в шарнирной опоре А) и внутренних силовых факторов (нормальные силы в двух стержнях) равно четырем. В общем случае плоской системы сил может быть составлено три независимых уравнений равновесия.

Следовательно, система один раз статически неопределима (n=1).

2. Для выбора основной системы снимем нагрузку Р и разрежем один из стержней, а затем пронумеруем стержни (нумерация рекомендуется начинать с разрезанных стержней (см.рис. 2.4, б).

3. Получим эквивалентную систему. Для этого нагрузим основную систему силой Р, а в месте разреза первого стержня приложим неизвестную силу (см.рис.2.4, в). Нормальные силы рекомендуется направлять таким образом, чтобы стержни были растянутыми.

4. Система канонических уравнений (2.6) в данной задаче состоит из одного уравнения.

(2.13)

5. Для определения и рассмотрим два состояния основной системы: под действием заданной нагрузки Р (см. рис. 2.4, г). Найдем усилия в стержнях основной системы от заданной нагрузки.

Первый стержень разрезан, поэтому . Для определения нормальной силы во втором стержне запишем уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки А.

,

откуда .

Определим усилия в стержнях основной системы от силы X = 1. Очевидно, в первом стержне N₁₁ = 1. Записав уравнение моментов всех сил относительно точки А

,

найдем N₂₁=1. Тогда согласно (2.7) и (2.8)

;

6. Из уравнений (2.13)

;

Рис.2.4.

7. Усилия в стержнях заданной системы:

.

Результаты расчета показывают, что первый стержень растянут, а второй – сжат.

8. Из условия прочности (2.2) для первого и второго стержней

,

откуда имеем два неравенства для определения F:

,

.

Прочность стержней системы обеспечена, если .

Из соображений экономии материала примем F =71,4мм².

Таким образом, F₁=2F=142,8мм²; ;

.

2) Расчет монтажных напряжений. Вследствие неточности изготовления первого стержня при сборке системы возникают монтажные напряжения. Монтажные напряжения возникают только в статически неопределимых системах. Раскроем статическую неопределимость собранной системы (сила Р отсутствует).

1. Степень статической неопределимости n=1.

2. Основная система такая же, как и в первой части задачи (см.рис.2.4,б).

3. Эквивалентная система показана на рис. 2.4,е.

4. Каноническое уравнение имеет вид

.

5. (см. первую часть). Согласно (2.10)

, так как .

6. .

7. Нормальные силы в стержнях

.

Следовательно, оба стержня после сборки конструкции растянуты.

.

Как видим, монтажные напряжения на превышают допускаемого для материала стержней значения .