2.4. Расчет статически неопределимых стержневых систем геометрическим методом [1]

2.4.1. Основные понятия и зависимости. Порядок расчета

Прежде чем приступить к расчету, необходимо выяснить, какое тело (или шарнирный узел, в котором соединены несколько стержней) находится в равновесии. Классифицировать систему сил, действующих на тело (для шарнирного узла имеем систему сходящихся сил), и определить количество независимых уравнений для стержневой системы. Дальнейший расчет проводится в следующей последовательности.

1. Определяют степень статической неопределимости системы n, то есть разность между количеством реакций опор и внутренних силовых факторов и числом независимых уравнений равновесия.

2. Записывают уравнения равновесия. При этом стержни разрезают, а нормальные силы направляют таким образом, чтобы стержни были растянутыми.

3. Рассматривают систему в деформированном состоянии и составляют уравнения совместности перемещений, число которых равно степени статической неопределимости n системы. Уравнения совместности перемещений связывают между собой изменения длин стержней. При этом, если из схемы деформирования следует, что стержень удлинился, то его изменение длины берут со знаком ”плюс”. Если стержень укоротился, то изменение длины берут со знаком “минус” (- ).

При неточном изготовлении стержней можно использовать полученное уравнение совместности перемещений, составленное без учета неточности изготовления, но в этом уравнении необходимо заменить соответствующее изменение длины на ( +Δ), если стержень длиннее проектного размера на величину Δ, и на ( -Δ), если стержень короче проектного размера на величину Δ.

4. Выражают в уравнениях совместности перемещений изменения длин стержней через нормальные силы по формуле (2.4). Если при этом температура стержня изменилась на Δtº, то изменение его длины представляют в виде

(2.14)

5. Решают систему уравнений равновесия и совместности перемещений и определяют нормальные силы в стержнях системы.

Далее проводится расчет на прочность или жесткость заданной системы согласно условию задачи.

2.4.2. Расчет стержневых систем

Рассмотрим на примерах, как записываются уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений для разных стержневых систем.

Пример 1 (рис.2.5)

Рис. 2.5

В данном случае в равновесии находится абсолютно твердое (недеформируемое) тело АС, закрепленное с помощью шарнирной опоры А и двух стержней. Количество неизвестных реакций опор (две реакции в шарнире А) и внутренних силовых факторов (нормальные силы в стержнях 1 и 2) равно четырем. Количество независимых уравнений равновесия равно трем. Таким образом, система один раз статически неопределима.

П окажем силы, действующие на тело АС (рис.2.6)

Рис.2.6

Так как реакции R_АХ и R_АУ шарнира А для расчета стержневой системы не потребуются, то из трех уравнений равновесия можно записать одно (в виде суммы моментов всех сил относительно точки А)

- .

Рассмотрим систему в деформированном состоянии (рис.2.7). Точка А абсолютно твердого тела остается неподвижной. Поэтому точки, лежащие на прямой АС, перемещаются по дугам окружностей. Перемещение по дугам окружностей в силу их малости заменяем соответствующими отрезками касательных к ним.

Рис.2.7

Если стержни в процессе деформирования поворачиваются (стержень 2 на рис.2.7), то в силу малости угла поворота (угла ψ) длину стержня после деформирования(DC₁) определим как проекцию этой длины на ось стержня до деформирования (DC₁≈DC₁cos ψ=DC₂,т.к. cos ψ ≈1). Таким образом, изменение длины первого стержня характеризуется отрезком BB₁, а второго – отрезком СС₁.

Так как на схеме деформирования первый стержень растянут, а второй стержень сжат, то ВВ₁=Δl₁, а СС₂= -Δl₂.

Зависимость между Δl₁ и Δl₂ получим следующим образом. Из подобия треугольников АСС₁ и АВВ₁ следует

где СС₁=СС₂/sinα = -Δl₂/ sinα (см.рис.2.7)

Таким образом, уравнение совместности перемещений примет вид:

Пример 2 (рис.2.8)

В данном примере в равновесии находится шарнирный узел А, на который действует система сил, показанная на рис. 2.9.

Рис. 2.8 Рис.2.9

Для шарнирного узла А (плоская система сходящихся сил) можно составить два независимых уравнения равновесия. Поэтому рассчитываемая стержневая система один раз статически неопределима.

Запишем уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на оси х и у соответственно (см. рис.2.9)

Р ассмотрим систему в деформированном состоянии (рис.2.10)

Рис.2.10

Вследствие симметрии системы и ее нагружения шарнир А перемещается по вертикали в положение А₁ и изменения длин стержней 1 и 2 одинаковы (Δl₁= Δl₂). Из схемы деформирования (см.рис. 2.10) следует

АА₂=АА₁cosα,

где АА₂= Δl₂ (стержень 2 удлинился), а АА₁=-Δl₃ (стержень 3 укоротился).

Поэтому уравнение совместности перемещений принимает вид:

.

П ример 3 (рис. 2.11)

β β Рис. 2.11

Стержневая система состоит из пяти стержней, соединенных шарнирно. Рассматривая равновесие двух шарнирных узлов А и В, можно составить четыре независимых уравнения равновесия (по два уравнения для каждого узла). Таким образом, система 1 раз статически неопределима.

П окажем силы, действующие на узлы А и В (рис.2.12) и запишем уравнения равновесия.





Рис.2.12

Узел А:

Узел В:

Рассмотрим деформирование системы (рис.2.13). Вследствие симметрии системы и ее нагружения шарниры А и В перемещаются по вертикали и .

β

β

Рис.2.13

Из схемы деформирования (см. рис. 2.13) следует, что изменение длины третьего стержня равно:

,

где , причем ВВ₂= (стержень 5 удлинился), а АА₂= (стержень 2 укоротился).

Поэтому уравнение совместности перемещений примет вид

.

Пример 4 (рис. 2.14)

Рис. 2.14

В данном случае в равновесии находится абсолютно твердое (недеформируемое) тело АD, которое поддерживается с помощью трех вертикальных стержней 1,2,3. Горизонтальный стержень ОА рассматривается как шарнирная подвижная опора, допускающая вертикальные перемещения точки А и ограничивающая перемещения тела АD в горизонтальном направлении. Поэтому данная система один раз статически неопределима.

Покажем силы, действующие на тело АD (рис.2.15) и запишем уравнения равновесия.

.

Рассмотрим деформирование системы (рис.2.16). Точка А может перемещаться по вертикали, при этом абсолютно твердое тело АD может поворачиваться вокруг точки А.

Рис.2.15

Рис.2.16

На изображенной схеме деформирования (см. рис. 2.16) все стержни удлинились, то есть ВВ₁= , , .

Проведем прямую В₁D₂ параллельно прямой АD. Тогда из подобия треугольников В₁D₂D₁ и В₁С₂С₁ следует

,

где D₂D₁=

B₁D₂= .

Таким образом, уравнение совместности перемещений принимает вид:

.

Пример 5 (рис.2.17)

Рис.2.17

В равновесии находится абсолютно твердое (недеформируемое) тело АВС, закрепленное с помощью шарнирной опоры С и двух стержней. Система один раз статически неопределима.

Покажем силы, действующие на тело АВС (рис. 2.18).

Запишем уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки С (в это уравнение не войдут реакции шарнира R_cx и R_су, которые для расчета системы не потребуются).

Рис.2.18

.

Рассмотрим деформированное состояние системы (рис.2.19). Абсолютно твердое тело АВС при деформировании стержней 1 и 2 совершает вращательное движение вокруг точки С.

При этом в силу малости упругих деформаций перемещение точки А (АА₁) перпендикулярно АС, а перемещение точки В (ВВ₁) перпендикулярно ВС. Из схемы деформирования (см.рис.2.19) следует, что изменения длин стержней АА₂=∆l₁ (стержень 1 удлинился), а ВВ₁=-∆l₂ (стержень 2 укоротился).

β β Рис.2.19

Из подобия треугольников АА₁С и ВВ₁С.

где ;

.

Таким образом, уравнение совместности перемещений примет вид:

.

Записав уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений, дальнейший расчет стержневой системы проводят в соответствии с п. 2.4.1.