9.2. Определение координат профиля фрезы

Рассмотрим зацепление фрезы и детали (рис. 9.6). Профиль детали описывается в системе координат X—Y, центр которой О расположен в центре детали. Систему координат фрезы расположим следующим образом. Ось Y₀ направим по оси Y, а ось Х₀ — по начальной прямой фрезы.

Профилирование точки детали происходит, когда нормаль к профилю фрезы и детали в момент контакта совпадают. Геометрическое место точек контакта называется линией зацепления, а точка P пересечения нормали с начальной прямой является полюсом зацепления.

Положение 1 соответствует моменту профилирования точки тали, лежащей на начальном цилиндре. В некоторый начальный момент исходное положение точки А детали характеризуется полярными координатами r, φ и углом μ, между радиус-вектором r и касательной в рассматриваемой точке А детали. За время поворота из исходного положения 2 в положение 3 контакта точка А повернется на угол ψ и совпадет с профилирующей точкой фрезы A₀, которая за это время переместится по прямой в положение 3. Исходя из конечного положения детали и фрезы необходимо определить координаты точки А₀ в начальный момент. Если учесть, что точка А₀ переместилась на расстояние А'А" (по начальной окружности начальная прямая перекатывается без скольжения), то координаты точки фрезы определяются следующим образом:

(9.3)

где σ— угол поворота рассматриваемой точки от оси Y;

ψ— угол поворота рассматриваемой точки от начального положения.

Рис. 9.6. Схема профилирования зуба детали

реечным инструментом:

Ι – профиль инструмента; ΙΙ- профиль детали

Угол σ определяется как α—μ, где α — угол профиля фрезы:

.

Длина касательной и в рассматриваемой точке и расстояние до нее р определим как

;

.

Таким образом, взяв на детали ряд точек, определив для каждой из них r, φ, μ, можно рассчитать координаты профиля фрезы:

(9.4)

Угол μ имеет знак «+», если касательная в рассматриваемой точке повернута по часовой стрелке относительно радиуса r (см. рис. 9.6). Угол α принимается положительным для правой стороны межзубой впадины, отрицательным — для левой.

При профилировании точки детали, лежащей на начальном цилиндре (r=r_W), зависимости (9.4) упрощаются: α=μ; σ= 0; ψ=φ; x₀=r_W; y₀=0.

Уравнения (9.4) можно использовать и для решения так называемой «обратной» задачи - определения профиля детали по имеющемуся профилю фрезы. Необходимость решения этой задачи вызывается следующими соображениями:

1) фреза может иметь непрофилирующие участки, оформленные конструктором интуитивно. Эти участки несколько искажают теоретический профиль детали;

2) криволинейный профиль фрезы обычно заменяется линиями, Удобными в изготовлении (прямыми, дугами окружности), что также накладывает определенную погрешность на деталь.

Может иметь место также неуверенность конструктора в правильности полученных результатов и т. п. Решение обратной задачи и сопоставление при этом действительного профиля детали, получаемого обкаткой, с расчетным позволяет комплексно оценить правильность спроектированного инструмента. Зависимости для определения профиля детали можно найти из системы уравнений (9.4), преобразованной следующим образом:

(9.5)

Чтобы воспользоваться зависимостями (9.5), необходимо знать для каждой точки фрезы угол σ или α. Так как , из уравнений (9.3) имеем:

;

;

. (9.6)

Из выражения (9.6) исключим неизвестную при определении профиля детали величину r, используя первую формулу системы (9.5). Окончательно получим

; (9.7)

Принимая на профиле фрезы точку с координатами х₀,y₀, вычислив для нее угол α, а затем σ, найдем по зависимостям (9.5) координаты r и φ сопряженной точки детали. При наличии на профиле фрезы точки излома В₀ (рис. 9.7), в которой касательная, а следовательно, и угол α не определены, на детали будет иметь место разрыв между участками АВ и ВС (В'В"), который заполняется переходной кривой В'В", описываемой точкой В₀ при обкатке.

Рис. 9.7. Образование переходной кривой

на детали точкой излома фрезы

Координаты точек В' и В" рассчитываются по зависимостям (9.5) и (9.7) при подстановке одних и тех же значений , , но различных α. Координаты же переходной кривой В'В" выражаются соотношениями (9.5), а для определения σ используется выражение!

, (9.8)

полученное делением первой формулы системы (9.3) на вторую.

Изменяя ψ от начального значения, определенного для точки В₀, как принадлежащей участку А₀В₀, до конечного значения ψ, подсчитанного для точки В_о, принадлежащей участку В₀С₀, находим координаты r и φ переходной кривой на детали.