2.3 Построение алгоритмов вычисления производных обобщенных критериев оптимальности уцос

При решении задач оптимального проектирования УЦОС с использованием обобщенных критериев типа (2.14), (2.15) и (2.22) возникает необходимость расчета производных этих критериев. Для обобщенных критериев, заданных аналитически, можно воспользоваться аналитическими методами вычисления производных. Однако на практике такой подход имеет ограниченное применение, так как в конкретных задачах реальные обобщенные критерии имеют достаточно сложную структуру, не позволяющую воспользоваться аналитическим дифференцированием. Поэтому наряду с аналитическими на практике применяются также полуаналитические и численные методы. Следовательно, в коллектив конкурирующих алгоритмов расчета производных обобщенных критериев типа (2.14), (2.15) и (2.22) целесообразно включить алгоритмы, основанные на использовании аналитических, полуаналитических и численных методов.

Достоинства аналитических методов широко известны, однако область их применения достаточно ограничена. В основном они применяются при оптимальном проектировании широкополосных селективных УЦОС невысокого порядка. Полуаналитические методы занимают промежуточное положение между аналитическими и численными методами построения производных. Эти методы основаны на использовании специальной структуры оптимизируемых обобщенных критериев и в этом смысле оказываются менее универсальными, чем численные методы. Область их применения занимает промежуточное положение между узкополосными и широкополосными селективными УЦОС. В силу универсальности и относительной простоты реализации численные методы расчета производных используются при решении задач оптимального проектирования узкополосных селективных УЦОС большой размерности. Таким образом, основным критерием адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев является размерность вектора варьируемых параметров.

Общая схема алгоритмов расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС и их производных приведена на рис. 2.2.

Рассмотрим обобщенные критерии вида (2.22), как наиболее характерные для задач оптимального проектирования УЦОС. Имеем следующие выражения для составляющих вектора градиента:

(2.28)

, (2.29)

где - локальные критерии УЦОС

Вторые производные можно получить путем линеаризации функций вблизи текущей точки :

(2.30)

Используя (2.30), получаем

; (2.31)

(2.32)

Следовательно, вычисление вторых производных оптимизируемого обобщенного критерия может быть сведено к вычислению первых производных функций . Таким образом, при оптимизации обобщенных критериев оптимальности УЦОС достаточно остро стоит проблема расчета их производных.

Рассмотрим вывод формулы вектора градиента для обобщенного критерия типа (2.14) в случае, когда решается задача проектирования НЦФ и РЦФ. Для других случаев эти формулы выводятся аналогично. Компонентами вектора градиента, которые должны быть определены, являются и .

Принимая во внимание, что для НЦФ имеет место соотношение (2.23) и продифференцировав в частных производных формулу по p_n и q_n, а также произведя требуемые алгебраические преобразования, получим:

(2.33)

(2.34)

где u_s(k) и u_z(k) - алгебраические выражения, вид которых зависит от способа задания требований ЧТЗ к ЧХ и не оказывает существенного влияния на объем вычислений.

Выражения в фигурных скобках приведенных формул соответствуют однократному БПФ. С учетом общих членов формул (2.33) и (2.34) компоненты вектора градиента могут быть в последующем математически обработаны посредством двукратных БПФ.

Данный способ расчета компонент вектора градиента применим также и в случае, когда одновременно оптимизируются АЧХ и ФЧХ. При этом на практике очень часто вместо ФЧХ одновременно с АЧХ оптимизируется характеристика ГВЗ. В этом случае необходимо член формулы, соответствующий сумме ошибок ФЧХ обобщенного критерия, преобразовать в сумму ошибок характеристики ГВЗ. При этом в целях ускорения времени расчета характеристики ГВЗ предлагается использовать БПФ. Представив передаточную функцию НЦФ формулой (2.23) можно получить формулу для расчета характеристики ГВЗ в удобной для применения БПФ типа (2.25) форме:

(2.35)

Так как

(2.36)

где F и F^-1 соответственно прямое и обратное преобразование Фурье, то

(2.37)

где

Из формул (2.23) и (2.35) следует, что для быстрого вычисления характеристики ГВЗ целесообразно воспользоваться двукратным БПФ.

Быстрое вычисление компонент вектора градиента связана с необходимостью быстрого вычисления сумм вида:

(2.38)

Из формул (2.35), (2.37), а также из соотношений

следует, что

(2.39)

При этом

Второй член формулы (2.38) можно получить таким же путем. Из приведенных выше результатов следует, что вычисления по формуле (2.38) целесообразно проводить с использованием четырехкратного БПФ.

Передаточная функция РЦФ имеет вид [72]

, (2.40)

где

(2.41)

Можно показать, что для каскадной формы реализации РЦФ производные АЧХ по его коэффициентам, необходимые при вычислениях по формулам (2.28), (2.29), имеют вид

, (2.42)

, (2.43)

, (2.44)

, (2.45)

где

. (2.46)

Обратимся теперь к численным методам вычисления производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС. Достоинством численного подхода, кроме его универсальности, является низкая стоимость подготовки задачи к решению на ПЭВМ. От пользователя требуется лишь написание программы для вычисления значения при заданном . Для численного расчета первых производных в данной работе использована формула

(2.47)

где .

Величина шага s в формуле (2.47) может вычисляться двумя способами. В первом величину s на каждой k+1 -ой итерации определяют в соответствии с известным методом Стюарта [77], и находят как наименьший положительный корень кубического уравнения:

(2.48)

Здесь g_ii - диагональные элементы гессиана обобщенного критерия; - значение обобщенного критерия на k-ой итерации;  - машинная точность (=9.537*10^-7). Решение уравнения (2.48) находится способом, изложенным в [77].

Для ряда алгоритмов величина s является фиксированной в ходе работы и определяется из выражений:

(2.49)

где - i-я компонента вектора начального приближения; - некоторая малая величина. По результатам тестирования алгоритмов на классе тестовых задач величина принята равной 10^-4.

При использовании соотношения (2.47) вычислительные затраты характеризуются числом обращений к вычислению значений : для вычисления градиента – 2N, для вычисления матрицы Гессе - (2N²+1) обращений, где N - размерность вектора варьируемых параметров .

Эффективность приведенных способов расчета производных была исследована на классе тестовых задач оптимизации УЦОС. Результаты тестирования послужили основой для определения численных значений критериев адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС. К примеру, по результатам тестирования для использованного в данной работе варианта алгоритма соряженных градиентов величину s наиболее целесообразно вычислять как наименьший положительный корень кубического уравнения (2.48).

Отметим, что реализованные на основе численных производных методы оптимизации оказываются, по существу, методами 0 – го порядка [3]. Действительно, заменяя , например, конечно – разностной формулой (2.47), фактически используем лишь значения обобщенного критерия , вычисленные при определенных значениях аргумента.