1.2. Методика решения векторных задач оптимального проектирования

Предлагаемая в данной работе методика проектирования УЦОС базируется на решении задачи оптимального проектирования с векторной функцией цели и включает в себя шесть основных этапов:

- формирование и анализ ЧТЗ;

- формализация конкретной задачи оптимального проектирования;

- формирование допустимого множества альтернативных вариантов (ДМАВ) структур УЦОС;

- выбор метода векторной оптимизации;

- решение ЗВО и построение паретовского множества для структуры S_j;

- объединение множеств Парето для альтернативных структур и выбор оптимального решения.

Схема процесса проектирования УЦОС приведена на рис. 1.1.

Процедура формирования ЧТЗ происходит в соответствии с ее описанием, приведенным в п. 1.1. При выполнении этой процедуры незаменимы опыт и интуиция проектировщика. По этой причине формирование ЧТЗ целесообразно осуществлять в диалоговом режиме. Диалоговый режим способствует активизации творческой активности проектировщика. Происходит это за счет управляемого циклического обмена информации между проектировщиком и ПЭВМ, понимания проектировщиком возможностей ПЭВМ и своей ответственности при формировании ЧТЗ.

Этап формализации задачи оптимального проектирования заключается в выборе локальных критериев оптимальности, назначении критериальных, функциональных и параметрических ограничений. Выбор состава локальных критериев проектирования - сугубо немашинная процедура, и здесь незаменимы опыт и интуиция проектировщика. Поэтому процедуру векторной постановки задачи оптимального проектирования УЦОС целесообразно заложить в основу диалога проектировщика с ПЭВМ. Проектировщик должен решать проблемы формулировки конкретных задач оптимального проектирования и осуществлять ввод совокупности исходных данных. В ПЭВМ будут храниться библиотеки критериев оптимальности, критериальных, функциональных и параметрических ограничений, библиотеки методов оптимизации и. т. п.

Формирование ДМАВ структур обычно осуществляется либо путем выбора из ряда известных, либо путем синтеза новой (новых) структуры (структур) [1 - 2, 6, 13, 15, 33, 38, 41, 45, 52, 58]. Допустимой является та структура УЦОС, которая удовлетворяет всем требованиям ЧТЗ. Обычно для конкретного ЧТЗ существует целое множество допустимых структур [58]. Среди них необходимо найти одну, наиболее предпочтительную по векторному критерию структуру. На практике проектировщик знает ограниченное число структур аналога или прототипа, что совершенно не гарантирует оптимальности выбора, так как среди этих структур может не оказаться именно той, которая и будет оптимальной. Задача синтеза достаточно представительного множества допустимых структур рекурсивных ЦФ строго формализована и решена в монографии [58]. При этом синтез может быть изобретением, а может и не быть им. Достатчно полный перечень нерекурсивных структур можно найти в работе [15]. На четвертом этапе осуществляется выбор метода решения ЗВО

(1.18). Решение каждой конкретной ЗВО требует индивидуального подхода и связано с применением нескольких (комбинированных) методов оптимизации [1, 7 - 11, 13, 17, 19 - 20, 27, 31, 39, 43, 68, 77, 94].

На пятом этапе путем решения ЗВО (1.18) осуществляется поиск множества оптимальных по Парето вариантов для структуры S_j. В векторных задачах множество допустимых решений D может быть разделено на две части D=С , C =0 [68]. В первой (множество согласия С) качество решения может быть улучшено одновременно по всем локальным критериям. Во второй (множество Парето ) улучшение качества по одним критериям вызывает ухудшения качества других и выбор любого из них основан на компромиссе. Следовательно, поиск оптимального решения может быть ограничен множеством . Таким образом, для векторных задач сужается область возможных решений и осуществляется переход к задачам со строгим противоречием критериев.

Для практики реальный интерес представляет случай, когда число альтернативных устройств из множества допустимых решений D, удовлетворяющих всем ограничениям и условиям, много больше двух [14]. В этом случае нужно выделить множество парето - оптимальных устройств. При выделении все отсеиваемые устройства являются безусловно худшими, так как они найдены путем применения критерия Парето, который лишен какого-либо произвола и условности (безусловный критерий предпочтения) [19]. Если множество содержит только одну точку - задача считается решенной. Однако такой идеальный случай для задач проектирования УЦОС нереален, и полученное множество будет содержать более одной точки.

Наличие множества парето-оптимальных решений показывает, как разрешить противоречие (найти компромисс) между отдельными ЛКО. Однако критерий Парето не позволяет выбрать единственное решение из множества . Процедура выделения множества - легко формализуется, и ее может выполнить ЭВМ, а выбирать решения из может только проектировщик. Принципиальное отсутствие единственного оптимального решения не ограничивает, а расширяет творческие возможности проектировщика. Более того, изучение множества дает ему ценную информацию для принятия решения о выборе внутри множества .

Возможные формы множества для фиксированной структуры S устройства показаны на рис. 1.2 - 1.4 [14]. Для простоты рассматривается случай M=2. Все выводы естественно распространяются и на случаи M>2.

В ситуации на рис. 1.2 а между ЛКО и нет технического противоречия. При этом множество не худших решений вырождается в точку A' - это устройство и является оптимальным. В ситуации на рис. 1.2б имеет место противоречие между и - попытки улучшить ухудшают и наоборот. Решение Л - хорошее по , но плохое по . Решение Н - хорошее по , но плохое по . Оптимизация по , или образованной из них аддитивной или мультипликативной целевой функции

(1.22)

дала бы только одну из точек множества . В ситуации, показанной на рис.1.3б, оптимизация по , или их комбинациям (1.22) дала бы тоже единственное решение - Г. Таким образом, если противоречие существует, то форма дает информацию о его глубине.

В ситуации на рис. 1.3а ЛКО в меняются в широких пределах, противоречие - глубокое. Задача выбора единственного решения из - непростая, ущерб в случае неправильного решения - велик. При проектировании серийных изделий может оказаться целесообразным решение о выпуске ряда изделий, например Л, Г₁, Г₂, Н с различными сочетаниями ЛКО. В ситуации на рис.1.3б ЛКО в меняются в узких пределах, противоречие - неглубокое. Задача выбора - простая (например, можно выбрать среднюю точку Г). Риск в случае ошибочного решения невелик. Эта ситуация близка к ситуации на рис. 1.3а, поэтому можно говорить о практическом отсутствии противоречий.

Если противоречие сильное, форма дает информацию о его характере и возможности достижения компромисса. Противоречие в ситуации на рис. 1.4а - трудноразрешимое. Попытка улучшить вблизи точки Н или вблизи точки Л приводит к большому проигрышу в значении другого ЛКО. Компромисс в этой ситуации практически недостижим. Если форму путем коррекции изменить не удастся, наиболее естественное решение - выпускать два вида устройств - с параметрами Х вблизи точки Л и вблизи точки Н. Устройство с параметрами вблизи точки Г выпускать не стоит. Следует заметить, что ситуация, подобная представленной на рис. 1.4а, может быть идентифицирована и изучена только при векторной постановке задачи. Оптимизация целевых функций даже при варьировании коэффициентов в данном случае не может дать ничего, кроме точек Л или Н (в зависимости от весовых коэффициентов). Все промежуточные точки остались бы неизвестными. Противоречие на рис.1.4б - легкоразрешимое. В данном случае есть хороший компромисс - решение Г, в котором

Q_1г=Q_1л=Q_1min; Q_2г=Q_2н=Q_2min. (1.23)

Решение (1.23) по обоим ЛКО незначительно уступает наилучшим по и решениям. В ситуации, подобной показанной на рис. 1.4б, векторная постановка задачи наиболее оправдывается. Оптимизация по дала бы решение Л и большой проигрыш по , оптимизация по - решение Н и большой проигрыш по . Векторная постановка задачи дает проектировщику множество в виде кривой ЛГН, и он получает возможность найти хороший компромисс - точку Г. Следует признать, что в этом последнем случае точка Г или близкая к ней может быть найдена и в результате оптимизации целевых функций (1.23) с удачно подобранными коэффициентами. Но при такой технологии проектировщик не будет знать, что найденное решение является удачным компромиссом.

Если все альтернативные структуры S_j, j

[1,K] просмотрены, то осуществляется переход на шестой этап. В противном случае выбирается очередная структура S_j+1 и для нее выполняется пятый этап.

Шестой этап заключается в объединении множеств Парето для всех структур S_j, j[1,K] и выборе одного приемлемого решения. Для разных структур конструкций S области D, вообще говоря, разные (см. рис. 1.5). Можно предложить следующее правило поиска решений на множестве структур. Строится интегральное множество , являющееся объединением :

. (1.24)

Затем находится множество и выясняется, к каким структурам относятся его точки. Эти структуры являются парето-оптимальными. Таким образом, сопоставление различных устройств сводится к сопоставлению их множеств . Рис. 1.5 иллюстрирует процесс объединения и сопоставления множеств Парето для различных структур. В ситуации на рис.1.5 структуры S₁ и S₃ парето - оптимальные, содержащие точки множества . Структуры S₂ и S₄ следует исключить из дальнейшего рассмотрения. Эффективность новой структуры, в частности, вновь изобретенной [14] применительно к рассматриваемой постановке задачи следует оценивать, сопоставляя ее характеристики в пространстве ЛКО с множеством известных решений. Если хотя бы одна точка новой структуры S₅ попадает внутрь угла М₂ММ₁, то структура S₅ - безусловно лучшая, а S₁ и S₃ можно далее не рассматривать. Если структура S₅ при любых Х, удовлетворяющихне дает новых точек множества , она не представляет интереса для решения рассматриваемой задачи. После получения множества Парето для всех структур, необходимо выбрать единственное оптимальное решение. Для этого требуется принять решение о всевозможных (целесообразных) компромиссах между ЛКО. Обычно такое решение принимает проектировщик, руководствуясь особенностями конкретной задачи, а также своим опытом и интуицией. Однако более предпочтительным путем решения задачи выбора является скаляризация задачи. В этом случае мы приходим к однокритериальной задаче оптимизации на множестве Парето. Может создаться впечатление, что пришли к тому, с чего начали. Однако это не так, поскольку при формировании множества Парето отброшены все заведомо худшие в смысле векторной оптимизации варианты и предельно сужена область поиска.