4. Примеры решения задач оптимального проектирования

4.1 Оптимизация частотных характеристик устройств цифровой обработки сигналов нерекурсивной структуры

В наиболее широкой постановке задача оптимизации ЧХ НЦФ заключается в получении АЧХ и ФЧХ, описываемых передаточной функцией

(4.1)

где b_i, i=1,2…N-1 – коэффициенты передаточной функции, удовлетворяющие заданным ограничениям (см. рис. 4.1).

Здесь H_B() и H_Н() – ограничения сверху и снизу на вид желаемой АЧХ,  _B() и _Н() – ограничения сверху и снизу на вид желаемой ФЧХ.

Математически эту задачу можно записать в виде

(4.2)

а) б)

Рис. 4.1. Типовая постановка задачи оптимизации синтеза НЦФ:

а) ограничения на АЧХ; б) ограничения на ФЧХ

что приводит к необходимости решения системы неравенств вида

(4.3)

В наиболее общем случае ограничения нелинейны относительно своих параметров X_i, i=1,2…N, поскольку

(4.4)

(4.5)

Решение системы нелинейных уравнений (4.3) сведем к решениям соответствующей задачи нелинейного программирования (НЛП) без ограничений [  ]. Функция штрафа в задаче (НЛП) будет иметь вид

(4.6)

где _i  0 - представляют собой весовые коэффициенты; F[g_i(X,)] - функционал, который выбирается с учетом требований:

(4.7)

Существуют различные штрафные функции для решения задач оптимизации. Наиболее часто используются функции Розенброка, Вейсмана, Кэрояка. Вид используемой штрафной функции определяется особенностями решаемой задачи.

Достоинством предлагаемого подхода к оптимизации НЦФ заключается в том, что за счет перехода от задачи к задаче минимизации без ограничений значительно упрощается процедура вычислений, что особенно важно если учесть большую размерность решаемой задачи.

Покажем возможность применения оптимального подхода к решению задач оптимизации НЦФ с линейной ФЧХ. В качестве начального приближения возьмем фильтр, коэффициенты которого рассчитываются по формуле

где N = ?

В качестве штрафной функции используем модифицированную функцию Вейсмана, которая будет иметь вид

(4.8)

где

(4.9)

Для минимизации функции применим комбинацию метода ЛП - поиска и Давидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП) [  ], согласно которому минимизация осуществляется по итерационной схеме

(4.10)

Градиент определяется как

(4.11)

а гессиан вычисляется по формуле

(4.12)

где ⁱ - определяется путем одномерного поиска:

(4.13)

На рисунке 4.2 представлена АЧХ оптимизированного НЦФ полученная после 50 итераций ЛП - поиска и 14 итераций ДФП. Из рисунка видно, что оптимизированная АЧХ НЦФ полностью находится в зоне, заданной ограничениями. АЧХ фильтра начального приближения рассчитывались по формуле

4.2 Оптимизация частотных характеристик устройств цифровой обработки сигналов рекурсивной структуры

В программе оптимизационного проектирования цифровых фильтров (ЦФ) с произвольными амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ), приведенной в работах [3,4], в качестве метода оптимизации используется метод Давидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП), обладающий рядом недостатков. В работе описывается алгоритм и программа, построенные на основе метода сопряженных градиентов с улучшенной обусловленностью, позволяющая существенно сократить вычислительные затраты при проектировании ЦФ со сложными АЧХ.

Задача проектирования РЦФ со сложной АЧХ (многополосные фильтры, дифференциаторы и т. п.) решается с помощью оптимизационных методов, минимизирующих целевую функцию вида

(4.14)

где X – вектор коэффициентов a_1i, a_2i, b_1i, b_2i передаточной функции ЦФ H(z), представленной в каскадной форме - модуль H(z) АЧХ ЦФ;

A(_n) – эталонная АЧХ; W(_n) – весовая функция характеризующая «значимость» n–й точки эталонной АЧХ;

Функция (4.14) непрерывна, ее производные по элементам вектора X легко вычисляются в аналитическом виде и также являются непрерывными функциями [4,6]. Это позволяет применить позволяет применить для минимизации функции (4.14) наиболее эффективные методы нелинейного программирования, использующие производные.

Наиболее широко используется метод ДФП, поскольку при решении широкого класса задач он является одним из самых эффективных [5] и реализующие его программы имеются в стандартном математическом обеспечении большинства ЭВМ. Основным недостатком данного метода является то, что для овражных целевых функций аппроксимация обратной

матрицы Гессе в текущей точке H(Xⁱ) плохо обусловлена. Кроме того, поскольку аппроксимация матрицы вторых производных A(Xⁱ) также плохо обусловлена, вектор направления поиска Pⁱ, являющийся решением уравнения A(Xⁱ)=VQ(Xⁱ), не точно указывает на минимум целевой функции в следствие конечной разрядности представления чисел в ЭВМ. Эта неточность тем больше, чем овражнее функция, подвергающаяся минимизации, т. ею чем больше число обусловленности матрицы (прямой или обратной) ее вторых производных. Анализ целевых функций, формируемых при оптимизационном проектировании рекурсивных ЦФ, показал, что разброс чисел обусловленности достигает 10⁴, т. е. Для минимизации этих функций требуется применение методов, специально ориентированных на минимизацию овражных целевых функций.

Одним из таких методов является метод сопряженных градиентов с улучшением обусловленности [2]. Структурная схема алгоритма, реализующего данный метод, показана на рисунке 4.3. Исходными данными являются следующие параметры: АЧХ в линейном или логарифмическом масштабе; частота дискретизации; порядок проектируемого фильтра; начальные значения коэффициентов; точность поиска минимума целевой функции, точность одномерного поиска, максимальное число итераций.

Целевая функция, как и в работах [3,4], вычисляется согласно выражению (4.14). Однако, поскольку коэффициенты звена 2–го порядка передаточной функции фазоминимального ЦФ не превышают по модулю значения, равного двум, дополнительно вводится штраф (L – число коэффициентов, которое по модулю больше 2) при превышении i – значением вектора коэффициентов величины . Это уменьшает область поиска минимума целевой функции.

Градиент целевой функции вычисляется в соответствии с выражением

где - производная штрафа по соответствующей координате вектора коэффициентов ЦФ.

Одномерный поиск осуществляется с помощью алгоритма полиномиальной интерполяции с использованием квадратичной аппроксимации целевой функции в окрестности минимума. Он имеет более сильную сходимость по сравнению с методом «золотого сечения» и аналогичные вычислительные затраты [2].

Направление одномерного поиска при градиентном шаге определяется одновременно с вычислением градиента p(xk)=-VQ(xk), а при поиске по методу сопряженных градиентов с улучшением обусловленности – по следующим формулам [2]:

p_k=z_k+_k-1p_k-1;

где y_k-1=Q(x_k-1) – градиент целевой функции в k–й точке; ; - аппроксимация обратной матрицы Гессе, для вычисления которой используется формула ДФП.

Если какие–либо корни числителя или знаменателя передаточной функции спроектированного ЦФ расположены вне единичного круга, они заменяются на обратные с соответствующей корректировкой K^*, после чего процедура оптимизации повторяется. Если полученный ЦФ вновь окажется неустойчивым, снова осуществляется инверсия нулей и полюсов, расположенных вне круга, корректировка K^* и вывод результатов.

В качестве примера был спроектирован широкополосный дифференциатор [6] (с шагом 0.025).

В работе [6] с помощью программы, реализующей метод ДФП и приведенной в работах [3, 4] после 96 итераций были получены значение целевой функции Q=2.780*10^-4 и ЦФ со следующими параметрами: К^*=0,36637364; нули: 1; -0,67082621; полюса: -0,1424030; -0,71698670.

Предлагаемая программа после 19 итераций достигла Q=2.7512*10^-4. Полученный дифференциатор имеет следующие параметры:

(4.15)

Нули: 0.99973886; -0,67061978; полюса: -0,14240059; -0,71679645.

АЧХ дифференциатора из работ [3, 4] и полученного приведены на рисунке 4.4.