2. Формирование обобщенных критериев оптимальности устройств цифровой обработки сигналов и расчет их производных

2.1 Формирование обобщенных критериев оптимальности устройств цифровой обработки сигналов

УЦОС характеризуются множеством внутренних варьируемых параметров и некоторым числом выходных характеристик , , в заданном частотном диапазоне . Требования ЧТЗ на проектирование УЦОС в частотной области обычно задаются в виде двухсторонних ограничений

, . (2.1)

где – число выходных характеристик конкретного УЦОС; и - предельные значения требований к - ой выходной характеристике в заданном диапазоне частот. Аналогичные ограничения во временной области могут быть пересчитаны в частотную область на основе известной связи между временной и частотной областями [47,48]. При этом в случае, если требования ЧТЗ задаются в виде «эталонных» характеристик, в (2.1) = , для .

Представим неравенство (2.1) в векторной форме

 0,

где

.

Совокупность отклонений от заданных границ можно представить разными функциями. Пусть, например, функции отклонения представлены в виде

(2.2a)

либо в виде

, (2.2в)

где , - коэффициент, нормализующий отклонения путем положительного линейного преобразования.

Таким образом, свойства УЦОС оцениваются некоторой величиной вектора , в котором функция отклонения характеризует степень выполнения условий работоспособности для -ой ЧХ УЦОС при произвольных значениях компонент вектора , где - область допустимых значений. Наилучшим (оптимальным) УЦОС будет такое устройство, для которого векторный критерий имеет оптимальное значение, то есть

(2.3)

Выражение (2.3) фактически представляет собой задачу векторной оптимизации, решение которой во многих случаях удается свести к решению ряда задач скалярной оптимизации, где в качестве целевой функции используется тот или иной обобщенный критерий оптимальности [1, 7 – 11, 13 - 14, 17, 19 - 20]. Правильный выбор обобщенного критерия оптимальности в каждом конкретном случае весьма важен, поскольку он определяет адекватность математической постановки задачи и реальной проектной задачи. Рассмотрим алгоритмы формирования базового набора обобщенных критериев оптимальности УЦОС.

Очевидно, что скаляризация задачи векторной оптимизации сводится в рассматриваемом случае к формированию обобщенного критерия ). Связь с функцией определяется выбранной нормой. Если эту связь представить как

,

то формулировка задачи скалярной оптимизации имеет вид

(2.4)

В частном случае

(2.5)

задача скалярной оптимизации будет сформулирована в виде задачи минимаксной аппроксимации, а именно, подставляя (2.4) в (2,5) имеем

(2.6)

В общем случае аналитическое решение задачи (2.3) неизвестно. Для численных методов расчета характеристик устройства необходимо перейти к дискретной задаче путем покрытия области E -сетью с дискретными значениями ₁, ₂,…, _Р. Если обозначить , , , [1, ], [1,P], где - количество точек в поддиапазоне , то соответственно условия работоспособности будут определяться соотношениями

, , (2.7)

и

, (2.8)

а дискретная минимаксная задача, следующая из исходной непрерывной задачи (2.3), может быть сформулирована в виде задачи скалярной оптимизации, где

(2.9)

или в виде

(2.10)

Таким образом, задача векторной оптимизации фактически сведена к задаче скалярной оптимизации, решение которой связано с минимизацией M функции максимума (2.9), заданной на E^N.

В случае, когда критерий задан на всем пространстве E^N, имеем следующие выражения для непрерывных и дискретных задач скалярной оптимизации

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Нередко в качестве обобщенного критерия выбирается среднестепенная норма

(2.14)

где ; - заданная "эталонная" функция; - целое положительное число.

Когда требования ЧТЗ заданы в виде коридоров допусков, то в [2] предложено вместо обобщенного критерия (2.14)использовать критерий вида

(2.15)

где

,

При положительном максимальном отклонении обобщенный критерий (2.15) формируется из положительных функций-отклонений и наоборот.

Функции , , могут быть как линейными, так и нелинейными функциями параметров X. Исходя из условий работоспособности, решение ЗВО может считаться удовлетворительным, если все локальные критерии принимают отрицательные значения. Таким образом, задача векторной оптимизации УЦОС сведена к задаче скалярной оптимизации. В качестве целевой функции последней задачи выступает обобщенный критерий оптимальности, формируемый на основе совокупности локальных критериев или функций , . Задача скалярной оптимизации имеет в рассматриваемом случае вид

Мультипликативный и аддитивный обобщенные критерии соответственно определяются выражениями

(2.16)

(2.17)

где первые m₁ функций должны уменьшаться, а остальные m₂-m₁ - увеличиваться. Недостатками критериев вида (2.16), (2.17) являются [7, 10, 30, 48]: неограниченная возможность компенсации уменьшения качества по одному локальному критерию увеличением качества по другому (другим), что в ряде случаев маскирует внутренние технические противоречия оптимизируемого УЦОС.

Данные недостатки устранимы при использовании максиминного обобщенного критерия. В максиминном критерии, предложенном в [54], вводятся запасы работоспособности, представляющие собой относительные (безразмерные) оценки выполнения каждого из условий работоспособности

(2.18)

где _j - оценка рассеяния значений j-той функции.

Величина _j задается равной допуску или статистическому разбросу . Если эти величины неизвестны, ими надо задаваться исходя либо из предварительных расчетов, либо из опыта. Например, если путем расчетов или опытным путем установлено, что функция распределена по нормальному закону с дисперсией _j, то полагая, что в процессе оптимизации дисперсия _j меняется мало, можно считать _j=3_j.

При известных оценках рассеяния задачу векторной оптимизации можно поставить и решить как максиминную

(2.19)

или минимаксную

(2.20)

Критерий (2.18) также, как и критерий не является гладким, что существенно усложняет задачу оптимизации и требует применения специальных алгоритмов [54, 55]. В ряде случаев применяется подход, основанный на процедуре сглаживания критерия (2.20) с последующим обращением к методам гладкой оптимизации [3, 5, 7, 11, 28, 48].

Так как

то задача (2.20) эквивалентна задаче

(2.214)

Здесь к (2.21) применима среднестепенная свертка. В результате приходим к следующему обобщенному критерию оптимальности:

(2.22)

В результате, при решении задач векторной оптимизации УЦОС, когда требования ЧТЗ к ЧХ заданы либо в виде односторонних, либо в виде двусторонних неравенств, в качестве обобщенных критериев оптимальности целесообразно использовать целевые функции вида (2.14) – (2.20) и (2.22). Алгоритм формирования базового набора обобщенных критериев оптимальности УЦОС приведен на рис.2.1.

Рассмотренные выше целевые функции вошли в библиотеку целевых функций подсистемы оптимального проектирования УЦОС [62]. Базовый набор целевых функций, введенный в состав библиотеки алгоритмов подсистемы, позволяет сформировать различные требования к проектируемому устройству, и обеспечивает решение широкого круга задач оптимального проектирования УЦОС в различной постановке.