2.2 Алгоритмы экономичных вычислений частотных характеристик цифровых фильтров

Оптимальное проектирование УЦОС крайне затруднено даже с применением высокопроизводительных ПЭВМ и инженерных рабочих станциях (ИРС). Так как:

- в обобщенные критерии входит большое количество характеристик УЦОС, расчет которых требует значительных машинных и временных ресурсов;

- на каждом оптимизационном шаге используется многократный расчет всего устройства в целом, при этом основное время и ресурсы занимает расчет передаточных функций цифровых фильтров, входящих в состав УЦОС.

Рассмотрим основные приемы сокращения вычислительных затрат при решении задач оптимизации УЦОС, когда в их структуре имеется либо нерекурсивный , либо рекурсивный цифровые фильтры (НЦФ, РЦФ) [15, 33, 72].

Рис. 2.1. Схема алгоритма расчета обобщенных

критериев оптимальности УЦОС

Прежде всего рассмотрим алгоритм расчета частотных характеристик (ЧХ) НЦФ. Практически реализуемую ЧХ НЦФ можно записать в виде [72]

, (2.23)

где , - число точек дискретизации на оси частот. Тогда процедуру расчета ЧХ НЦФ условно можно представить следующей схемой:

. (2.24)

Расчет ЧХ НЦФ непосредственно по формуле (2.24) потребует больших затрат машинного времени. Для снижения этих затрат целесообразно воспользоваться дискретным быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Если воспользоваться стандартной процедурой БПФ, то время на подготовку данных для решения задачи расчета ЧХ НЦФ и ресурсы памяти ПЭВМ будут весьма значительными. Поэтому целесообразно воспользоваться приближенно быстрым дискретным преобразованием Фурье [72]. Тогда формулу (2.24) можно записать следующим образом:

(2.25)

где

Здесь N - положительное целое число, удовлетворяющее условию 2N < M.

С применением формулы (2.25) задача минимизации обобщенных критериев оптимальности из базового набора для НЦФ может быть решена одним из методов 0-го порядка, то есть методом минимизации с использованием только значений обобщенных критериев оптимальности и без вычисления их производных [3, 5, 7, 9, 12, 18, 34, 48, 66, 74, 78].

Для расчета ЧХ РЦФ, целесообразно воспользоваться следующим приемом, в основе которого лежит схема Горнера [30]. С этой целью представим передаточную функцию РЦФ в следующем виде:

(2.26)

Используем для расчета АЧХ и ФЧХ схему Горнера, согласно которой значение полинома Р(a,z)=a₀+a₁z^-1+…+a_nz^-n при z=z_k определяется по следующим рекуррентным соотношениям:

c_n=a_n

c_i=a_i+c_i+1z_k, i=n-1,…,1,0, (2.27)

P(a,z)=c₀.

Так как z=e^-jT, где  - значение частоты, а T - период дискретизации, то соотношение (2.27) для z_k=e^-jkT имеет вид

R_n=a_n

R_i=b_i+R_i+1cos )-I_i+1sin ),

I_i=-R_i+1sin )+I_i+1cos ), i=n-1,…,1,0,

A(e^-jkT)=R₀ )+jI₀ ).

По аналогии вычисляются значения полинома знаменателя

B(e^-jkT)=K₀ )+jL₀ ).

Тогда значение АЧХ на частоте k вычисляется по формуле

а значение ФЧХ - по формуле:

Здесь для расчета АЧХ требуется выполнить только 8n операций умножения, где n - порядок передаточной функции, и только два вычисления функций sin ) и cos ) независимо от n. Число операций умножения и вычисления этих функций непосредственно по соотношению равно соответственно 4n и 2n. При реализации на ПЭВМ вычислений sin ) или cos ) требуется обращение к соответствующим подпрограммам, в которых обычно используется 3...4 члена разложения функции в ряд Тейлора, т. е. требуется в среднем восемь операций умножения. Следовательно, при вычислении АЧХ звена цифрового фильтра второго порядка схема Горнера дает выигрыш в восемь операций умножения для каждого значения частоты. При увеличении порядка фильтра этот выигрыш существенно возрастает.

Рассмотрим еще один алгоритм приближенного расчета обобщенных критериев, используемый в данной работе. Его применение тем более целесообразно, чем сложнее математическая модель УЦОС, расчет которой необходим для вычисления значения целевой функции (обобщенного критерия).

Особенность предлагаемого алгоритма заключается в том, что каждая из функций заменяется параболой

.

Коэффициенты , , определяются как решение системы линейных уравнений, полученной из условия минимума суммы квадратов отклонений параболы от функции в точках , , на луче . Таким образом, если функция достаточно хорошо аппроксимируется параболами, то и функция успешно аппроксимируется функцией . При этом функция может и не обладать свойствами квадратичности.