2.4. Методы ssa-прогнозирования

Методы SSA прогнозирования хорошо проработаны [3,12,13]. Их суть сводится к тому, что временному ряду ставится в соответствие набор векторов, составленных из скользящих отрезков ряда выбранной длины L. Эти векторы порождают траекторное подпространство размерности r<L. Подпространство связано с линейными рекуррентными уравнениями и порождаемыми ими временными рядами. При прогнозировании с помощью метода SSA рассматривается множество временных рядов, описываемых с помощью линейных рекуррентных формул (ЛРФ). Ряд, управляемый ЛРФ, естественным образом порождает рекуррентное продолжение, так как каждый его член равен линейной комбинации некоторого количества предыдущих. Поэтому коэффициенты этой линейной формулы (если они известны) могут быть использованы и для продолжения временного ряда. В конечном итоге, ряд раскладывается на аддитивные компоненты: F⁽¹⁾ допускающую рекуррентное продолжение, и F⁽²⁾ – остаточного ряда. Продолжение F⁽¹⁾ строится на основе прогнозирующей ЛРФ на M точек. Рассмотрим основные методы прогнозирования.

2.4.1. Рекуррентное ssa-прогнозирование

Опишем формально алгоритм рекуррентного прогнозирова­ния.

Входные данные алгоритма:

1) Временной ряд , N > 2.

2) Длина окна L, 1<L< N.

3) Линейное пространство размерности r<L. Пред­полагается, что , где e_L = (0, 0,..., 0,1)^T R^L. Другими словами, не является «вертикальным» пространством. Обычно пространство задается некоторым ортонормированным базисом, но результаты прогнозирования не зависят от вида конкретного ба­зиса.

4) ЧислоM точек прогноза.

Обозначения и комментарии:

1) X = [Х₁ : ... :X_K] (где K = N — L + 1) - траекторная матрица временного ряда F_N.

2) P₁,..., P_r- ортонормированный базис пространства .

3) . Вектор является ортогональной проекцией X_i на пространство .

4) - результат ганкелизации матрицы . Матрица – траекторная матрица некоторого ряда .

5) Для любого вектора обозначим вектор, состоящий из последних L- 1 компонент вектора Y, a - вектор, состоящий из первых L-1компонент вектора Y.

6) Положим , где , — это последняя ком­понента вектора P_i(i = 1,..., r). Так как v² равняется квадрату косинуса угла между вектором e_L и линейным пространством , то его можно назвать коэффициентом вертикальности простран­ства .

7) Пусть (пространство не является вертикальным). Тогда v²< 1. Последняя координата y_L любого вектора является линейной комбинацией его первых компонент y₁,... ,y_L-1:

.

Вектор может быть представлен в виде

(4)

и не зависит от выбора базиса P₁,..., P_r пространства [3].

Алгоритм рекуррентного прогноза:

Используя введенные выше обозначения, определим временной ряд по формулам

(5)

Числа g_N,..., g_N+M-1 образуютM членов рекуррентного прогно­за [13].

Определим линейный оператор по формуле

.

Если положить

(6)

то матрица Z = [Z₁ : ... :Z_K+M] является траекторной матрицей временного ряда G_N+M. Следовательно, формула (6) может рас­сматриваться как векторная запись рекуррентного прогноза, опре­деленного в (5).

Обозначим траекторное пространство ряда F_N. Предположим, что и . Если использовать алгоритм рекуррентного SSA-прогнозирования с , то и, следовательно, . Это озна­чает, что начальные точки g_N-L+1,..., g_N-1 для прогнозирующей рекуррентной формулы (5) совпадают с последними L-1 элементами ряда F_N [3].