- •1. Общие положения
- •1.1. Цель и задачи кп
- •1.2. Содержание и объём кп
- •1.3. Этапы выполнения кп
- •2. Теоретические основы методов, применяемых в кп
- •2.1. Предварительная обработка статистических данных
- •2.2. Вейвлет анализ временного ряда
- •2.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
- •2.4. Методы ssa-прогнозирования
- •2.4.1. Рекуррентное ssa-прогнозирование
- •2.4.2. Векторное ssa-прогнозирование
- •2.4.3. Формирование доверительных интервалов
- •2.5. Основы аналитического подхода к оценке риска спектральными методами
- •2.5.1. Относительные меры риска
- •Спектральная плотность Fu(ω) распределения дисперсии ущерба
- •Энергетические спектры ущерба Fu(ω) и гармонического сигнала Fг
- •2.5.2. Расчет прогностической меры риска
- •Ряд прогноза y[n]
- •3. Этапы выполнения основной части кп
- •4. Пример анализа временного ряда предложенными методами
- •4.1. Статистика количества почтовых писем, классифицированных как спам
- •4.1.1. Предварительная обработка статистических данных
- •4.1.2. Вейвлет анализ временного ряда
- •4.1.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
- •4.1.4. Расчет прогностической меры риска
- •Исходный ряд и ряд прогноза
- •Ряд прогноза
- •4.2. Статистика случаев мошенничества с кредитными картами
- •4.2.1. Предварительная обработка статистических данных
- •4.2.2. Вейвлет анализ временного ряда
- •4.2.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
- •4.2.4. Расчет прогностической меры риска
- •Восстановленный ряд и ряд прогноза
- •Прогноз ущерба от мошеннических операций с распределенными платежными системами на 2012 год
- •Распределения вероятностей нанесения ущербов
- •5. Требования к оформлению и объему кп
- •5.1. Общие требования
- •5.2. Правила оформления текстовых документов
- •5.3. Правила нумерации страниц
- •5.4. Правила оформления иллюстраций
- •5.5. Оформление таблиц
- •5.6. Приложение
- •5.7. Типичные ошибки при выполнении кп
- •5.8. Дополнительные рекомендации по выполнению кп
- •6. Порядок оценки работы
- •Библиографический список Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.1.2. Вейвлет анализ временного ряда
Вейвлет преобразование обработанного статистического ряда. Выбор базового вейвлета осуществляется экспериментальным путем до получения необходимой «чувствительности» разложения.
Произведем вейвлет анализ ряда, изображенного на рис. 9, предварительно прологарифмировав и центрировав его в соответствии с (1).
Таким образом, сформирован сигнал риска, представленный на рис. 10.
Рис. 10. Пример сигнала риска
В качестве базового выберем вейвлет Morlet. График вейвлет разложения сигнала на рис. 11. На рис. 12 трехмерный вид разложения, с нормализованной амплитудой и реальным масштабом времени.
Рис. 11. Пример вейвлет разложения сигнала риска
Рис. 12. Пример трехмерного вида разложения в реальном масштабе времени
Далее рекомендуется выделить и проанализировать основные периодики.
Например, для анализируемого нами временного ряда, вейвлет разложение позволяет выявить несколько периодик. Во первых, сверхнизкочастотные составляющие – с периодом более 400 дней. Их присутствие свидетельствует о наличии тренда, являющегося носителем основной мощности сигнала. Выявимы также амплитудно-модулированные гармоники с периодами около года, месяца, недели и кратных этим значениям периодов, на уровне от –15 дБ до –25 дБ (пик амплитуды принят за 0 дБ). Для детального изучения их формы и вклада в мощность сигнала, произведем анализ методом сингулярного разложения (SSA).
4.1.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
Сингулярный спектральный анализ обработанного статистического ряда. Теоретические основы метода хорошо описаны в [11,12].
Приведем пример анализа и интерпретации полученных результатов ранее рассмотренного временного статистического ряда.
Длина окна L выбрана равной 168, из соображений приближения анализируемого периода к полугодовому, кратному 7, и половине длины ряда .
Скользящие средние и стандартные отклонения на рис. 13.
Средние и среднеквадратические отклонения ряда
Осредненные ковариации ряда
Ряд нестационарен, средние убывают из-за наличия тренда. Однако ввиду выполненных преобразований, четко проявляется основная - недельная периодика (рис. 14).
Собственные числа и функции от них на рис. 15-16.
Собственные числа в процентах
Функции собственных чисел
Одномерные графики собственных функций (рис. 17):
Собственные функции 1-21
Одномерные графики главных компонент (рис. 18):
Главные компоненты 1-21
Двумерные графики собственных функций (рис. 19):
Собственные функции
Двумерные графики главных компонент (рис. 20):
Главные компоненты
Амплитуда сигнала логарифмирована. В соответствии с принципами анализа ГК [11,12,14-16], интерес для нас представляют компоненты 1-2, 3-6, 7-10, 18-19. Их двумерные графики имеют «регулярную» структуру, что отличает их от «шумовых» компонент. Компоненты 1-2 представляют ярко выраженный тренд, суммарная их составляющая 33,266%. Компоненты 3-6, 7-10, 18-19 представляют периодики. Их следует рассмотреть более подробно.
Третья ГК, период около 7 дней
3 ГК представлена на рис. 21. 3-4 ГК представляют гармонику с периодом около 7 дней. Общий вклад –19,452%. Пятая ГК представлена на рис. 22.
Пятая ГК, период около 3,5 дней
5-6 ГК представляют гармонику с периодом около 3,5 дней. Общий вклад пятой и шестой компоненты составляет 7,167%. Седьмая ГК изображена на рис. 23.
Седьмая ГК, период около 29 дней
7-10 ГК представляют гармонику с периодом около 29 дней. Их общий вклад составляет 8,806%. Девятнадцатая ГК представлена на рис. 24.
Девятнадцатая ГК, период около 2,5 дней
18-19 ГК представляют высокочастотную гармонику с периодом около 2,5 дней. Их общий вклад составляет 1,333%. Таким образом, сумму первых двух трендовых компонент можно интерпретировать как сверхнизкочастотную составляющую с окологодовым периодом. 3-4 компоненты – недельная периодика. 7-10 ГК – месячная периодика. Компоненты 5-6, 18-19 – высокочастотные составляющие. Интерпретация их затруднительна. Их появление может быть обусловлено дискретизацией данных. Остальные компоненты можно интерпретировать как шум.