8.7. Плоское напряженно-деформированное состояние
До недавнего времени довольно большое количество практических задач допускалось значительное упрощение математической стороны решения вопроса о напряжениях. Так, во многих случаях с достаточной точностью можно считать, что в плоскостях, параллельных какой-либо плоскости координат, происходят одинаковые процессы деформации.
В качестве примера таких процессов можно привести различного рода деформации листового материала. В подобных задачах весь процесс можно рассматривать как бы в одной плоскости, например, плоскости xoy, для которой z = 0; процессы, происходящие в параллельных плоскостях, можно считать одинаковыми (рис. 30).
Рис. 30. Постановка плоских и осесимметричных задач
граничным условиям. Применение метода Галеркина и линеаризация задачи с «расщеплением» ее на две: о движении сплошной среды при заданном температурном поле и о распределении температуры в область с заданным движением о распределении температуры в область с заданным движением сплошной среды приводят к быстро сходящемуся итерационному процессу.
Далее рассмотрим особенности постановки задач для плоского и осесимметричного течений.
Плоское течение сплошной среды характеризуется тем, что все линии тока параллельны фиксированной плоскости и все скорости в соответствующих (т.е. лежащих на одной нормали к указанной плоскости) точках имеют одинаковую величину и направление.
В самом общем случае рассматриваемые плоские задачи бывают двух типов – плоское деформированное состояние и плоское напряженное состояние.
Вообще же плоское течение сплошной среды характеризуется тем, что все линии тока параллельны фиксированной плоскости и все скорости в соответствующих точках имеют одинаковую величину и направление.
Движение сплошной среды в связи с этим рассматривают в одной из параллельных плоскостей, которую называют плоскостью течения или физической плоскостью.
Каждая линия, проведенная в выбранной плоскости, на самом деле является направляющей цилиндрической поверхностью с образующими, перпендикулярными к плоскости. Контур обтекаемого тела представляется некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание бесконечного цилиндрического тела.
Осесимметричное напряженно-деформированное
состояние
Одним из частных случаев напряженного состояния, весьма часто встречающихся при обработке металлов давлением, является осесимметричное напряженное состояние, под которым понимают состояние тела вращения, к поверхности или части поверхности которого приложены распределенные нагрузки, расположенные симметрично относительно его оси и одинаковые во всех меридиональных сечениях (рис. 31).
При рассмотрении осесимметричного напряженного состояния удобно пользоваться взамен декартовых цилиндрическими координатами, в которых положение любой точки А определяется радиусом-вектором, полярным углом, отсчитываемым от выбранной оси и аппликатой z.
Рис. 31. Постановка осесимметричной задачи
При решении некоторых осесимметричных задач кроме цилиндрических, могут встретиться так же сферические координаты. В этой системе положение точки будет определяться радиусом-вектором и двумя углами, определяющими его положение в пространстве.
При осесимметричном напряженном состоянии компоненты напряжений не зависят от координаты и, следовательно, все производные по этой координате в дифференциальных уравнениях равновесия обратятся в нуль. Кроме того, в меридиональных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось z) не может возникнуть касательных напряжений вследствие симметричности тела и симметрии внешней нагрузки
8.9. Объемное напряженно-деформированное состояние
Математическое моделирование объемных пластических течений связано с большими математическими трудностями. Основная проблема – это размерность задачи. Так, при использовании метода конечных элементов решение трехмерных задач приводит к системам с многими сотнями или тысячами неизвестных.
Вместе с тем хорошо организованный вычислительный процесс позволяет обойтись более доступными ресурсами. Подход к решению краевых задач, основанный на концепции опорного решения и его последующего уточнения, дает возможность ограничиваться сравнительно простыми конструкциями уточняющих функций. Другими словами, для уточнения «хорошего» начального приближения требуется сравнительно небольшое число членов ряда или конечных элементов.
Во многих случаях при решении объемных задач рациональным оказывается применение имитационной модели. Содержащиеся в расчетных формулах эмпирические коэффициенты определяются в процессе проведения «обучающих» экспериментов, а затем апробируются на другой серии «проверочных» экспериментов.
Вопросы для самоподготовки
Перечислите методы расчета и проектирования на ЭВМ технологических процессов горячей штамповки?
Связь напряжений и деформаций?
Законы сохранения?
Плоское напряженно-деформированное состояние?
Осесимметричное напряженно-деформированное состояние?
Объемное напряженно-деформированное состояние?
Приведите зависимости для описания деформаций и
скорости деформации?