7.3. Этапы математического моделирования.

Основными этапами математического моделирования исследуемой системы являются постановка задачи, построение математической модели и исследование изучаемой системы на модели.

Главным на этапе постановки задачи является четкое определение и формулировка цели исследования.

Здесь же определяются зависимости, подлежащие изу­чению по результатам моделирования, а также основ­ные факторы (показатели), характеризующие изучаемый объект в плане поставленной цели исследования и подлежащие учету при построении математической модели.

Построение математической модели можно подраз­делить на стадии содержательного описания исследуемой системы, составления формализованной схемы и не­посредственной разработки математической модели.

Содержательное описание—это анализ исследуемой системы, включающий качественную и количественную характеристики происходящих в ней явлений, характер и степень взаимосвязи между ними и учет важности каждого явления в общем процессе функционирования изучаемой системы. Содержательное описание составляется на основе детального изучения системы и служит основой формализованной схемы и математической модели.

Составление формализованной схемы практикуется обычно тогда, когда непосредственный переход от со­держательного описания к разработке математической модели является затруднительным или даже невозможным. На этой стадии окончательно устанавливается система параметров и факторов, необходимых для целей исследования зависимости между ними, и дается точная математическая формулировка задачи исследования системы.

Непосредственная разработка математической модели является завершающей стадией построения модели. Построение самой математической модели заключается в преобразовании формального описания закономерностей и логических условий исследуемой системы (таблиц, графиков и т. п.) в описание в виде математических уравнений и неравенств, представляю­щих собой запись целевой функция и соответствующих ограничений в аналитической форме.

Исследование изучаемой системы на модели можно подразделить на следующие стадии: математический анализ модели, отбор и оценка исходной информации, численное решение, анализ решения и выработка реко­мендаций.

Математический анализ модели проводится с целью выявления качественных свойств модели (оценка возможности существования решений в плане цели иссле­дования, изучение зависимостей переменных от исход­ных условий и тенденций их изменения) и выбора математического метода численного решения задачи.

Отбор и оценка исходной информации производятся с применением методов теории вероятностей и мате­матической статистики и влияют на получение достоверных практических результатов решения.

Численное решение включает разработку алгоритмов, составление программ на ЭВМ и расчеты.

Анализ решения и выработка рекомендаций — за­ключительная стадия математического моделирования.

Рассмотрим более подробно отдельные стадии этого процесса.

В ходе инженерного анализа выполняются многочисленные расчеты: прочностные, динамические, теплофизические, кинема­тические и др. Смысл этих расчетов состоит в том, чтобы разрешить составленные уравнения относительно искомых неизвестных. При этом имеют дело с решением дифференциальных, интегральных и различного рода других алгебраических уравнений. Вычисления могут выполняться с помощью арифметических действий, а также с применением довольно сложного аппарата алгебры, дифференциального и интегрального исчисления. Не всегда система алгебраических уравнений, в том числе дифференциальных и интегральных, легко аналитически разрешается относительно искомых переменных.

В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестная переменная находится под знаком трансцендентной функции. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой.

Во многих случаях получение точных решений простым аналитическим способом невозможно, так что необходимо применять приближенные методы, например графические и численные. Кроме того, точное решение систем уравнений не является безусловно необходимым. Так, отыскание корней уравнения можно считать практически решенной задачей, если удается определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности. Все более широкое внедрение в практику вычислительных машин, цифровых и аналоговых, способствует повышению роли численных методов в инженерном анализе.

После выполнения вычислений необходимо проанализировать полученные результаты с точки зрения их соответствия поставленной задаче. Кроме того, необходимо выяснить, что нового дали результаты расчета. Эту новую информацию необходимо исследовать и обобщить. Исключительно важную роль в инженерном анализе играют проверки, которые должны проводиться на всех этапах анализа, а не только в конце работы. Обычно выполняются проверки математического и логического характера. Математические проверки касаются числовых результатов различных вычислительных операций. Они осуществляются путем повторения последовательности операций, обращения последовательности операций (например, проверка сложения вычитанием, проверка деления умножением и т. д.), применения другого способа получения результатов. Целью этих проверок является исключение ошибок при арифметических и алгебраических вычислениях.

Кроме того, проверке должны подвергаться и сами уравнения и символические результаты. Так, каждое уравнение должно быть проверено с точки зрения размерности, соблюдения граничных условий. Эти проверки являются хорошим способом обнаружения как принципиальных ошибок, так и ошибок, допущенных по не­внимательности.

Проверкам логического характера подвергаются математические модели и отдельные результаты расчетов. При этом выясняется качественное соответствие модели физическому закону или принципу. Так, выясняют, соответствует ли первоначально заложенным принципам ход изменения ряда величин под влиянием изменения аргумента. Хорошей проверкой уравнений, основывающейся на физическом смысле, является проверка пределов. Если какая-то величина приближается к некоторому пределу (нулю, единице, бесконечности и т. д.), то ведет ли себя функция так, как это ожидалось? Существуют ли другие существенные вели­чины, которые не вошли в уравнение? Иногда делают приближенные оценки результатов и по их ориентировочному значению выясняют, а имеют ли вообще смысл полученные числовые результаты.

В последнее время очень широкое применение в практике решения широкого класса задач находят методы линейного программирования.

Вопросы для самоподготовки

1. Когда применяется метод моделирования?

2. Перечислите основные методы моделирования?

3. В чем суть системного анализа?

4. Какова структура математических моделей?

5. Основные параметры математических моделей?

6. Перечислите стадии построения математической модели?

7. Как проверяются математические модели?

8. Каковы подходы в решении проектных задач?

Лекция № 8