Модель - алгоритм - программа.

При этом основной задачей математического моделирования является определение модели, которая позволяет предсказать результаты в точках факторного пространства, в которых не проводились экспериментальные исследования и позволяет установить направление движения к оптимуму.

Моделирование прежде всего предполагает использование абстрагирования и идеализации. Отображая существенные (с точки зрения цели исследования) свойства оригинала и отвлекаясь от несущественного, модель выступает как специфическая форма реализации абстракции, т. е. как некоторый абстрактный идеализированный объект. При этом учитывая характер и уровень абстракции и идеализации весь процесс в большой степени зависит от качества переноса знаний с оригинала на модель. В частности, существенное значение имеет выделение трёх уровней абстракции, на которых может осуществляться моделирование: уровня потенциальной осуществимости (когда упомянутый перенос предполагает отвлечение от ограниченности познавательно-практической деятельности человека в пространстве и времени), уровня «реальной» осуществимости (когда этот перенос рассматривается как реально осуществимый процесс, хотя, быть может, лишь в некоторый будущий период человеческой практики) и уровня практической целесообразности (когда этот перенос не только осуществим, но и желателен для достижения некоторых конкретных познавательных или практических задач).

Для количественного описания свойств объектов в модели используются специальные величины, которые называются параметрами. Параметр - величина, количественно характеризующая свойства объекта.

Выходные параметры - группа величин, которая характеризует результаты функционирования моделируемого объекта. Внешние параметры характеризуют воздействие на объект извне. Особенность входных параметров в том, что их нельзя менять. Они не зависят от проектировщика и заданы Технической Задачей.

Внутренние параметры - группа величин, характеризующих свойства объекта. Внутренние параметры можно изменять. Они в распоряжении проектировщика. Второе название внутренних параметров - проектные. Проектирование - определение внутренних параметров.

Кроме этого математические модели характеризуются:

• степенью подобия моделируемому объекту

• используемым математическим аппаратом (формой представления модели)

Математическая модель представляет собой формальное описание основных закономерностей исследуемой системы (технического устройства, технологического процесса и т. д.) в виде математических уравнений и неравенств, позволяющее судить о поведении изучаемой системы в натурных условиях.

Решение каждой задачи при математическом моде­лировании подразделяется на два самостоятельных этапа. На первом этапе производится построение математической модели изучаемой системы. Второй этап включает исследование модели и получение необходимой информации. Обычно этот этап сводится к решению математической задачи и установлению при заданных условиях таких значений переменных в модели величин, которые бы наилучшим образом удовлетворяли поставленной цели исследования.

Математическое моделирование исследуемых в ма­шиностроении систем можно разделить на два основных направления.

Математическое моделирование систем на основе принципа оптимизации, предполагающее возможность и необходимость целенаправленного регулирования. В этом случае математические модели оптимизации являются инструментом для решения задач по определению оптимальных решений с применением методов математического программирования (дифференциального и вариационного исчисления, линейного, нелинейного, динамического программирования и других методов программирования).

Математическое моделирование систем на основе принципа имитации, позволяющее выявить закономерности динамики функционирования, влияние каждого отдельного фактора до количественной определенности, установить недостатки, преимущества, резервы и пути повышения эффективности и на этой основе скорректировать прогноз развития изучаемых систем. Широкое применение математических моделей имитации в машиностроении объясняется возможностью моделирования вероятностных (стохастических) сложных процессов. В этом случае модель включает в себя случайные переменные, а построение моделей имитации осуществляется с использованием вероятностно-статистических методов.

По структуре математические модели оптимизации включают следующие элементы.

Переменные—величины, оптимальные значения которых необходимо найти в процессе решения модели.

Параметры—постоянные величины, которые в про­цессе всего решения остаются неизменными и в модели, как правило, представлены коэффициентами при переменных или свободными членами в уравнениях и неравенствах.

Критерий оптимальности—принятый показатель меры эффективности исследуемой системы, величина которого, при экстремальном значении целевой функции, (максимальном или минимальном) определяет оптимальное решение для заданных условий, т. е. оптимальные значения переменных в модели.

Выбор критерия оптимальности представляет ответ­ственную задачу: он должен быть представительным и критичным к исследуемым параметрам системы, а также наиболее простым по форме.

Представительность критерия оптимальности заклю­чается в том, чтобы он отражал меру эффективности изучаемой системы и, как правило, был единственным. За меру критерия исследуемой системы следует, прежде всего принимать, например, такие показатели, как массу изделия, время изготовления, число изготовляе­мых деталей и т. д. Когда это невозможно, используют более общие формы критерия: прибыль, себестоимость и др.

Критичность критерия оптимальности определяется чувствительностью к изменениям исследуемых параметров; сравнительно небольшие изменения числовых значений исследуемых параметров должны вызывать относительно заметные изменения величины критерия оптимальности.

Целевую функцию — функцию, которая связывает критерий оптимальности с переменными и параметрами. В процессе исследования модели, т. е. отыскания оптимального решения, определяются такие значения переменных величин, которые обращают целевую функцию в максимум или минимум.

Ограничения—области возможных значений пере­менных (оптимизируемых) величин в заданных конкретных условиях изучаемой системы, внутри которых отыскивается оптимальное решение. В зависимости от использования тех или иных математических методов для определения оптимальных решений ограничения могут упрощать или усложнять решение задачи.

Математическая модель оптимизации изучаемой системы в зависимости от ее вида предопределяет при­менение соответствующего математического метода. Модель имеет следующий общий вид:

F = f (xj) max (min) ЦФ

Gi (xj) = 0 ОГР

aj xj bj ГРУ

i =1, m; j =1, n.

Где F - целевая функция (ЦФ);

Gi (xj) - ограни­чения в модели (ОГР);

aj , вj – граничные условия (ГРУ).

Ограничения отражают области оптимизации данной задачи

Одним из видов моделей имитации являются математико-статистические модели, которые включают сле­дующие элементы:

1. Независимые переменные—факторы (показатели), значения которых характеризуют динамику ис­следуемых закономерностей системы (объекта) и задаются условиями задачи.

2. Параметры — постоянные величины модели, зна­чения которых характеризуют влияние изменения каж­дой независимой переменной на величину главного исследуемого показателя (фактора) и определяются в процессе построения модели.

3. Главный фактор (показатель) — переменная величина модели, значение которой зависит от значений независимых переменных.

Рис. 17. График фунции Y = f (X1,X2)

4. Функция—уравнение, связывающее, главный фактор с независимыми переменными и параметрами.

Модель имеет следующий общий вид:

y = a0 +a1x1 + a2x2 + a3x3 +… + ai xi ,

где у — зависимая переменная (среднее квадратическое отклонение).

Независимыми переменными в данной модели явля­ются факторы х1 – хi.

Главным показателем (зависимой переменной) является критерий у.

Числовые значения факторов х1—хi и зависимой переменной у задаются до построения модели на основе проведения и обработки результатов экспериментальных наблюдений.

Параметры модели—это свободный член а0 и по­стоянные коэффициенты а1 — аi, которые определяются в процессе построения модели методом наименьших квадратов.