Лекция № 7 математическое моделирование

7.1. Построение и исследование математических моделей

Моделирование объектов осуществляется на основе системного подхода. Системный подход позволяет рассматривать систему как целостную совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных для достижения единой цели, выявить свойства системы, ее внутренние и внешние связи.

Для системного анализа важное значение имеют понятия внутренних и внешних связей.

Внутренние связи — это связи между переменными (элементами системы). Такие связи исследуются методами теории вероятностей и математической статистики.

Внешние связи — это связи между системой и внешней средой. Под внешней средой понимается комплекс всех объектов, которые влияют на изменение системы, а также объектов, которые изменяются в результате изменения системы. Между системой и внешней средой имеется тесная взаимосвязь и взаимозависимость. Воздействия, которые испытывает система со стороны внешней среды, принято называть входными, а воздействия системы на внешнюю среду—выходными.

Таким образом, структура любой системы включает вход, процесс, выход, цель, обратную связь и ограничения.

В роли входа выступают независимые переменные факторы, которые поступают в систему из внешней среды и подвергаются определенным преобразованиям. Процесс осуществляет преобразование независимых переменных факторов в зависимую переменную выхода. Выход связывает систему с внешней средой. Обратная связь — это канал связи между выходом и входом системы. Обратная связь позволяет оценить эффективность системы, т. е. установить соответствие между существующей и необходимой величинами зависимой - переменной на выходе, а 'следовательно, между существующей и желаемой системами. Если существует проблема или несоответствие между существующей и желаемой системами, то управляющее воздействие, предусмотренное в канале связи между выходом и входом, посредством изменения на входе независимых переменных влияет на систему в нужном направлении.

Математическое моделирование полностью уклады­вается в рассмотренную общую схему. Математическая модель обычно представляет собой совокупность мате­матических соотношений, выражающих зависимость выходных переменных системы от входных, с учетом ограничений возможных значений переменных.

7.2. Математические модели и их элементы

Математическое моделирование может рассматриваться как новый метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Основу математического моделирования составляет триада: