Методическое пособие 769

при ламинарном течении жидкости с постоянными теплофизическими параметрами в трубе диаметром d при граничных условиях второго рода

а б Рис. 5.5. Зависимость локального и усредненного коэффициента теплоотдачи

при движении вдоль стенки:

а – ламинарный режим течения; б – турбулентный режим течения

Как правило, за длину участка термической стабилизации принимается такая величина lн.т., при которой изменение локального коэффициента теплоотдачи относительно среднего в потоке не превышает 3 – 5 % 3 5% .

Контрольные вопросы

1.Какова гипотеза возникновения гидродинамического и теплового пограничного слоев?

2.Как соотносятся длины гидродинамического и теплового начальных участков при ламинарном течении в круглой трубе?

3.Как изменяется теплообмен на начальном тепловом участке при различных значениях числа Прандтля?

4.Почему величина начальных участков при ламинарном режиме течения достаточно велика по сравнению с турбулентным режимом течения?

5.Каковы закономерности локального и среднего коэффициента теплоотдачи на начальных гидродинамических и термических участках по сравнению с участком стабилизированного течения?

60

6. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ТЕПЛОФИЗИКЕ

6.1. Основы теории подобия

Теория подобия уже много лет является эффективным средством исследования сложных процессов теплопередачи в различных технических системах. С ее помощью можно определить взаимосвязь между различными физическими параметрами. Эти параметры в большинстве своем выражены в безразмерной форме или так называемыми уравнениями подобия. В основе построения уравнений подобия лежат фундаментальные физические законы. Выражающие их уравнения корректны по размерности и только в этом случае могут быть построены безразмерные уравнения подобия. Классическим примером является геометрическое подобие тел (рис. 6.1). Элементами могут являться равенство углов многоугольников и многогранников, а подобие определяется соотношением линейных размеров [10]. В качестве простейших примеров можно привести тождественные геометрические фигуры: равносторонние треугольники, шары, цилиндры при соответствующем соотношении параметров.

Рис. 6.1. Пример геометрического подобия

Для геометрически подобных областей должны выполняться следующие условия:

при k idem; Cl – константа подобия.

остальные соотношения lk l0 lk' l0' будут являться подобными геометрически-

ми фигурами.

Для подобия физических явлений геометрическое подобие областей где протекают процессы является обязательным. Помимо этого, обязательным яв-

61

ляются одинаковая физическая природа всех процессов, идентичность математического описания в сходные моменты времени и пространства.

Пример. Для двух длинных труб (l d 1) естественными масштабами

Наряду с геометрическими параметрами возможно использование критериев подобия в условиях изменения процесса во времени, т.е. в нестационарных условиях. Различают периодические и переходные нестационарные процессы.

Для периодических процессов с периодом t0 будет выполняться следующее выражение для подобия:tt0 t't0' t idem .

Для переходных процессов в качестве масштаба времени используются величины, зависящие от свойств жидкости (или газа) и геометрии области анализа. Например, для задач теплообмена в качестве величины, определяющей свойства вещества будет использован коэффициент температуропроводности, а в качестве геометрической – характерный линейный размер:

6.2.Теоремы подобия. Критериальные числа

Основные свойства подобных явлений подтверждаются тремя теоремами подобия. Первая теорема подобия доказала, что подобные явления имеют

одинаковые числа подобия, ключевыми из которых являются геометрические параметры, а процессы протекают в геометрически подобных облас-

тях систем координат. В результате доказательства данной теоремы получены широко используемые числа подобия:

Число Эйлера

62

Число Рейнольдса

где 0 t t0, 0' t ' t0' - избыточные температуры. Число Прандтля

Доказано, что в подобных процессах конвективного теплообмена численно равны числа Эйлера, Рейнольдса, Фруда, Пекле, Эккерта и Прандтля.

Вторая теорема подобия гласит, что группа подобных явлений имеет одинаковые уравнения подобия. В определенном диапазоне изменения определяющих параметров явления сохраняют свои закономерности, а следовательно, для них должны оставаться справедливыми уравнения подобия.

В качестве примера реализации второй теоремы рассмотрим широко известную формулу М.А. Михеева для описания теплообмена при турбулентном течении теплоносителя в круглой трубе:

индексы «ж» и «с» указывают на то, что числа Прандтля должны браться по среднемассовой температуре жидкости и температуре стенки соответственно.

Таким образом, показано, что в случае качественно однородных процессов должны в обязательном порядке учитываться и диапазоны изменения безразмерных параметров.

63

Третья теорема подобия гласит, что явления подобны, если подобны их

условия однозначности, а определяющие критерии подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, численно равны.

Под условиями однозначности в этом случае понимаем начальные и граничные условия, геометрические области протекания процесса, теплофизические свойства.

Рассмотрим физический смысл критериев и чисел подобия. Полученные выше числа подобия имеют гидродинамическую либо тепловую природу. Гидродинамические числа подобия – это мера отношения сил различной физической природы.

В итоге силы инерции пропорциональны или: fi w02; Силы давления пропорциональны или: f p p; Силы вязкости пропорциональны или: f w0 l0; Массовые силы пропорциональны или: fg g0l0.

Соотношения сил, входящих в уравнение сохранения импульса, дают нам ранее полученные числа подобия

Так, число Рейнольдса представляет собой соотношение сил инерции и вязкости:

fi f w0l0 Re.

Число Эйлера представляет собой соотношение сил давления и сил инерции, а число Фруда – сил инерции и массовых сил

Комбинация сил инерции, массовых сил и сил вязкости представляет собой число Галилея:

где .

В двухфазных системах дополнительно действует сила поверхностного натяжения f l0 , где – поверхностное натяжение. Выражение для мас-

жидкости и пара. Кроме того, для двухфазных систем в качестве линейного масштаба выбирается диаметр пузырька или капли d или характерный радиус

кривизны поверхностного раздела l0 R .

64

Число Галилея в двухфазных системах с несущей жидкой фазой преобразуется в число Архимеда:

Для свободноконвективных течений t, где – термический ко-

эффициент объемного расширения. Выражение для массовых сил запишется в виде fg g tl0 , а число Галилея преобразуется в число Грасгофа:

Тепловые числа подобия представляют собой отношения потоков энергии различной физической природы.

Конвективный поток энергии – qконв cp w0 t; Молекулярный поток энергии – q tl0; Конвективный поток кинетической энергии – qк.э w03.

Для конвективного теплообмена в качестве граничных условий используется выражение Ньютона-Рихмана, позволяющее определять коэффициент теп-

лоотдачи при известной величие теплового потока на стенке qc :

qc t .

Числа Пекле и Эккерта могут быть представлены как соотношения конвективного и молекулярного потоков энергии и конвективного потока кинетической энергии и конвективного потока в следующем виде:

Соотношения теплового потока через стенку и молекулярного потока представляет собой число Нуссельта, а соотношение теплового потока через стенку к конвективному– число Стантона:

65

Число Прандтля, представляющее собой безразмерную характеристику теплофизических свойств, может быть записано в следующем виде:

Для оценки теплообмена в условиях свободной конвекции используется число Рэлея, представляющее собой соотношение

В процессах массообмена числа подобия следует рассматривать как отношение потоков массы различной физической природы.

Разность массовых концентраций компонента «а» са определяется следующим образом:

для внешних задач (массообмен в большом объеме, обтекание плоской пластины и т.д.)

для внутренних задач (массообмен в канале)

где индексы «∞» и «с» относятся к невозмущенному потоку и стенке соответст-

венно; са – среднемассовая концентрация компонента «а» в сечении канала. Отношение конвективного потока массы к диффузионному дает диффу-

зионное число Пекле:

где Sc D – число Шмидта, являющееся безразмерной характеристикой те-

плофизических свойств смеси.

Поскольку целью решения задач массообмена является определение потока массы на межфазной поверхности, запишем выражение для определения потока массы компонента на стенке

c

где β – коэффициент массообмена.

66

Отношение массового потока компонента на стенке к диффузионному представляет собой безразмерное число Шервуда:

Здесь очевидна аналогия с числом Нуссельта.

Диффузионное число Стантона определяется соотношением потока массы компонента на стенке и конвективного потока массы компонента:

В приложении методов теории подобия к задачам массообмена прослеживается аналогия с описанием задач теплообмена и отражается в идентичности построения уравнений подобия. Типичная форма представлений уравнений подобия для конвективного теплообмена:

Вслучае аналогии имеем C idem, m idem, n idem.

Вкачестве практического использования рассмотренной выше теории подобия следует выделить три ключевых направления.

Первое направление – это моделирование различных теплофизических процессов. К моделированию прибегают, чтобы изучить процесс на уменьшенных моделях реальных объектов. При этом перенести результаты исследований на объект возможно, если выполняются условия геометрического подобия, идентичность процессов и равенство определяющих критериев подобия. Моделирование исключает риски, связанные с испытаниями на натурных объектах, и позволяет исследовать сложно протекающие процессы.

Примером может служить исследование аэродинамики в высокотемпературных установках (энергетических котлах, нагревательных печах и т.д.) при обтекании газом различных поверхностей (воздухоподогреватель, конвективные поверхности). При натурном моделировании потребовалось бы создать объект и провести его испытания при рабочих температурах (500–800 °С), что является крайне затратным. Однако задача успешно решается с использованием

водяной гидравлической модели. Дело в том, что кинематическая вязкость воды при комнатной температуре составляет 10-6 м2/с. При увеличении темпера-

туры на 40 – 50 °С она уменьшается в 2 раза. При этом горячие газы имеют кинематическую вязкость в 50 – 100раз больше (порядка 2÷5·10-5 м2/с). Это означает, что обеспечение идентичного числа Рейнольдса возможно при использо-

67

вании нагретой воды (заменяет дымовые газы по вязкости), а также снижении характерного размера в 10 раз, что позволяет заменить натурную уста-

новку испытательным стендом. Несмотря на появление в последние годы мощных математических пакетов, таких как ANSYS, Comsol пр., экспериментальное моделирование является надежным инструментом подтверждения математических моделей и выявления ряда закономерностей теплофизических процессов.

Второе направление – это разработка энергетических установок на основе уже имеющихся критериальных уравнений. В настоящее время наработан огромный массив экспериментальных данных по исследованию как однофазных, так и многофазных теплофизических процессов (обтекание пучков труб различной конфигурации, пластин, течение внутри труб и т.д.). Таким образом, инженерная методика расчета энергетических установок существенно упрощается и сводится к правильному выбору критериальных уравнений и проведению на их основании расчетов с дальнейшим получением необходимых конструктивных характеристик. Наличие большого массива экспериментальных данных не освобождает инженера от необходимости знать основные теплофизические закономерности.

Третье направление практического использования теории подобия – это научная основа для экспериментальных исследований, которая позволяет обобщить массив экспериментальных данных для дальнейшего использования в инженерной практике. Рассмотрим, как это работает, на простейшем примере определения коэффициента теплоотдачи при вынужденным обтекании трубы потоком охладителя (рис. 6.2). Очевидно, что коэффициент теплоотдачи будет зависеть от скорости потока охладителя, его свойств, геометрических характеристик трубы, температуры охладителя в потоке и температуры поверхности стенки трубы. Кроме того, мы должны определить, интересует нас стационарный или нестационарный процесс теплообмена. Предположим, что рассматривается стационарный процесс теплообмена. Математически процесс описывается уравнениями гидродинамики и энергии. Этим уравнениям соответствуют числа подобия Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Грасгофа, Прандтля.

Рис. 6.2. Схема внешнего обтекания трубы потоком теплоносителя

68

Далее необходимо качественно оценить вклад каждого из чисел подобия в результат. Поскольку течение охладителя является вынужденным, нет необходимости в использовании числа Грасгофа, поскольку оно оценивает влияние свободной конвекции. Массовые силы, входящие в число Фруда, также будут несущественны. Если не ставится задача определения гидравлического сопротивления и охладитель не является высоковязкой жидкостью, то нет необходимости учитывать и число Эйлера. В итоге остаются лишь два числа подобия: число Рейнольдса и число Прандтля. Число Рейнольдса позволит оценить влияние скорости течения охладителя и диаметра трубы, а число Прандтля – влияние теплофизических свойств. В свою очередь, коэффициент теплоотдачи может быть получен из числа подобия Нуссельта. Таким образом, общая форма уравнения подобия

В большинстве практических задач связь коэффициента теплоотдачи со скоростью представляет степенную зависимость wm . В свою очередь, оче-

видна и связь безразмерных комплексовNu Rem . Для удобства обработки экспериментальных данных такие зависимости лучше отображать в логарифмических координатах, поскольку они будут выглядеть как линейные (рис. 6.3).

Аппроксимация полученных данных приводит к уравнению Nu C1 Re0,6,что означает, D 0,4 , что в свою очередь не требует проведения

испытаний с различным диаметром труб. Данная зависимость соответствует условию Pr idem , поскольку рассматривались результаты измерений для од-

ной жидкости при одинаковой температуре. Изменяя жидкость на более (или менее) вязкую, можно выявить зависимость коэффициента теплоотдачи от числа Прандтля – Pr Pr0,37 .

Рис. 6.3. Пример обработки результатов экспериментальных данных с помощью чисел подобия

69